Die elektrische Leistung
Elektrische Leistung in der Physik definiert die Umsetzung von Energie durch einen Verbraucher. Sie wird in Watt gemessen. Eine höhere Leistung bedeutet eine größere Energieumwandlung. Um Energie zu sparen, wähle Geräte mit einer niedrigeren Leistung für einen höheren Wirkungsgrad. Interessiert? Dies und mehr findest du im folgenden Text.
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Grundlagen zum Thema Die elektrische Leistung
Elektrische Leistung – einfach erklärt
Mit Sicherheit ist dir schon einmal der Begriff elektrische Leistung begegnet – zum Beispiel in Verbindung mit Lampen oder Haushaltsgeräten und deren Energieverbrauch. Im Folgenden wird dir erklärt, wie genau die elektrische Leistung in der Physik definiert ist.
Elektrische Leistung – Definition
Die elektrische Leistung mit Formelzeichen $P$ gibt an, wie viel elektrische Energie innerhalb eines definierten Zeitraums umgesetzt wird. Dabei wird diese Energie über einen Verbraucher, oder besser Energiewandler, in andere Energieformen umgewandelt.
Handelt es sich bei dem Verbraucher zum Beispiel um eine Glühlampe, dann wird die umgesetzte Energie in Licht- und Wärmeenergie überführt. Die Einheit der elektrischen Leistung ist das Watt:
$[P] =1~\text{W}$
Elektrische Leistung berechnen
Die allgemeine Formel für die elektrische Leistung $P$ gibt die umgesetzte Energie $\Delta E$ in einem Intervall $\Delta t$ an:
$P=\frac{\Delta E}{\Delta t}$
Dabei wird die elektrische Energie in der Einheit Joule $[E]=1~\text{J}$ und die Zeit in Sekunden $[t] =1~ \text{s}$ angegeben. Ein Watt kann daher auch als $1~\text{W}=1~\frac{\text{J}}{\text{s}}$ ausgedrückt werden.
Außerdem zeigt die Formel:
Ein Verbraucher mit einer höheren Leistung verbraucht mehr Energie als ein Verbraucher mit niedrigerer Leistung im gleichen Zeitraum, d. h. er wandelt mehr elektrische Energie in eine andere Energieform um.
Um Energie zu sparen, werden daher Verbraucher mit möglichst niedrigen Leistungen eingesetzt, zum Beispiel Energiesparlampen anstelle von Glühlampen. Das funktioniert vor allem dann gut, wenn diese einen höheren Anteil der elektrischen Energie in die gewünschte Energieform (also Lichtenergie bei der Energiesparlampe) umwandeln. Sie haben dann einen höheren Wirkungsgrad.
Außerdem gilt natürlich, dass ein Verbraucher in einem längeren Zeitraum mehr Energie umsetzt als in einem kurzen Intervall.
Elektrische Leistung bei Gleichstrom
Für Gleichstrom kann die elektrische Leistung über die Formel
$P=U\cdot I$
mithilfe der elektrischen Spannung $U$ und Stromstärke $I$ berechnet werden.
Verhält sich der Verbraucher wie ein ohmscher Widerstand $R$, kann außerdem das ohmsche Gesetz, also $U=R \cdot I$ bzw. $I=\dfrac{~U}{R}$, angewendet werden.
Daraus ergeben sich folgende Zusammenhänge:
$P=R\cdot I^{2}$
$P=\dfrac{~~~U^{2}}{R}$
Nun kennst du viele Formeln, mit denen du die elektrische Leistung berechnen kannst. Wenn du die zur Berechnung notwendigen Größen kennst, brauchst du also die elektrische Leistung nicht messen.
Elektrische Leistung – Beispielrechnungen
Für die folgenden drei Beispielrechnungen betrachten wir zwei Lampen – eine herkömmliche Glühlampe und eine Energiesparlampe. Die Glühlampe hat eine Leistung von $P_1=60~\text{W}$. Die Energiesparlampe hat eine deutlich niedrigere Leistung von $P_2=11~\text{W}$.
