Das Parallelogramm

Das Parallelogramm Übung

• Beschreibe die Eigenschaften von Parallelogrammen.

  Tipps

  Bei einer ebenen Figur bezeichnet man üblicherweise die Eckpunkte mit Großbuchstaben.

  Fügst du zwei benachbarte Winkel eines Parallelogramms zusammen, so erhältst du einen gestreckten Winkel.

  Die Winkel an den Eckpunkten werden mit griechischen Kleinbuchstaben bezeichnet. Zum Beispiel entsprechen die Buchstaben $A$, $B$, $C$ des lateinischen Alphabets den Buchstaben $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ des griechischen Alphabets.

  Lösung

  In der ebenen Geometrie ist es üblich, die Eckpunkte, Seiten und Winkel einer Figur mit Buchstaben zu bezeichnen. Dabei geht man gegen den Uhrzeigersinn vor und läuft in der Bezeichnung durch das Alphabet. Die Ecken werden mit lateinischen Großbuchstaben bezeichnet, also $A$, $B$, $C$ und $D$. Die Seiten beschriftet man mit entsprechenden lateinischen Kleinbuchstaben $a$, $b$, $c$ und $d$. Für die Bezeichnung der Winkel verwendet man dann die entsprechenden griechischen Kleinbuchstaben, also $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ und $\delta$. Man bezeichnet immer den Winkel bei dem Eckpunkt $A$ mit $\alpha$. Geht man nun in alphabetischer Reihenfolge gegen den Uhrzeigersinn vor, so ergibt sich direkt die Zuordnung des Eckpunktes $B$ zum Winkel $\beta$, sowie $C$ zu $\gamma$ und $D$ zu $\delta$.

  Ein Parallelogramm ist ein spezielles Viereck, bei dem je zwei gegenüberliegende Seiten zueinander parallel sind. Diese parallelen Seiten sind dann auch immer gleich lang.

  In Formeln kannst du ausdrücken, dass die gegenüberliegenden Seiten zueinander parallel sind: Der Seite $a$ liegt die Seite $c$ gegenüber, der Seite $b$ die Seite $d$, also gilt:

  • $a \parallel c$ und $b \parallel d$

  Dass gegenüberliegende Seiten im Parallelogramm stets dieselbe Länge haben, drückt man in Formeln durch die Gleichung der Buchstaben aus, die die Seiten bezeichnen:

  • $a = c$ und $b = d$

  Aus der Parallelität gegenüberliegender Seiten ergibt sich, dass zwei benachbarte Winkel eine Summe von $180^\circ$ besitzen. Das kann man wieder in Formeln ausdrücken. Benachbarte Winkel sind z. B. $\alpha$ und $\beta$ sowie $\gamma$ und $\delta$, aber auch $\alpha$ und $\delta$ sowie $\beta$ und $\gamma$. Es gilt also:

  • $\alpha + \beta = 180^\circ =\gamma + \delta$
  • $\alpha + \delta = 180^\circ =\beta + \gamma$

  Da je zwei benachbarte Winkel zusammen $180^\circ$ ergeben, ist die Innenwinkelsumme, also die Summe aller vier Winkel des Parallelogramms, immer $360^\circ$. Dasselbe gilt in jedem Viereck. In Formeln ausgedrückt ist also:

  • $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$

• Ergänze die Eigenschaften von Parallelogrammen.

  Tipps

  Die Diagonalen eines Vierecks sind die Verbindungsstrecken sich gegenüberliegender Eckpunkte.

  Die Eigenschaft parallel oder nicht parallel zu sein, bezieht sich immer auf gerade Linien, nicht auf Winkel.

  Die Winkelsumme in einem Viereck beträgt stets $360^\circ$.

  Lösung

  Parallelogramme sind Vierecke, bei denen je zwei gegenüberliegende Seiten zueinander parallel sind. Diese Seiten sind dann auch stets gleich lang. Je zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen $180^\circ$, je zwei gegenüberliegende Winkel sind gleich groß. Die Diagonalen verbinden je zwei sich gegenüberliegende Eckpunkte und schneiden einander genau in der Mitte des Parallelogramms. Die Diagonalen sind nicht parallel zueinander, ebenso wenig wie zwei benachbarte Seiten eines Parallelogramms.

  Mit diesen Überlegungen findest du folgende Sätze:

  • Gegenüberliegende Seiten ... sind parallel.

  • Benachbarte Seiten ... sind nicht parallel.

  • Gegenüberliegende Winkel ... sind gleich groß.

  • Benachbarte Winkel ... ergeben zusammen $180^\circ$.

  • Nur die beiden Diagonalen ... schneiden sich jeweils in ihrer Mitte.

• Bestimme die Figuren.

  Tipps

  Jedes Rechteck ist ein Parallelogramm, aber nicht jedes Parallelogramm ist ein Rechteck. Verwende daher die Bezeichnung „Parallelogramm“ nur für die Figur, auf die keine andere Bezeichnung zutrifft.

