Ganzrationale Funktionen – Definition und Beispiele

Ganzrationale Funktionen – Definition und Beispiele Übung

• Nenne ganzrationale Funktionen.

  Tipps

  Geraden und Parabeln sind Graphen ganzrationaler Funktionen.

  Die allgemeine Form einer ganzrationalen Funktion sieht so aus:

  $f(x) = a_n x^n + a_{n+1}x^{n-1} + \ldots +a_1x + a_0$

  $\sin (x)$ gehört zu den trigonometrischen Funktionen.

  Lösung

  In dieser Aufgabe geht es darum zu erkennen, welche der Funktionen ganzrationale Funktionen sind und welche nicht. Der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion ist ein Polynom. Er besteht aus einer Summe von Potenzen der Variablen, multipliziert mit konstanten Vorfaktoren, den Koeffizienten. Funktionen, bei denen die Variable im Exponenten steht, sind keine ganzrationalen Funktionen. Auch ein Funktionsterm mit einem Bruch, bei dem die Variable im Nenner steht, gehört nicht zu einer ganzrationalen Funktion.

  Hier ist die korrekte Zuordnung:

  Ganzrationale Funktionen:

  • $f(x) = x^7- 2x^5+\dfrac{1}{3}x$
  • $f(x) = x^4 - x^3 + x - 1$
  • $f(x) = \sqrt{2} x$

  Der Koeffizient ist irrational, doch die Variable ist nicht unter der Wurzel.
  

  • $f(x) = 3$

  Alle konstanten Funktionen sind ganzrational, denn wir können sie umschreiben zu: $f(x) = 3 = 3x^0$
  

  • $f(t) = 0{,}1t^3-t+2$

  Die Bezeichnung der Variablen mit $t$ anstelle von $x$ ändert nichts am Funktionstyp.
  

  Nicht ganzrationale Funktionen:

  • $f(x) = \sqrt{x-1}+5$

  Die Variable steht unter einer Wurzel.
  

  • $f(x) = \dfrac{x^3-2x^2+5}{2x}$

  Die Variable $x$ steht im Nenner des Bruchs. Es handelt sich um eine gebrochenrationale Funktion.
  

  • $f(x) = \sin(x)$

  Die trigonometrischen Funktionen sind keine ganzrationalen Funktionen.
  

  • $f(x) = 0{,}5^x$

  Die Variable steht im Exponenten. Es handelt sich um eine Exponentialfunktion.

• Beschreibe ganzrationale Funktionen.

  Tipps

  Bei einer quadratischen Funktion ist die höchste Potenz der Variablen $x^2$.

  Die allgemeine Form eines Polynoms sieht so aus:

  $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$

  Lösung

  Ganzrationale Funktionen sind solche, bei denen Potenzen einer Variable vorkommen. Eine ganzrationale Funktion besteht im Allgemeinen aus einer Summe verschiedener Terme. Jeder einzelne Term besteht aus einer Potenz der Variablen und einem Vorfaktor. Diesen Vorfaktor nennt man den Koeffizienten der Potenz. Als Vorfaktoren können wir ganze Zahlen, Brüche oder auch irrationale Zahlen verwenden.

  Die Summe dieser Potenzen mit Koeffizienten ergibt dann den Funktionsterm der ganzrationalen Funktion. Da er nur aus Potenzen der Variablen und Koeffizienten besteht, ist der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion ein Polynom. Die höchste vorkommende Potenz der Variablen, die in dem Funktionsterm vorkommt, nennt man den Grad der ganzrationalen Funktion.

  Beispiele:

  Der Grad der ganzrationalen Funktion $f(x) = 0{,}5x^2+4x-2$ ist $2$, denn die höchste Potenz der Variablen ist $x^2$. Man nennt solche ganzrationalen Funktionen auch quadratische Funktionen.

  Ist der Grad $3$, so heißen sie kubische Funktionen. Ein Beispiel dafür ist die Funktion $f(x) = x^3-2x+\dfrac{4}{7}$.

  Ganzrationale Funktionen vom Grad $1$ sind lineare Funktionen. Die allgemeine Form einer linearen Funktion ist $f(x) = a_1x+a_0$.

  In ganzrationalen Funktionen kommen nur Potenzen der Variablen, multipliziert mit Koeffizienten vor. Funktionen mit der Variable unter einer Wurzel oder der Variable im Exponenten sind keine ganzrationalen Funktionen. Auch Funktionsterme mit Brüchen mit Variable im Nenner, die sich nicht kürzen lassen, ergeben keine ganzrationalen Funktionen.

  Beispiel:

  Die Funktion $f(x) = \dfrac{x^3-2x^2+5}{2x}$ ist keine ganzrationale Funktion, weil sich der Bruch mit der Variablen im Nenner nicht kürzen lässt.

  Die Funktion $f(x) = 0{,}5^x$ ist ebenfalls keine ganzrationale Funktion, denn hier steht die Variable im Exponenten.