Rechnung 1 – Zeitvergleich
Wie lange muss die Energiesparlampe betrieben werden, um die gleiche Energie umzusetzen wie die Glühlampe in einer Stunde?
Um das zu berechnen, ermitteln wir erst einmal die Energie $\Delta E_1$, die die Glühlampe in einer Stunde umsetzt. Das kann man über den Zusammenhang für die elektrische Leistung
$P_1=\frac{\Delta E_1}{\Delta t_1} \Leftrightarrow \Delta E_1=P_1 \cdot \Delta t_1=\pu{60 W} \cdot \pu{1 h} = \pu{60 \frac{J}{s}} \cdot 3\,600~\pu{s}=216\,000~\pu{J}$
Die Glühlampe setzt in einer Stunde also eine Energie von $216\,000~\text{J}$ um. Nun können wir den gleichen Zusammenhang verwenden, um die Zeit $\Delta t_2$ auszurechnen, in der die Energiesparlampe mit Leistung $P_2$ die gleiche Energie umgesetzt hat. Die Formel $P=\frac{\Delta E}{\Delta t}$ muss also nach $\Delta t$ umgestellt werden.
$P_2=\frac{\Delta E_2}{\Delta t_2} = \frac{\Delta E_1}{\Delta t_2} \Leftrightarrow \Delta t_2 = \frac{\Delta E_1}{P_2} = \frac{216\,000~\pu{J}}{11~\pu{W}} \approx 19\,600~\pu{s} \approx \pu{5,4 h}$
Die Energiesparlampe kann also etwa fünfmal so lange betrieben werden wie die Glühlampe, bis sie die gleiche Energie umgesetzt hat. Dass weniger Energie verbraucht wird, bedeutet allerdings nicht, dass die Sparlampe schlechter oder weniger leuchtet als die Glühlampe. Stattdessen ist sie deutlich effizienter und gibt weniger Energie in Form von Wärme oder Licht, das man nicht sehen kann (z. B. Infrarot- oder UV-Licht), ab.
Rechnung 2 – Stromstärke
Welche Stromstärke $I_2$ ist nötig, um die Energiesparlampe mit $P_2$ bei einer Spannung von $220~\text{V}$ zu betreiben?
Für diese Berechnung kann man die Formel $P=U\cdot I$ verwenden und nach $I$ umstellen. Daraus ergibt sich:
$P_2=U_2 \cdot I_2 \Leftrightarrow I_2=\frac{P_{2}}{U_2}=\frac{11~\text{W}}{220~\text{V}}= 0,05~\text{A}$.
Es ist also eine Stromstärke von $0,05~\text{A}$ nötig.
Rechnung 3 – ohmscher Widerstand
Welchen ohmschen Widerstand hat die Glühlampe mit $P_1$ bei einem Stromfluss von $2~\text{A}$?
An dieser Stelle kann der Zusammenhang $P=R\cdot I^{2}$ verwendet und zur Berechnung des Widerstands nach $R_1$ umgestellt werden:
$P_1=R_1 \cdot {I_1}^{2} \Leftrightarrow R_1 = \frac{P_1}{{I_1}^2} = \frac{60~\pu{W}}{(2~\pu{A})^{2}}=15~\Omega$
Der ohmsche Widerstand beträgt in diesem Fall also $15~\Omega$.
Zusammenfassung der elektrischen Leistung
- Die elektrische Leistung $P$ ist definiert als Quotient der Energiemenge $\Delta E$ und der Zeitspanne $\Delta t$, in der diese umgesetzt bzw. umgewandelt wird: $P=\frac{\Delta E}{\Delta t}$
- Zusammen mit der Formel des ohmschen Gesetzes $\left( U = R \cdot I \right)$ lassen sich die elektrischen Leistungen vieler Bauteile berechnen, die als Energiewandler dienen (beispielsweise die Leistung einer Energiesparlampe) und untereinander vergleichen.