  Ein Vieleck heißt regelmäßig, wenn alle Seiten gleich lang und alle Winkel gleich groß sind.

  Jedes Parallelogramm ist ein Viereck.

  Lösung

  Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem je zwei sich gegenüberliegende Seiten parallel zueinander sind.

  • Eine der abgebildeten Figuren ist kein Viereck, sondern ein Fünfeck. Da es verschieden lange Seiten hat, handelt es sich um ein unregelmäßiges Fünfeck.

  • Eines der Vierecke hat gar drei verschieden lange Seiten, von denen keine zwei parallel zueinander sind. Es handelt sich dabei um ein unregelmäßiges Viereck.

  • Das Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei Seiten parallel zueinander sind. In dieser Aufgabe gibt es genau ein Trapez, auf das keine der spezielleren Bezeichnungen zutrifft. Es hat zwei zueinander parallele Seiten, die beiden anderen Seiten sind nicht parallel.

  • Ein Drachen ist eine Figur, bei der die gegenüberliegenden Winkel jeweils gleich groß sind. Es gibt hier einen Drachen, auf den keine speziellere Bezeichnung zutrifft, der also kein Parallelogramm, Raute oder Quadrat ist.

  • Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem die sich gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander sind. Eine der Figuren ist ein solches Parallelogramm und ist keine speziellere Figur. Je zwei aneinander anliegende Seiten sind verschieden lang.

  • Sind bei einem Parallelogramm alle Winkel rechte Winkel, so ist es ein Rechteck. Das hier gezeigte Rechteck hat verschieden lange Seiten, es ist daher kein Quadrat.

  • Sind bei einem Parallelogramm alle Seiten gleich lang, so ist es eine Raute. Sind bei der Raute die Winkel keine rechten Winkel, so ist die Raute kein Quadrat.

  Die übrigen Begriffe treffen auf die hier gezeigten Figuren nicht zu. Wie bereits erläutert, ist keine der Figuren ein Quadrat. Keine der Figuren hat sechs Eckpunkte, daher ist keines ein Sechseck. Das einzige abgebildete Fünfeck hat verschieden lange Seiten und ist daher kein regelmäßiges Fünfeck.

  Ein Quader ist keine ebene, sondern eine räumliche Figur und ein Pfeil ist keine geometrische Bezeichnung.

• Erschließe die falschen Bezeichnungen und Gleichungen.

  Tipps

  Die Eckpunkte, Seiten und Winkel eines Vielecks werden stets alphabetisch im Gegenuhrzeigersinn bezeichnet.

  Überlege, welche Seiten jeweils parallel zueinander sind.

  Ist das Parallelogramm keine Raute, so sind nebeneinanderliegende Seiten nicht gleich lang.

  Lösung

  Die Bezeichnung der Eckpunkte, Seiten und Winkel eines Vielecks geschieht immer nach folgender Konvention: Die Eckpunkte werden alphabetisch mit lateinischen Großbuchstaben $A$, $B$, $C$ ... im Gegenuhrzeigersinn bezeichnet, die Seiten mit lateinischen Kleinbuchstaben $a$, $b$, $c$ ... und die Winkel mit griechischen Kleinbuchstaben $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ ... Der Winkel an dem Eckpunkt $A$ bekommt die Bezeichnung $\alpha$. Daraus ergibt sich von selbst die Bezeichnung $\beta$ für den Winkel bei $B$, $\gamma$ bei $C$ und $\delta$ bei $D$. Die Seite $a$ ist bei einem Viereck meistens die zwischen $A$ und $B$, die Bezeichnung der anderen Seiten folgt im Gegenuhrzeigersinn.

  In dem Bild sind die Eckpunkte falsch bezeichnet: Sie sind im Uhrzeigersinn bezeichnet statt im Gegenuhrzeigersinn. Zudem liegt der Eckpunkt $A$ nicht bei dem Winkel $\alpha$. Daraus ergibt sich, dass auch alle anderen Eckpunkte nicht bei dem passenden Winkel liegen. Die Bezeichnung der Winkel und Seiten ist korrekt.

  Bei einem Parallelogramm sind je zwei gegenüberliegende Seiten parallel zueinander. Das sind stets die Seiten $a$ und $c$ bzw. $b$ und $d$. Die im Bild behauptete Relation $c \parallel d$ ist falsch, denn die Seiten $c$ und $d$ liegen nebeneinander.

  Aus der Parallelität gegenüberliegender Seiten ergibt sich, dass diese Seiten stets gleich lang sind. Nebeneinander liegende Seiten sind aber nicht gleich lang, wenn das Parallelogramm keine Raute ist. Daher ist die Gleichung $b=c$ im Bild falsch.

  Gegenüberliegende Winkel eines Parallelogramms sind stets gleich groß. Nebeneinander liegende Winkel ergeben zusammen $180^\circ$. Gegenüberliegende Winkel ergeben aber nur dann $180^\circ$, wenn das Parallelogramm ein Rechteck ist. Daher ist die Gleichung $\alpha + \gamma = 180^\circ$ falsch.