  Dagegen sind die Funktionen $f(x) = \dfrac{x^3-2x^2+5}{2}$ und $f(x) = 3$ auch Beispiele für ganzrationale Funktionen.

• Entscheide, ob es sich um ganzrationale Funktionen handelt.

  Tipps

  Prüfe, ob sich der Funktionsterm in der Form eines Polynoms darstellen lässt.

  Es gilt:

  $~\sqrt{a^2} = a^{2:2} = a$

  Du kannst eine Summe im Zähler eines Bruchs auf Brüche mit gleichem Nenner aufteilen:

  $\dfrac{a + b}{2} = \dfrac{a}{2} + \dfrac{b}{2}$

  Lösung

  Wir wollen die Terme ganzrationaler Funktionen von anderen Funktionstypen unterscheiden. Dazu überprüfen wir, ob der Funktionsterm in Form eines Polynoms geschrieben werden kann.
  $f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0$

  Wir betrachten die Funktionen.

  Ganzrationale Funktionen:

  $f(x) = x^2 - \sqrt{7}x + 2$
  $\quad$Der Term hat bereits die Form eines Polynoms. Irrationale Koeffizienten wie hier $-\sqrt{7}$ sind dabei erlaubt.

  $f(x) = \dfrac{x^5 + 6x^3 - 1}{3} = \dfrac{x^5}{3} + \dfrac{6x^3}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}x^5 + 2x^3 - \dfrac{1}{3}$
  $\quad$Der Funktionsterm ist zwar ein Bruch, da die Variable $x$ aber nicht im Nenner vorkommt, können wir den Term so umformen, dass er der allgemeinen Form eines Polynoms entspricht.

  $f(x) = \sqrt{(x - 5)^2} = (x - 5)^{2:2} = x - 5$
  $\quad$Hier steht ein Quadrat unter der Wurzel. Wir können den Term zu einer linearen Funktion umformen.

  $f(x) = \pi^2 \approx 9,\!87$
  $\quad$Es handelt sich um eine konstante Funktion, also ein Polynom der Form $a_0$. Damit ist es eine ganzrationale Funktion.

  Nicht ganzrationale Funktionen:

  $f(x) = \cos(x^2 - 7x + 2)$
  $\quad$Im Argument des Cosinus steht zwar das Polynom $x^2 - 7x + 2$, es handelt sich dennoch um eine trigonometrische Funktion.

  $f(x) = 3^x + 2^x - 9$
  $\quad$Hier steht die Variable $x$ im Exponenten. Es handelt sich um eine Exponentialfunktion.

  $f(x) = \sqrt{x^2 + 25}$
  $\quad$Unter der Wurzel steht das Polynom $x^2 + 25$. Da wir die Wurzel aus einer Summe nicht ziehen können, gibt es hier keine zulässige Vereinfachung. Es handelt sich um eine Wurzelfunktion.

• Erschließe die verschiedenen Größen der Funktionen.

  Tipps

  Nur ganzrationale Funktionen haben einen Grad.

  Multipliziere die Klammern aus und vereinfache die Brüche, um Koeffizienten und Grad zu bestimmen.

  Eine Funktion hat den Grad $2$, wenn die höchste vorkommende Potenz $x^2$ ist.

  Lösung

  Bei ganzrationalen Funktionen lässt sich der Grad bestimmen. Das ist die höchste vorkommende Potenz der Variablen. Nicht ganzrationale Funktionen haben dagegen keinen Grad.

  Um die Eigenschaften zu bestimmen, müssen Funktionsterme, die als Produkte oder als Brüche aufgeschrieben sind, aufgelöst werden. Denn nur dann lassen sich der Grad und die Koeffizienten bestimmen. Schauen wir uns die Funktionen im Einzelnen an:

  $f(x) = 3x^4-4x^3+12$:

  • $\text{Grad}(f)=4$, denn $4$ ist die höchste Potenz, in der die Variable $x$ vorkommt
  • Koeffizient $-4$, denn der Koeffizient der zweiten Potenz ist $-4$
  • Weitere Koeffizienten dieser Funktion sind: $3$ und $12$

  
  

  $f(x) =\dfrac{x^3-x^2}{x^1}$:

  • $\text{Grad}(f)=2$, denn die höchste Potenz der Variablen $x$ ist $x^2$. Das erkennen wir nach Kürzen des Bruches:

  $f(x) = \dfrac{x^3-x^2}{x^1} = \dfrac{x^3}{x^1} - \dfrac{x^2}{x^1} = x^2-x^1 = x^2-x$

  • quadratische Funktion, denn die höchste vorkommende Potenz ist $x^2$
  • Koeffizient $-1$, denn der Koeffizient der Potenz $x$ ist $-1$
  • Ein weiterer Koeffizient ist $1$ zu der Potenz $x^2$

  
  

