Funktionsgraphen

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Was ist ein Funktionsgraph?
• Lineare Funktionen
• Eine spezielle lineare Funktion, die konstante Funktion
• Quadratische Funktionen
• Die Betragsfunktion
• Punkte aus einem Funktionsgraphen ablesen

Was ist ein Funktionsgraph?

Der Funktionsgraph oder auch kurz der Graph einer Funktion $f(x)$ ist die Menge aller geordneten Zahlenpaare $(x|y)$, für die gilt: $y=f(x)$. Die Menge aller Werte für $x$ wird als Definitionsbereich oder Definitionsmenge der Funktion und die Menge aller Funktionswerte ($y$) als Wertebereich oder Wertemenge bezeichnet.

Da du nicht zu unendlich vielen Werten für $x$ die zugehörigen Funktionswerte bestimmen kannst, gehst du wie folgt vor:

• Du erstellst eine Wertetabelle. In diese trägst du für verschiedene $x$-Werte die zugehörigen Funktionswerte $y=f(x)$ ein.
• Die so erhaltenen Zahlenpaare (Punkte) $(x|y)$ überträgst du in ein Koordinatensystem.
• Zuletzt verbindest du die Punkte zu dem Funktionsgraphen.
• Bei nicht linearen Funktionen gilt: Je mehr Punkte du in das Koordinatensystem einzeichnest, desto genauer entspricht der Funktionsgraph, dem wirklichen Graphen.

Lineare Funktionen

Was versteht man unter Linearen Funktionen und Achsenschnittpunkten? Die allgemeine Funktionsgleichung einer linearen Funktion lautet $y=mx+b$ oder auch $f(x)=mx+b$. Dabei ist

• $m$, der Faktor vor dem $x$, die Steigung der linearen Funktion und
• $b$ die Konstante, der y-Achsenabschnitt.

Der Graph einer linearen Funktion entspricht einer Geraden.

Lass uns das Zeichnen eines Funktionsgraphen an einem ersten Beispiel üben:

$\quad f(x)=2x-3$.

• Zunächst wählst du geeignete Werte für $x$ und erstellst eine Wertetabelle. Zum Beispiel ist:

$\quad~~~y=f(2)=2\cdot 2-3=4-3=1$.

• Dann trägst du diese Punkte in ein Koordinatensystem ein. Dabei ist jeweils die erste Koordinate eines Punktes dessen x-Koordinate und die zweite die y-Koordinate.

• Natürlich kannst du den Funktionsgraphen einer lineare Funktionen auch mit Hilfe eines Steigungsdreiecks zeichnen.
• Hierfür trägst du den y-Achsenabschnitt (Schnittstelle des Graphen mit der $y$-Achse) an der y-Achse ab (Punkt: (0|-3)).
• Dann zeichnest du ein Steigungsdreieck entsprechend der Steigung der Funktion. In diesem Beispiel ist der Anstieg: $m=2=\frac21$.
• Von der Schnittstelle mit der y-Achse zeichnest du das Steigungsdreieck, in dem du 2 Einheiten nach oben abträgst und eine Einheit nach rechts. Du landest beim Punkt (1|-1).
• Nun kannst du den Graphen der linearen Funktion zeichnen.

Eine spezielle lineare Funktion, die konstante Funktion

Wenn die Steigung $m=0$ ist, verläuft die Gerade der Funktion $f(x)=b$ parallel zur x-Achse durch $y=b$. Sei zum Beispiel $f(x)=2$. Wenn du eine Wertetabelle erstellen würdest, würde in der Zeile für $y$ jedes Mal die $2$ stehen. Hier siehst du den Graphen der Funktion $f(x)=2$.

Quadratische Funktionen

Eine quadratische Funktion kann beispielsweise

• in allgemeiner Form $f(x)=ax^2+bx+c$ oder
• in Scheitelpunktform $f(x)=a(x-d)^2+e$, wobei $S(d|e)$ der Scheitelpunkt ist,

gegeben sein.

Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel.

Wir schauen uns die quadratische Funkion $f(x)=x^2$, also die sogenannte Normalparabel an.

• Auch hier kannst du eine Wertetabelle erstellen:

• Nun überträgst du wieder die Punkte in ein Koordinatensystem. Zuletzt verbindest du die Punkte miteinander. Achte darauf, dass es sich um keine lineare Funktion handelt und du die Punkte nicht einfach gerade verbindest, sondern durch eine geschwungene Linie. Hier gilt, desto mehr Punkte du gegeben hast, desto genauer wird der Funktionsgraph. Hier siehst du den Graphen der quadratischen Funktion:

Die Betragsfunktion

Die Betragsfunktion ist wie folgt definiert

$\quad~~~f(x)=\begin{cases} x \text{, wenn } x > 0 \\ -x \text{, wenn }x \le 0 \end{cases}$

Lass uns einige Punkte berechnen, um den Graphen zu dieser Funktion zeichnen zu können:

• $f(-2)=2 \rightarrow P_1(-2|2)$
• $f(-1)=1 \rightarrow P_2(-1|1)$
• $f(0)=0 \rightarrow P_3(0|0)$
• $f(1)=1 \rightarrow P_4(1|1)$
• $f(2)=2 \rightarrow P_5(2|2)$

Hier siehst du den zugehörigen Graphen, der eine V-Form hat.

Punkte aus einem Funktionsgraphen ablesen

Du kannst übrigens auch Punkte aus einem Funktionsgraphen ablesen.

Hier siehst du den Graphen der quadratischen Funktion $f(x)=-0,25x^2+2$.

• Wenn du wissen willst, welche Punkte auf dem Graphen liegen, kannst du von einem $x$ parallel zur y-Achse nach oben bis zu dem Graphen gehen. Dies siehst du in dem Bild rechts für $x=2$.

• Von dort aus gehst du parallel zur x-Achse zur y-Achse und liest dort den y-Wert, also den Funktionswert, ab.
• So erhältst du den Punkt $P(2|1)$ des Funktionsgraphen.
• Dies kannst du auch mit Hilfe der Punktprobe überprüfen:

$\quad~~~y=f(2)=-0,25\cdot (2)^2+2=-0,25\cdot 4+2=-1+2=1$.