Jahres-, Monats-, Tageszinsen

Jahres-, Monats-, Tageszinsen Übung

• Beschreibe das Bestimmen von Tageszinsen.

  Tipps

  Um die Tageszinsen zu bestimmen, ist es hilfreich, zunächst die Zinsen für ein ganzes Jahr zu bestimmen. Daraus kannst du dann die Zinsen pro Tag oder pro Monat berechnen.

  In der Zinsrechnung wird immer von einem Jahr mit $360$ Tagen ausgegangen. Ein Monat besteht in der Zinsrechnung immer aus $30$ Tagen.

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  „Zunächst bestimmen wir die Jahreszinsen. Dafür verwenden wir folgende Formel:

  $Z=p\% \cdot K$

  Hier erhalten wir:

  $Z=0,\!015 \cdot 328\,€ = 4,\!92\,€$“

  • Um die Tageszinsen zu bestimmen, ist es hilfreich, zunächst die Zinsen für ein ganzes Jahr zu bestimmen. Daraus kannst du dann die Zinsen pro Tag berechnen.

  „Möchten wir daraus die Tageszinsen berechnen, teilen wir durch $360$. Wir erhalten also:

  $1$ Tag: $\frac{1}{360} \cdot 4,\!92\,€= 0,\!014\,€$“

  • Indem du die Jahreszinsen durch $360$ teilst, kannst du die Zinsen pro Tag berechnen.

  „Für $15$ Tage erhalten wir:

  $15$ Tage: $\frac{15}{360} \cdot 4,\!92\,€= 0,\!21\,€$“

  • Du kannst auch die Zinsen für eine beliebige Anzahl an Tagen berechnen, indem du die Zinsen für einen Tag mit der Anzahl der Tage multiplizierst.

• Bestimme die Monatszinsen einer Geldanlage.

  Tipps

  Da ein Jahr $12$ Monate hat, kannst du die Monatszinsen bestimmen, indem du die Jahreszinsen durch $12$ teilst.

  Achtung: Hier tritt ein Rundungsfehler auf. Die beiden berechneten Werte für die Monatszinsen sind nicht gleich.

  Lösung

  So kannst du die Lücken füllen:

  „Die Jahreszinsen für diese Geldanlage betragen $4,\!92\,€$. Möchte sie daraus die Monatszinsen berechnen, muss sie diesen Betrag durch $12$ teilen. So erhält sie:

  $1$ Monat: $4,\!92\,€ \cdot \frac{1}{12}=0,\!41\,€$“

  • Da ein Jahr $12$ Monate hat, kannst du die Monatszinsen bestimmen, indem du die Jahreszinsen durch $12$ teilst.

  „$2$ Monate: $4,\!92\,€ \cdot \frac{2}{12}=0,\!82\,€$“

  • Die Zinsen für zwei Monate erhältst du, indem du die Formel für einen Monat mit $2$ multiplizierst.

  „Die Tageszinsen für diese Geldanlage betragen gerundet $0,\!014\,€$. Daraus kann sie ebenfalls die Monatszinsen bestimmen, indem sie mit $30$ multipliziert. Berechnet sie die Monatszinsen so, erhält sie:

  $1$ Monat: $0,\!014\,€ \cdot 30=0,\!42\,€$“

  • Du kannst die Monatszinsen entweder aus den Jahres-, oder aus den Tageszinsen bestimmen. Die unterschiedlichen Ergebnisse stammen aus einem Rundungsfehler.

• Ermittle die Zinsen für die jeweiligen Zeiträume.

  Tipps

  Du kannst die jeweiligen Zinsen bestimmen, indem du die Formel für die Jahreszinsen mit den jeweiligen anteiligen Zeiträumen multiplizierst. Für eine bestimmte Anzahl an Monaten teilst du die Jahreszinsen durch $12$ und multiplizierst mit der Anzahl der Monate.

  Legst du beispielsweise ein Kapital $K=100\,€$ bei $p\%=5\,\%$ für $4$ Monate an, rechnest du zunächst die Zinsen für ein Jahr aus:

  $Z=100\,€ \cdot 0,\!05 =5\,€$

  Anschließend kannst du den Dreisatz benutzen, um die Zinsen für $4$ Monate zu berechnen:

  $\begin{array}{llll} 5\,€ &\widehat{=}& 12 ~\text{Monate} &\vert :12 \\ 0,\!42\,€ & \widehat{=}& 1 ~\text{Monat} &\vert \cdot 4 \\ 1,\!68\,€ & \widehat{=}& 4 ~\text{Monate} &\\ \end{array}$

  Bei der Benutzung des Dreisatzes kann es auch zu Rundungsfehlern kommen.