  $f(y) = 2y \cdot \left(3y+\dfrac{1}{2}\right)^2$:

  • kubische Funktion; dies erkennen wir durch Ausmultiplizieren:

  $f(y) = 2y \left(3y+\dfrac{1}{2}\right)^2 = 2y \cdot \left(9y^2+2\cdot 3y \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}\right) = 18y^3 + 6y^2 + \dfrac{1}{2}y$

  • $\text{Grad}(f)=3$, denn die höchste vorkommende Potenz ist $y^3$
  • Koeffizient $\frac{1}{2}$, denn der Koeffizient der Potenz $y$ ist $\frac{1}{2}$
  • Weitere Koeffizienten sind $18$ der Potenz $y^3$ und $6$ der Potenz $y^2$

  
  

  $f(x) = \dfrac{x^3+x}{2\sqrt{x}+1}$:

  • keine ganzrationale Funktion, denn der Bruch lässt sich nicht auflösen und die Funktion enthält eine Wurzelfunktion
  • kein Grad, denn der Grad ist nur für ganzrationale Funktionen bestimmbar

• Gib die Exponenten und Koeffizienten der Funktionen an.

  Tipps

  Als Koeffizient bezeichnen wir die Zahl, mit der eine Potenz multipliziert wird.

  Bei einer Potenz steht der Exponent oben, die Basis unten.

  In dem Term $2 \cdot x^3$ ist $2$ der Koeffizient, $x$ die Basis und $3$ der Exponent.

  Lösung

  Der Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion ist eine Summe. Jeder Summand besteht aus einer Potenz der Variablen und einem Vorfaktor. Den Vorfaktor, also die Zahl, mit der die Potenz multipliziert wird, nennt man Koeffizient. In jeder einzelnen Potenz steht die Basis unten, der Exponent oben.

  Funktion 1:

  $\quad f(x) = x\color{lightskyblue}{^7}\color{violet}{-2}\color{black}x\color{lightskyblue}{^5}\color{black}+\color{violet}{\dfrac{1}{3}}\color{black}x$

  Die Exponenten sind die hochgestellten Zahlen $7$ im ersten und $5$ im zweiten Summanden. Der Koeffizient des zweiten Summanden ist $-2$, der des dritten Summanden ist $\frac{1}{3}$.

  Funktion 2:

  $\quad f(x) = \color{violet}{\dfrac{1}{2}}\color{black}x\color{lightskyblue}{^3} \color{violet}{-1}\color{black}x\color{lightskyblue}{^2}\color{black}+\color{violet}{\dfrac{5}{2}}$

  Die Koeffizienten sind die Zahlen vor den Potenzen, zusammen mit den Vorzeichen, also $\frac{1}{2}, {-}1$ und $\frac{5}{2}$. Die letzte Zahl ist nämlich der Koeffizient der Potenz $x^0=1$. Die Exponenten sind die hochgestellten Zahlen $3$ im ersten Summanden und $2$ im zweiten Summanden.

• Beurteile den Funktionstyp der gegebenen Funktionen.

  Tipps

  Eine konstante Funktion ist eine ganzrationale Funktion.

  Steht die Variable unter einer Wurzel, so ist die Funktion nicht ganzrational.

  Lösung

  Wir charakterisieren die Funktionen, indem wir überprüfen, ob die Funktionen Polynome sind. Also in die Form

  $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \quad$ mit $\quad a_0, a_1, ..., a_n \in \mathbb{R}$

  gebracht werden können.

  Hier sind die korrekten Sätze:

  • Die Funktion $f(x) = x^4+\sqrt{4x}$ ist wegen des zweiten Summanden keine ganzrationale Funktion.

  Denn der zweite Summand enthält die Variable unter einer Wurzel.

  • Die Funktion $f(x) = \dfrac{x^3+x^2}{x^2-x^1}$ ist wegen des Nenners keine rationale Funktion.

  Denn der Bruch lässt sich nicht auflösen.

  • Die Funktion $f(x) = \dfrac{x^3+x^2}{x^2+x}$ lässt sich auflösen zu einer ganzrationalen Funktion.

  Denn der Bruch lässt sich kürzen zu $f(x) = \dfrac{(x^2+x)\cdot x}{x^2+x} = x$.

  • Die Funktion $f(x) = (x^2-x) \cdot x$ ist eine kubische Funktion.

  Durch Ausmultiplizieren erhalten wir: $f(x) = (x^2-x) \cdot x = x^3-x^2$

  • Die Funktion $f(x) = \dfrac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ ist wegen des Exponenten keine ganzrationale Funktion.

  Denn in einer ganzrationalen Funktionen kommen nur natürliche Zahlen als Exponenten der Variablen vor.

  • Die Funktion $f(x) = 3^{\sqrt{2}}$ ist eine ganzrationale Funktion vom Grad $0$.

  Denn die höchste Potenz der Variablen ist $x^0$.