- Eine besonders große Leistung ist nicht immer wünschenswert. Es kommt immer darauf an, ob die elektrische Energie auch wirklich in erwünschte Energieformen umgewandelt wird – also wie groß der Wirkungsgrad eines Bauteils bzw. der darüber ablaufenden Energieumwandlung ist.
Häufig gestellte Fragen zum Thema elektrische Leistung
Transkript Die elektrische Leistung
Das ist Laurin. Er hat beschlossen, Energie zu sparen – indem er sich weigert, seinen Taschenrechner weiterhin zu benutzen. "No math for Future", sagt er… Grundsätzlich hat er natürlich Recht damit, sehr genau auf Ressourcen zu achten, aber ist die Reduzierung des Energieumsatzes seines TASCHENrechners wirklich die Lösung aller Probleme? Welche Größe entscheidet denn eigentlich darüber, wie viel Energie ein elektrisches Gerät benutzt und welche Geräte man daher unbedingt sparsam verwenden sollte? "Die elektrische Leistung." Erinnern wir uns zunächst daran, wie die physikalische Leistung im Allgemeinen definiert ist: Die Leistung P ist der Quotient aus verrichteter Arbeit "delta W" oder abgegebener Energie "delta E" pro Zeit "delta t". Die Einheit der Leistung ist Joule pro Sekunde oder WATT. Wie lassen sich nun diese Erkenntnisse auf den elektrischen Strom übertragen? Der elektrische Strom transportiert Energie. Im Stromkreis befinden sich Bauteile beziehungsweise Energiewandler, wie Drähte, ohmsche Widerstände, Glühlampen, Motoren und so weiter. Diese setzen die gelieferte Energie in andere Energieformen um, zum Beispiel Wärmeenergie, Lichtenergie oder mechanische Energie. Die elektrische Leistung gibt nun an, wie viel Energie pro Zeit an einem elektrischen Bauteil beziehungsweise Energiewandler umgesetzt wird. Die oben genannte Formel gilt also auch für die ELEKTRISCHE Leistung. Wie hängt nun aber die elektrische Leistung P von den bekannten Größen im Stromkreis ab, nämlich der Spannung U, der Stromstärke I und dem elektrischen Widerstand R? An einem Bauteil mit dem ohmschen Widerstand R gilt das ohmsche Gesetz: U ist gleich R mal I. Außerdem benötigen wir die Definitionen von Spannung und Stromstärke. Die Stromstärke gibt an, welche Ladungsmenge "delta Q" pro Zeit "delta t" durch den Leiterquerschnitt fließt. Die Spannung gibt an, welchen Antrieb der Strom hat, genauer gesagt, welche Energie "delta E" pro Ladungsmenge "delta Q" die Spannungsquelle zur Verfügung stellt. Siehst du, wie man daraus den Ausdruck für die Leistung basteln kann?Drück ruhig auf den Pausebutton und denk kurz nach. Wenn man U und I multipliziert, kürzt sich die Ladungsmenge raus und man erhält den gesuchten Ausdruck! Damit haben wir eine zweite Formel für die elektrische Leistung P. P ist gleich U mal I. Wir schauen an dieser Stelle vorsichtshalber mal, wie es mit den Einheiten aussieht, damit wir sicher sind, dass unsere Rechnungen mit dieser Formel auch nicht zu Unfug führen. Der Haupttrick ist, dass Volt nichts anderes ist als Joule pro Ampere-Sekunde. Dann lässt sich Ampere kürzen und wir erhalten Joule pro Sekunde. Du siehst, alles schick bei den Einheiten. Jetzt berücksichtigen wir noch das ohmsche Gesetz:Zum einen ist "U gleich R mal I", also ist P gleich "U mal I" gleich "R mal I mal I" gleich "R mal I zum Quadrat". Außerdem folgt aus U gleich "R mal I", dass I gleich "U durch R" ist. Dann gilt: P gleich "U mal I" gleich "U mal U durch R" gleich "U zum Quadrat durch R". Damit haben wir vier Schreibweisen für die elektrische Leistung beisammen und können jetzt an ein paar