  Lösung

  Du kannst die jeweiligen Zinsen bestimmen, indem du die Formel für die Jahreszinsen mit den jeweiligen anteiligen Zeiträumen multiplizierst. Für eine bestimmte Anzahl an Monaten teilst du die Jahreszinsen durch $12$ und multiplizierst mit der Anzahl der Monate. So erhältst du
  für $K=250\,€$, $p\%=2\,\%$ und $2$ Monate.

  Du kannst hier auch wieder den Dreisatz anwenden, nachdem du die Jahreszinsen berechnet hast.

  • $Z=250\,€ \cdot 0,\!02 =5\,€~\text{(pro Jahr)}$

  $ \begin{array}{llll} \\ 5\,€ &\widehat{=}& 12 ~\text{Monate} &\vert :12 \\ 0,\!42\,€ & \widehat{=}& 1 ~\text{Monat} &\vert \cdot 2 \\ 0,\!84\,€ & \widehat{=}& 2 ~\text{Monate} &\\ \end{array}$

  Ein Nachteil ist hierbei jedoch, dass sich schnell Rundungsfehler einschleichen können. Stattdessen kannst du auch ohne Zwischenergebnis rechnen:

  • $Z=250\,€ \cdot 0,\!02 \cdot \frac{2}{12}=0,\!83\,€$

  Für $K=400\,€$, $p\%=3,\!5\,\%$ und $3$ Monate erhalten wir:

  • $Z=400\,€ \cdot 0,\!035 \cdot \frac{3}{12}=3,\!50\,€$

  Bei den Tageszinsen teilen wir durch $360$ und multiplizieren mit der Anzahl der Tage. Für $K=300\,€$, $p\%=2\,\%$ und $45$ Tage erhalten wir:

  • $Z=300\,€ \cdot 0,\!03 \cdot \frac{45}{360}=0,\!75\,€$

  Für $K=500\,€$, $p\%=2\,\%$ und $78$ Tage ergibt sich:

  • $Z=500\,€ \cdot 0,\!02 \cdot \frac{78}{360}=2,\!17\,€$

• Wende die Zinsrechnungsformeln an.

  Tipps

  Du kannst die jeweiligen Zinsen bestimmen, indem du zuerst Kapital, Prozentwert und den jeweiligen Zeitraum identifizierst.

  Anschließend setzt du diese Werte in die Formel für die anteiligen Zinsen ein. So erhältst du für $K=100\,€$, $p\%=1\,\%$ und $10$ Tage:

  • $Z=100\,€ \cdot 0,\!01 \cdot \frac{10}{360}$

  Lösung

  Du kannst die jeweiligen Zinsen bestimmen, indem du zuerst Kapital, Prozentwert und den jeweiligen Zeitraum identifizierst. Anschließend setzt du diese Werte in die Formel für die anteiligen Zinsen ein. So erhältst du für $K=1\,500\,€$, $p\%=3\,\%$ und $49$ Tage:

  • $Z=1\,500\,€ \cdot 0,\!03 \cdot \frac{49}{360}=6,\!13\,€$

  Hier wurde von $6,\!125$ aufgerundet.

  Für $K=2\,000\,€$, $p\%=6\,\%$ und $4$ Monate:

  • $Z=2\,000\,€ \cdot 0,\!06 \cdot \frac{4}{12}=40\,€$

  Für $K=1\,000\,€$, $p\%=2\,\%$ und $1$ Monat:

  • $Z=1\,000\,€ \cdot 0,\!02 \cdot \frac{1}{12}= 1,\!67\,€$

  Hier wurde von $1,\!\overline{6}$ aufgerundet.

  Für $K=3\,000\,€$, $p\%=3\,\%$ und $3$ Monate:

  • $Z=3\,000\,€ \cdot 0,\!03 \cdot \frac{3}{12}=22,\!5\,€$

• Beschreibe Tages-, Monats- und Jahreszinsen.

  Tipps

  In der Zinsrechnung hat ein Jahr $12$ Monate, die jeweils $30$ Tage haben.

