Extremwert
ExkursDie Graphen von Funktionen können manchmal lokale Maxima und Minima besitzen, welche man als Extremwerte der Funktion bezeichnet.
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Extremwert
In der Analysis werden Funktionsgleichungen und ihre Graphen auf vorgegebene Kriterien untersucht. Dies nennt man Kurvendiskussion.
Bei einer Kurvendiskussion spielt die Bestimmung von Extremwerten (auch: Extrema) eine wichtige Rolle: Der Funktionsgraph nimmt an diesen Stellen einen Hochpunkt (Maximum) oder einen Tiefpunkt (Minimum) ein.
Legt man an die Hoch- oder Tiefpunkte eines Funktionsgraphen eine Tangente an, so verläuft diese waagerecht zur $x$-Achse, hat also keine Steigung. Die Tangentensteigung kannst du als erste Ableitung im Berührpunkt sehen, also lassen sich mögliche Extrema bestimmen durch:
$f’(x) = 0$
Dies ist die notwendige Bedingung für die Existenz von Extrema. Da noch nicht bekannt ist, ob es sich bei den Werten um Hoch- oder Tiefpunkte handelt, wird in einem zweiten Schritt die hinreichende Bedingung hinzugezogen. Hierzu setzt du in die zweite Ableitung den ermittelten Extrempunkt ein:
$f’’(x) \lt 0\qquad$ Es handelt sich um einen Hochpunkt.
$f’’(x) \gt 0\qquad$ Es handelt sich um einen Tiefpunkt.
Um schließlich die $y$-Koordinate eines Extrempunktes zu bestimmen, wird der $x$-Wert in die ursprüngliche Funktionsgleichung eingesetzt.
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Extremwert (2 Arbeitsblätter)
Extrema – Minimum und Maximum
Notwendige und hinreichende Bedingung für Extrema
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