Graphische Darstellung bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen – Beispiele

Graphische Darstellung bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen – Beispiele Übung

• Gib an, welche der Darstellungen Höhenlinien oder Isoquanten der Funktion $f(x;y)=|x|+|y|$ sind.

  Tipps

  Höhenlinien, bei denen $x=x_0$ konstant ist, entsprechen einem Schnitt parallel zu der y-z-Ebene und bei $y=y_0$ einem Schnitt parallel zur x-z-Ebene.

  Isoquanten entsprechen

  • dem Blick auf die Fläche im Raum von oben oder
  • einem Schnitt parallel zur x-y-Ebene.

  Wenn $x=x_0$ konstant ist, dann ist

  $h(y)=f(x_0;y)=|x_0|+|y|$

  eine Betragsfunktion in $y$.

  Isoquante sind spezielle Höhenlinien.

  Lösung

  Wenn man die Höhenlinien für $x=x_0$ oder $y=y_0$ betrachtet, kann man sich dies als Schnitt durch die Fläche im Raum parallel zur xz- oder yz-Koordinatenebene vorstellen:

  • Sei $x=x_0$ konstant, dann entsteht eine Betragsfunktion im y-z-Koordinatensystem und
  • für $y=y_0$ konstant entsteht eine Betragsfunktion im x-z-Koordinatensystem.

  Die Isoquanten sind Schnitte durch die Fläche im Raum parallel zur x-y-Koordinatenebene. Die Isoquanten sind Quadrate.

• Beschreibe die Höhenlinien der Funktion $f(x;y)=x^2-y^2$.

  Tipps

  Wenn man $y=y_0$ konstant wählt, bedeutet dies, dass man einen Schnitt parallel zur x-z-Koordinatenebene durchführt.

  Hält man nun $x=x_0$ konstant, bedeutet dies, dass man einen Schnitt parallel zur y-z-Koordinatenebene durchführt.

  Der Graph einer Funktion $f(x)=ax^2+bx+c$ ist eine Parabel:

  • Für $a>0$ ist die Parabel nach oben geöffnet und
  • für $a<0$ nach unten.

  Lösung

  Wenn man bei der Funktion $f(x;y)=x^2-y^2$ eine der beiden Variablen konstant wählt, erhält man die entsprechenden Höhenlinien.

  Wenn man $y=y_0$ konstant wählt, bedeutet dies, dass man einen Schnitt parallel zur x-z-Koordinatenebene durchführt.

  Bei dem abgebildeten hyperbolischen Paraboloid erhält man so eine nach oben geöffnete Normalparabel.

  Hält man nun $x=x_0$ konstant, bedeutet dies, dass man einen Schnitt parallel zur y-z-Koordinatenebene durchführt.

  Bei dem abgebildeten hyperbolischen Paraboloid erhält man so eine nach unten geöffnete Normalparabel.

• Entscheide, welche der Darstellungen Isoquanten der Funktion $f(x;y)=x-y$ zeigen.

  Tipps

  Der Funktionswert der Funktion $f(x;y)$ ist die z-Koordinate.

  Die Isoquanten können als Schnitt durch das Paraboloid parallel zur x-y-Ebene verstanden werden.

  Alle geordneten Paare $(x|y)$, die die Gleichung

  $z_0=x-y$

  lösen, bilden Isoquante.

  Zum Beispiel erhältst du für $z_0=0$ die Gleichung $0=x-y$, welche äquivalent ist zu $y=x$.

  Lösung

  Wenn man bei der Gleichung $f(x;y)=x-y$ den Funktionswert $z=z_0$ konstant wählt, erhält man die Isoquanten:

  $z_0=x-y$.

  Addition von $y$ und Subtraktion von $z_0$ führen zu

  $y=x+z_0$.

  Der Graph zu dieser linearen Gleichung ist eine Gerade mit der Steigung $m=1$ und dem y-Achsenabschnitt $z_0$.

  Das bedeutet: Alle Isoquanten sind Geraden, welche parallel zu der Geraden mit $y=x$ verlaufen. Die Gleichung $y=x$ erhält man für $z=0$.

• Beschreibe die Höhenlinien der Funktion.

  Tipps

  Setze jeweils den bekannten (konstanten) Wert in der Funktionsgleichung ein.

  Der Scheitelpunkt der Funktion

  $f(x)=a(x-x_s)^2+y_s$

  ist gegeben durch $S(x_s|y_s)$.