• Zeige die Parallelogramme auf.

  Tipps

  Nicht jede Figur mit zwei parallelen Geraden ist ein Parallelogramm.

  In einem Parallelogramm sind die sich gegenüberliegenden Seiten jeweils gleich lang.

  Diese Figur ist kein Parallelogramm, obwohl je zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind. Denn ein Parallelogramm ist immer ein Viereck, aber diese Figur ist ein Sechseck.

  Lösung

  Ein Parallelogramm ist ein Viereck, bei dem je zwei sich gegenüberliegende Seiten parallel zueinander sind. Eine der gezeigten Figuren hat nicht vier, sondern fünf Ecken. Sie ist ein Fünfeck und kann daher kein Parallelogramm sein.

  Bei einem Trapez sind zwei der sich gegenüberliegenden Seiten parallel, die beiden anderen Seiten müssen aber nicht parallel sein. Jedes Parallelogramm ist ein Trapez, aber nicht jedes Trapez ist ein Parallelogramm. Eine der Figuren ist ein Trapez, das kein Parallelogramm ist.

  Eine der Figuren ist zwar ein Viereck, besitzt allerdings keine zueinander parallelen Seiten und keine Symmetrien, also handelt es sich hierbei um ein allgemeines unregelmäßiges Viereck. Insbesondere ist es kein Parallelogramm und auch kein Trapez.

  Eine weitere Figur ist ein Viereck, dessen gegenüberliegenden Seiten nicht parallel zueinander sind. Allerdings besitzt dieses Viereck eine Symmetrieachse. Diese Figur heißt Drachen.

  Alle weiteren Figuren sind Parallelogramme. Darunter sind zwei allgemeine Parallelogramme mit verschieden langen Seiten und zwei spezielle Parallelogramme: Das Parallelogramm mit vier rechten Winkeln heißt Rechteck, das mit vier gleich langen Seiten heißt Raute.

• Analysiere die Aussagen.

  Tipps

  In einem Parallelogramm sind je zwei gegenüberliegende Seiten parallel. Überlege, was das für je zwei benachbarte Winkel bedeutet.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Sind in einem Parallelogramm zwei benachbarte Seiten gleich lang, so ist es eine Raute.“ Je zwei gegenüberliegende Seiten eines Parallelogramms sind gleich lang. Sind auch zwei benachbarte Seiten gleich lang, so müssen alle vier Seiten gleich lang sein, das bedeutet: Das Parallelogramm ist eine Raute.

  • „In einem Parallelogramm ist die Summe zweier benachbarter Winkel halb so groß wie die Summe aller Winkel.“ Die Winkelsumme in einem Parallelogramm beträgt wie bei jedem Viereck $360^\circ$. Die Summe zweier benachbarter Winkel eines Parallelogramms ist immer $180^\circ$. Das ist genau die Hälfte der Winkelsumme.

  • „Ist in einem Viereck die Summe je zweier benachbarter Winkel gleich, so ist es ein Parallelogramm.“ Ist die Summe je zweier benachbarter Winkel gleich, so sind je zwei gegenüberliegende Winkel gleich. Das findest du z. B. durch die Gleichungen $\alpha + \beta = \beta + \gamma$ heraus: Wenn du auf beiden Seiten der Gleichung $\beta$ subtrahierst, so erhältst du $\alpha = \gamma$. Analog ist auch $\beta = \delta$. Aus den Gleichungen $\alpha + \beta = \beta + \gamma = \gamma + \delta$ erhältst du $\alpha + 2\beta + 2\gamma + \delta = 3 \cdot (\beta + \gamma)$. Zusammen mit der Winkelsumme $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$ findest du $\beta + \gamma = 180^\circ$. Analog ist auch $\alpha + \beta = 180^\circ$. Daraus folgt, dass das Viereck ein Parallelogramm ist.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Beträgt in einem Parallelogramm die Summe zweier benachbarter Winkel $180^\circ$, so ist es ein Rechteck.“ In jedem Parallelogramm ist die Summe je zweier benachbarter Winkel $180^\circ$.

  • „Ein nicht-verschränktes Trapez ist genau dann ein Parallelogramm, wenn die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind.“ Es gibt auch Trapeze mit gleich langen gegenüberliegenden Seiten, die keine Parallelogramme sind, nämlich symmetrische Trapeze.

  • „Jedes punktsymmetrische Trapez ist ein Parallelogramm.“ Ein verschränktes Trapez kann auch punktsymmetrisch sein. Da sich bei einem verschränkten Trapez zwei der „gegenüberliegenden“ Seiten schneiden, können sie nicht parallel sein. Ein verschränktes Trapez ist daher in keinem Fall ein Parallelogramm.

  • „Jedes Viereck mit vier gleich langen Seiten und zwei gleich großen Winkeln ist ein Parallelogramm.“ Es gibt auch verschränkte Trapeze mit vier gleich langen Seiten und je zwei gleich großen Winkeln. Diese sind keine Parallelogramme.