Beschleunigte Bewegung – Darstellung im Diagramm

Beschleunigte Bewegung – Darstellung im Diagramm Übung

• Nenne eine Definition der Beschleunigung.

  Tipps

  Die Beschleunigung ist die Geschwindigkeit pro Zeiteinheit.

  Lösung

  Die Beschleunigung beschreibt, wie schnell sich die Geschwindigkeit eines Objekts in einem bestimmten Zeitraum ändert. Die Beschleunigung hat das Formelzeichen $a$ und die Einheit $\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$.

  
  

  „Die Beschleunigung ist die Rate, mit der die Geschwindigkeit $v$ eines Objektes zu- oder abnimmt.“

  $\implies$ Diese Antwort ist richtig.

  
  

  „Die Beschleunigung ist die Rate, mit der sich die Zeit eines Objekts ändert.“

  $\implies$ Diese Antwort ist falsch.

  
  

  „Die Beschleunigung ist die Entfernung, die ein Objekt in einer bestimmten Zeit zurücklegt.“

  $\implies$ Diese Antwort ist falsch.

  
  

  „Die Beschleunigung ist die Masse eines Objektes.“

  $\implies$ Diese Antwort ist falsch.

• Entscheide, welche Begriffe zu welchen Formeln passen.

  Tipps

  Die Beschleunigung ist die Änderung der Geschwindigkeit pro Zeiteinheit.

  Die Formel für die zurückgelegte Strecke ist quadratisch in der Zeit.

  Die durchschnittliche Geschwindigkeit setzt sich aus dem Quotienten der zurücklegten Strecke und der Zeit in einem Abschnitt zusammen.

  Die Geschwindigkeit ist proportional zu der Zeit.

  Lösung

  Folgende Begriffe passen zu den Formeln:

  1) $a=\dfrac{v}{t}~\Leftrightarrow$ Beschleunigung

  2) $s=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot t^2+v_0\cdot t~\Leftrightarrow$ Zurückgelegte Strecke

  3) $v=\dfrac{\Delta s}{\Delta t}~\Leftrightarrow$ Durchschnittliche Geschwindigkeit

  4) $v=a\cdot t + v_0~\Leftrightarrow$ Geschwindigkeit

• Bestimme die Endgeschwindigkeit aus dem Diagramm.

  Tipps

  Die Geschwindigkeit kann wie im Beispiel bei einem Beschleunigung-Zeit-Diagramm als Rechteck unter der horizontalen Linie berechnet werden.

  Die Geschwindigkeit kann über die Formel $v=a\cdot t$ berechnet werden.

  Die Wertepaare können auf den Achsen der Beschleunigung und der Zeit abgelesen und die Formel für die Geschwindigkeit berechnet werden.

  Lösung

  Bei einer gleichmäßigen Beschleunigung ist die Fläche unter der Kurve eines Beschleunigung-Zeit-Diagramms ein Rechteck. Die Größe dieses Rechtecks der Änderung der Geschwindigkeit während des entsprechenden Zeitintervalls. Die Wertepaare können aus dem Diagramm abgelesen werden und über die Flächenformel eines Rechtecks, was der Formeln für die Geschwindigkeit entspricht berechnen werden.

  Folgende Informationen können aus dem Beschleunigungs-Zeit-Diagramm abgelesen werden:

  • Die Beschleunigung ist konstant bei $a=2{,}5~\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$.
  • Die Zeit beträgt $t=\pu{25 s}$.

  
  

  Die Werte können jetzt in die Formel für die Geschwindigkeit eingesetzt werden.

  $v=a\cdot t=\pu{2,5\dfrac{m}{s^2}}\cdot \pu{25 s}=\pu{62,5 \dfrac{m}{s}}$

  Die Endgeschwindigkeit nach $\pu{25 s}$ gleichmäßiger Beschleunigung beträgt:

  $v=62{,}5~\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$

• Vervollständige die Tabelle der ungleichmäßigen Beschleunigung.

  Tipps

  Trage zu nächsten passend zu der Zeit $t$ die Geschwindigkeit $v$ ein.

  Die einzelne Abschnitte stellen einen linearen Verlauf der Geschwindigkeit dar.

  Um die verschiedenen Werte für die Beschleunigung $a$ zu ermitteln, müssen wir jeweils die Differenz aus End- und Anfangspunkt eines Abschnitts über die Formel $a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t} $ berechnen.

  Mit der Beschleunigung $a$ können wir nun auch die zurückgelegte Strecke berechnen. Die Abschnitte müssen wir als Teilstrecken betrachten und die Strecke kann über die Formel $\Delta s=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot \left(\Delta t\right)^2+v_{vorher}\cdot \Delta t$ berechnet werden.

  Lösung

  Das Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm stellt eine ungleichmäßige Beschleunigung dar, denn die Geschwindigkeit nimmt mal stark und mal weniger stark zu. Allerdings kann man sehen, dass die Geschwindigkeitszunahme zwischen den verschiedenen Zeitpunkten linear verläuft. Wir betrachten die Abschnitte einzeln und können die Beschleunigung $a$ und die Zurückgelegte Strecke $s$ der Teilabschnitte bestimmen.