Beispielen üben. Auch wenn es natürlich nützlich wäre, stets alle vier Formeln parat zu haben – merken solltest du dir auf jeden Fall "P gleich U mal I".Nun die Beispiele. Erstens:Eine Energiesparlampe hat eine geringere Leistung – nämlich elf Watt – als eine herkömmliche alte Glühlampe mit sechzig Watt. Wie viele Stunden kann die Energiesparlampe leuchten, um dieselbe Energie umzusetzen wie die Glühlampe in einer Stunde? Gegeben ist: P-eins ist gleich elf Watt. P-zwei ist gleich sechzig Watt. Die Zeit, die die Glühlampe leuchten soll, nennen wir "Delta t-zwei". "Delta t-zwei" ist gleich eine Stunde. Unter der Voraussetzung, dass beide Lampen die gleiche Energie umsetzen, ist jetzt "Delta t-eins", die Leuchtdauer der Energiesparlampe, gesucht . Wir benutzen die erste Formel und stellen sie nach Delta E um. Das setzen wir ein: Und mit Zahlen: Sechzig Watt geteilt durch elf Watt mal einer Stunde gleich "fünf komma fünf Stunden". Die Energiesparlampe kann also mit derselben Energie ungefähr fünfeinhalb Stunden leuchten. Zweitens:Welche Stromstärke fließt, wenn die Energiesparlampe an eine herkömmliche Steckdose mit der Spannung U gleich "zweihundertdreißig" Volt angeschlossen ist? Gegeben ist P gleich elf Watt, U gleich "zweihundertdreißig" Volt.Gesucht ist die Stromstärke I. Hier verwenden wir die zweite Formel und formen nach I um: Wir drehen die Gleichung um und setzen ein. Elf Watt durch "zweihundertdreißig" Volt. Wenn man die Energiesparlampe an eine Steckdose anschließt, fließt ein Strom der Stärke “null komma null vier acht” Ampere. Jetzt schauen wir uns noch eine letzte Fragestellung an: Welchen ohmschen Widerstand hat die Energiesparlampe? Diese Frage lässt sich mit mehreren Lösungswegen beantworten. Am sinnvollsten ist es wohl, mit den Ausgangsdaten – und nicht mit gerundeten Ergebnissen – zu arbeiten. Diese wären P gleich elf Watt und U gleich "zweihundertdreißig" Volt. Gesucht ist der Widerstand R Wir verwenden die vierte Formel und formen nach R um. Jetzt setzen wir die Werte ein: Die Energiesparlampe hat einen Widerstand von "viertausendachthundert" Ohm. Und wir fassen zusammen. Die Leistung P ist der Quotient aus verrichteter Arbeit "delta W" oder abgegebener Energie "delta E" pro Zeit "delta t". Die Einheit der Leistung ist Joule pro Sekunde oder WATT. Für die Leistung, die ein Bauteil mit dem ohmschen Widerstand R dem Stromkreis entnimmt, gelten folgende Formeln: Und Laurin? Der ist auf die Idee gekommen, mal nachzuschauen, welche Leistung ein Taschenrechner denn so hat im Vergleich zu anderen Geräten des alltäglichen Lebens. Na gut. Der Taschenrechner ist leider nicht die Lösung. Aber den Fernseher, den kann er ausmachen. Und die Waschmaschine sollte definitiv nicht nur allein wegen seiner Lieblingsjeans laufen.
Die elektrische Leistung Übung
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Vervollständige die Tabelle mit den richtigen Formelzeichen und Einheiten.
TippsDie elektrische Leistung wird in der Einheit Watt $(\text{W})$ angegeben.
Die Stromstärke hat das Formelzeichen $I$.
LösungFormelzeichen und Einheiten werden zu den physikalischen Größen wie folgt zugeordnet:
Stromstärke
- Formelzeichen: $I$
- Einheit: $\text{A}$ (Ampere)
Spannung
- Formelzeichen: $U$
- Einheit: $\text{V}$ (Volt)
Widerstand
- Formelzeichen: $R$
- Einheit: $\Omega$ (Omega)
Leistung
- Formelzeichen: $P$
- Einheit: $\text{W}$ (Watt)
-
Definiere die physikalischen Größen Stromstärke, Spannung, Widerstand und Leistung.