  Alle Parabeln werden ausschließlich entlang der z-Achse verschoben.

  Lösung

  Je nachdem, welche Veränderliche konstant gewählt wird, erhält man entweder nach oben oder nach unten geöffnete Normalparabeln.

  Für $x=x_0$ konstant erhält man immer eine nach unten geöffnete Normalparabel: $z=x_0^2-y^2$. Diese Normalparabel ist um $x_0^2$ Einheiten entlang der z-Achse nach oben verschoben. Die y-Koordinate des Scheitelpunktes ist immer $y=0$.

  • Für $x=0$ liegt der Scheitelpunkt in $y=0$ und $z=0$.
  • Für $x=4$ liegt der Scheitelpunkt in $y=0$ und $z=16$.

  Für $y=y_0$ konstant erhält man immer eine nach oben geöffnete Normalparabel: $z=x^2-y_0^2$. Diese Normalparabel ist um $y_0^2$ Einheiten entlang der z-Achse nach unten verschoben. Die x-Koordinate des Scheitelpunktes ist immer $x=0$.

  • Für $y=2$ liegt der Scheitelpunkt in $x=0$ und $z=-4$.
  • Für $y=-2$ liegt der Scheitelpunkt in $x=0$ und $z=-4$.

• Beschreibe, was Isoquanten sind.

  Tipps

  Isoquanten entsprechen einer Sicht von oben auf die Fläche im Raum.

  Du kannst dir Isoquanten auch so vorstellen: Sie sind ein Schnitt durch die Fläche im Raum parallel zur x-y-Ebene.

  Eine Ebene, die zur x-y-Ebene parallel ist, hat eine feste z-Koordinate.

  Lösung

  Auch die Isoquanten sind Höhenlinien.

  Bei den Isoquanten wird weder $x$ noch $y$ konstant gehalten, sondern der Funktionswert $z=z_0$.

  Anschaulich bedeutet dies, dass man von oben auf den Funktionsgraphen schaut.

  Die Isoquanten der Funktion $f(x;y)=|x|+|y|$ sind Quadrate, deren gemeinsamer Mittelpunkt der Koordinatenursprung ist.

• Prüfe die folgenden Aussagen.

  Tipps

  Dies ist das Paraboloid zu der Funktion $f(x;y)=x^2+2x+1+y^2=(x+1)^2+y^2$.

  Die Isoquanten dieser Funktion sind Kreise mit dem gemeinsamen Mittelpunkt $M(-1|0)$.

  Schaue dir die Funktion $f(x;y)=x^2+y^2$ an mit festem $z_0=4$.

  Dies führt zu der Gleichung $x^2+y^2=4$ oder, äquivalent dazu,

  $\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2}=2$.

  Dies ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt $M(0|0)$ und dem Radius $r=2$.

  Du kannst dir die Isoquanten so vorstellen: Du machst einen Schnitt durch diesen Graphen parallel zur x-y-Ebene.

  Lösung

  Die Isoquanten sind diejenigen Kombinationen von $x$ und $y$, für die $f(x;y)=z_0$ gilt. Diese Gleichung kann nach $x$ oder nach $y$ umgeformt werden. Der Graph dieser umgeformten Gleichung wird Isoquant genannt.

  Die Isoquanten der Funktion $f(x;y)=|x|+|y|$ sind Quadrate. Alle diese Quadrate haben einen gemeinsamen Mittelpunkt, den Koordinatenursprung.

  Die Isoquanten der Funktion $f(x;y)=|x-1|+|y+2|$ sind ebenfalls Quadrate. Auch diese Quadrate haben einen gemeinsamen Mittelpunkt. Dieser ist um eine Einheit in positiver x-Richtung sowie um zwei Einheiten in negativer y-Richtung verschoben: $M(1|-2)$.

  Die Isoquanten der Funktion $f(x;y)=x^2+y^2$ sind Kreise. Auch diese haben einen gemeinsamen Mittelpunkt, den Koordinatenursprung $O(0|0)$.

  Die Isoquanten der Fuktion $f(x;y)=x^2+y^2-4y+4=x^2+(y-2)^2$ sind ebenfalls Kreise. Deren gemeinsamer Mittelpunkt ist $M(0|2)$.

  Der Mittelpunkt lässt sich in der Regel leicht bestimmen. Bei quadrierten Termen muss der quadrierte Term $0$ sein, bei Betragsstrichen muss innerhalb der Betragsstriche $0$ stehen.