  Möchtest du aus den Tageszinsen Monatszinsen bestimmen, kannst du die Tageszinsen mit $30$ multiplizieren.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „In der Zinsrechnung hat ein Jahr immer $365$ Tage.“

  • In der Zinsrechnung nimmt man an, dass ein Jahr genau $360$ Tage hat. Damit vereinfachen sich alle Rechnungen.

  „Du kannst nur die Zinsen für einen Tag bestimmen. Die Zinsen für mehrere Tage lassen sich nicht bestimmen.“

  • Du kannst auch die Zinsen für mehrere Tage bestimmen, indem du zuerst die Zinsen für einen Tag bestimmst und diesen Wert anschließend mit der Anzahl der Tage, für die du die Zinsen berechnen möchtest, multiplizierst.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Jahreszinsen werden für ein ganzes Jahr angegeben.“

  „Um aus den Jahreszinsen die Monatszinsen zu berechnen, musst du die Jahreszinsen durch $12$ teilen.“

  • Da ein Jahr $12$ Monate hat, kannst du so die Monatszinsen bestimmen.

  „Um die Zinsen für einen Tag zu bestimmen, berechnest du die Zinsen für ein ganzes Jahr und teilst diesen Wert durch $360$.“

  • Da ein Jahr in der Zinsrechnung $360$ Tage hat, kannst du Tageszinsen berechnen, indem du die Jahreszinsen durch $360$ teilst.

• Ermittle das Endkapital.

  Tipps

  Um die Aufgaben zu lösen, musst du dir die Aufgabenstellung genau durchlesen. Teilweise sind hier Informationen gegeben, die dich nur verwirren sollen und nicht für die Lösung notwendig sind.

  Möchtest du bestimmen, wie viel Geld du nach einer Verzinsung auf dem Konto hast, musst du das Anfangskapital $K$ zu den erhaltenen Zinsen $Z$ addieren.

  Lösung

  Um die Aufgaben zu lösen, musst du dir genau die Aufgabenstellung durchlesen. Teilweise sind hier Informationen gegeben, die dich nur verwirren sollen und nicht für die Lösung notwendig sind.

  Möchtest du bestimmen, wie viel Geld du nach einer Verzinsung auf dem Konto hast, musst du das Anfangskapital $K$ zu den erhaltenen Zinsen $Z$ addieren. Wir betrachten die Angebote mithilfe der Formeln der Zinsrechnung.

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Legt sie $500\,€$ zu einem Zinssatz von $3\,\%$ an, hat sie nach $6$ Monaten $503\,€$ auf dem Konto.“

  • Hier rechnest du: $Z=500\,€ \cdot 0,\!03 \cdot \frac{6}{12}=7,\!5\,€$. Also hat sie $K+Z=500\,€+7,\!5\,€=507,\!5\,€$ auf dem Konto.

  „Hat sie $1\,500\,€$ auf dem Konto und verleiht diese an ihre Freundin für drei Monate zu einem Zinssatz von $3\,\%$, hat sie nach einem Monat $1\,503,\!74\,€$ auf dem Konto.“

  • Wenn sie ihr Geld für drei Monate verleiht, hat sie nach einem Monat $0\,€$ auf dem Konto. Das Geld inklusive Zinsen wird erst zwei Monate später zurückgezahlt.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Nachdem sie ein Jahr gespart hat, legt sie die Hälfte von ihren $1\,500\,€$ für $123$ Tage an. Der Zinssatz liegt bei $2,\!5\,\%$. Nach den $123$ Tagen hat sie $756,\!41\,€$ auf dem Konto.“

  • Lass dich nicht von den unwichtigen Informationen ablenken. Es gilt: $K=750\,€$ und $p\%=2,\!5\,\%$. Das Geld wird für $123$ Tage angelegt. Also erhalten wir: $Z=750\,€ \cdot 0,\!025 \cdot \frac{123}{360}=6,\!4\,€$. Also hat sie $K+Z=750\,€+6,\!4\,€=756,\!4\,€$ auf dem Konto.

  „Während sie gespart hat, hat sie jeden Monat $15\,\%$ ihres Gehalts weggelegt. Jetzt möchte sie $1\,000\,€$ für $3$ Monate zu einem Zinssatz von $4\%$ anlegen. Nach dieser Zeit hat sie $1\,010\,€$ auf dem Konto.“

  • Hier rechnen wir: $Z=1\,000\,€ \cdot 0,\!04 \cdot \frac{3}{12}=10\,€$. Also hat sie $K+Z=1\,000\,€+10\,€=1\,010\,€$ auf dem Konto.