TippsDie Formel zur Berechnung der elektrischen Leistung lautet:
$P = \dfrac{\Delta E}{\Delta t}$
Die Formel zur Berechnung der Stromstärke lautet:
$I = \dfrac{\Delta Q}{\Delta t}$
LösungFolgende Sätze musst du miteinander verbinden, um die physikalischen Größen zu definieren. Diese Definitionen können aus den mathematischen Beschreibungen dieser Größen abgeleitet werden.
1) Die elektrische Leistung $P$ gibt an, wieviel Energie $\Delta E$ in der Zeit $\Delta t$ an einem elektrischen Bauteil umgesetzt wird.
Daher lautet die allgemeine Formel zur Berechnung der Leistung: $P = \dfrac{\Delta E}{\Delta t}$
2) Die elektrische Stromstärke $I$ gibt an, welche Ladungsmenge $\Delta Q$ in der Zeit $\Delta t$ durch den Querschnitt eines Leiters fließt.
Daher lautet die allgemeine Formel zur Berechnung der Stromstärke: $I = \dfrac{\Delta Q}{\Delta t}$
3) Die elektrische Spannung $U$ gibt an, welche Energie $\Delta E$ von der Spannungsquelle pro Ladungsmenge $\Delta Q$ zur Verfügung gestellt wird.
Daher lautet die allgemeine Formel zur Berechnung der Spannung: $U = \dfrac{\Delta E}{\Delta Q}$
4) Der elektrische Widerstand $R$ gibt an, wie stark der Stromfluss $I$ bei einer konstanten Spannung $U$ durch ein elektrisches Bauteil behindert wird.
Die allgemeine Formel zur Berechnung des Widerstandes lautet daher: $R = \dfrac{U}{I}$
-
Bestimme den Wert des Widerstandes, der im Föhn integriert ist.
TippsAus der Aufgabenstellung lassen sich folgende gegebene Größen finden:
- elektrische Leistung des Föhns $P= 1\,150~\text{W}$
- die Spannung $U= 230~\text{V}$
In dieser Aufgabe ist der elektrische Widerstand $R$ gesucht.
Welche Formeln für die elektrische Leistung $P$ kennst du, wo die Leistung $P$ mit der Spannung $U$ und dem Widerstand $R$ zusammenhängt?
Der Zusammenhang zwischen der elektrischen Leistung $P$ und der Spannung $U$ und dem Widerstand $R$ lautet:
$ P = \dfrac{U^2}{R}$
Forme die Gleichung nach $R$ um und setze die Werte ein.
LösungIn Andrew's Beispiel sind folgende gegebene Größen finden:
- elektrische Leistung des Föhns $P= 1\,150~\text{W}$
- die Spannung $U= 230~\text{V}$
Nun ist der elektrische Widerstand $R$ gesucht. Wir wissen, dass für die elektrische Leistung die Formel $P= U \cdot I$ gilt. Mit dem ohmschen Gesetz $R = \frac{U}{I}$ lässt sich ein Zusammenhang herleiten, der nur die Spannung $U$ und den Widerstand $R$ beinhaltet:
$P = \dfrac{U^2}{R}$
Wenn wir diese Gleichung nun nach $R$ umformen und dann die Werte einsetzen, erhalten wir:
$P = \dfrac{U^2}{R} ~ \Leftrightarrow ~ R = \dfrac{U^2}{P}$
$\Rightarrow R = \dfrac{(230~\text{V})^2}{1\,150~\text{W}} = \dfrac{52\,900~\text{V}^2}{1\,150~\text{W}} = 46~\Omega$
Der Föhn von Andrew hat also einen Widerstand von $R= 46~\Omega$, sobald er angeschlossen und in Betrieb ist.
-
Berechne die Stromstärke und den Widerstand einer Energiesparlampe.
TippsDie Formel für die Leistung $P$ lautet:
$P = {U \cdot I}$
Aus dem ohmschen Gesetz lässt sich ein mathematischer Zusammenhang für den elektrischen Widerstand $R$ herleiten:
$R = \dfrac{U}{I}$
LösungMit den gegebenen Größen kannst du zunächst die Stromstärke $I$ berechnen.
Es gilt:
$I = \dfrac{P}{U}$
$\Rightarrow I = \dfrac{9~\text{W}}{230~\text{V}} = 0{,}039~\text{A}$
Nun kannst du den Widerstand $R$ der Energiesparlampe mit dem ohmschen Gesetz berechnen:
$R = \dfrac{U}{I}$
$\Rightarrow R = \dfrac{230~\text{V}}{0{,}039~\text{A}} = 5\,897~\Omega$
Das sind die richtigen Werte für die Stromstärke $I$ und den Widerstand $R$.
-
Gib an, welche Formeln zur Berechnung der elektrischen Leistung benutzt werden können.
TippsEs ist nur eine Formel korrekt.
Wenn du die richtige Darstellung der Formel nicht mehr kennst, dann versuche doch sie dir herzuleiten.
Die allgemeine Definition der Leistung $P$ ist:
$P = \dfrac{\Delta E}{\Delta t}$
Für die Stromstärke $I$ wissen wir gilt:
$I = \dfrac{\Delta Q}{\Delta t}$
Außerdem können wir die Spannung $U$ auch so darstellen:
$U = \dfrac{\Delta E}{\Delta Q}$
LösungWenn du diese Gleichungen kennst, kannst du die Formeln zur Berechnung der Leistung ableiten:
$P = \dfrac{\Delta E}{\Delta t}$
$R = \dfrac{U}{I}$
$I = \dfrac{\Delta Q}{\Delta t}$
$U = \dfrac{\Delta E}{\Delta Q}$
Multiplizierst du einfach $U$ und $I$, erhältst du folgende Gleichung:
$U \cdot I = \dfrac{\Delta E}{\Delta Q} \cdot \dfrac{\Delta Q}{\Delta t}$
$\Delta Q$ kannst du kürzen.
Dann erhältst du:
$P = U \cdot I = \dfrac{\Delta E}{\Delta t}$
Damit hast du die richtige Formel zur Berechnung der Leistung:
$P = U \cdot I$
-
Berechne die elektrische Leistung des Elektromotors für den Aufzug.
TippsWir wissen, dass die elektrische Leistung $P$ über diesen Zusammenhang definiert ist:
$P = \dfrac{\Delta E}{\Delta t}$
Die elektrische Energie, die der Elektromotor braucht, ist gleich mit der potentiellen Energie, die aufgebracht wird, um die Person in den ersten Stock zu bringen.
LösungWir wissen, dass die elektrische Leistung $P$ über diesen Zusammenhang definiert ist:
$P = \dfrac{\Delta E}{\Delta t}$
Damit steht die elektrische Leistung im Allgemeinen für elektrische Energie $\Delta E$, die in einem bestimmten Zeitraum $\Delta t$ aufgebracht wird. Diese Energie muss in unserem Beispiel aufgrund des Energieerhaltungssatzes aber genauso groß wie die potentielle Energie $E_{pot}$ sein, da der Elektromotor einen Aufzug antreibt, der eine Person auf eine bestimmte Höhe $h$ bringt. Das heißt, wir können in die Formel die potentielle Energie $\Delta E_{pot}$ einsetzen und erhalten:
$P = \dfrac{\Delta E_{pot}}{\Delta t} = \dfrac{m \cdot g \cdot h}{\Delta t}$
Mit dem Ortfaktor $g \approx 10~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ und den anderen gegebenen Werten erhalten wir:
$P = \dfrac{20~\text{kg} \cdot 10~\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 3~\text{m}}{5~\text{s}} = 120~\text{W}$
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