  Zunächst können die passenden Geschwindigkeiten zu den Zeiten abgelesen werden. Haben wir die Wertepaare für die Geschwindigkeit und Zeit können wir als nächstes die Beschleunigung $a$ berechnen über die Formel:

  $\Delta a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=\dfrac{v_2-v_1}{t_2-t_1}$

  Die Werte eines End-und Angangspunkt für einen Abschnitt können eingesetzt und die Beschleunigung berechnet werden.

  $a_1=\dfrac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\dfrac{\pu{5 \dfrac{m}{s}}-\pu{0 \dfrac{m}{s}}}{\pu{5 s}-\pu{0 s}}=\pu{1\dfrac{m}{s^2}}$

  $a_3=\dfrac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\dfrac{\pu{10 \dfrac{m}{s}}-\pu{5 \dfrac{m}{s}}}{\pu{15 s}-\pu{10 s}}=\pu{1\dfrac{m}{s^2}}$

  $a_5=\dfrac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\dfrac{\pu{20 \dfrac{m}{s}}-\pu{17,5 \dfrac{m}{s}}}{\pu{25 s}-\pu{20 s}}=\pu{0,5\dfrac{m}{s^2}}$

  
  

  Aus der Beschleunigung und der abgelesenen Geschwindigkeit kann nun die zurückgelegte Strecke über folgende Formel berechnet werden.

  $\Delta s=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot (\Delta t)^2+v_{vorher}\cdot \Delta t$

  Jetzt kann die zurückgelegte Strecke für Abschnitte durch einsetzten von der Zeit, der Beschleunigung und der Geschwindigkeit berechnet werden.

  $\Delta s_2=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot (\Delta t_2)^2+v_{vorher}\cdot \Delta t=\dfrac{1}{2}\cdot \pu{0\dfrac{m}{s^2}} \cdot (\pu{10 s - 5 s})^2+\pu{5 \dfrac{m}{s}}\cdot\pu{10 s - 5 s}=\pu{25\dfrac{m}{s^2}}$

  $\Delta s_4=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot (\Delta t_4)^2+v_{vorher}\cdot \Delta t=\dfrac{1}{2}\cdot \pu{1,5\dfrac{m}{s^2}} \cdot (\pu{20 s - 15 s})^2+\pu{10 \dfrac{m}{s}}\cdot\pu{20 s - 15 s}=\pu{68,75\dfrac{m}{s^2}}$

• Ermittle den Diagrammtypen für die Diagramme.

  Tipps

  Ein Weg-Zeit-Diagramm für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung zeigt eine parabelförmige Kurve.

  Ein Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung zeigt eine lineare Zunahme.

  Ein Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm für eine ungleichmäßig beschleunigte Bewegung zeigt eine gekrümmte Linie, die die nicht-lineare und variierende Beschleunigung über die Zeit darstellt.

  Ein Beschleunigungs-Zeit-Diagramm zeigt eine horizontale Linie also eine konstante Beschleunigung über die Zeit.

  Lösung

  1) Ein Weg-Zeit-Diagramm für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung zeigt eine parabelförmige Kurve.

  2) Ein Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung zeigt eine lineare Gerade der Geschwindigkeit über die Zeit.

  3) Ein Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm für eine ungleichmäßig beschleunigte Bewegung zeigt eine gekrümmte Linie, die eine nicht-lineare und variierende Beschleunigung über die Zeit darstellt. Es lassen sich lineare Abschnitte bilden, in denen die Beschleunigung konstant bleibt.

  4) Ein Beschleunigungs-Zeit-Diagramm zeigt einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung zeigt eine konstante Beschleunigung bei der eine horizontale Linie über die Zeit.

• Bestimme die Beschleunigung $a$ und Endgeschwindigkeit $v$ aus dem Weg-Zeit-Diagramm.

  Tipps

  Die Beschleunigung kann über die Formel $s=\dfrac{1}{2}\cdot a \cdot t^2$ berechnet werden.

  Die Endgeschwindigkeit kann über die Formel $v=a\cdot t$ werden.

  Die Wertepaare können aus dem Weg-Zeit-Diagramm für $s$ und $t$ abgelesen werden.

  Setze die Werte für $s$ und $t$ in die Formel $s=\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$ ein und forme nach der Beschleunigung $a$ um.

  Mit der Beschleunigung $a$ kann die Endgeschwindigkeit über $v=a\cdot t$ berechnet werden.

  Lösung

  Das Weg-Zeit-Diagramm beschreibt den Verlauf der zurückgelegten Strecke einer gleichmäßigen beschleunigten Bewegung nach der Zeit. Aus der Kurve lassen sich die Wertepaare für die Strecke $s$ und der Zeit $t$ ablesen. Anschließend kann mit Hilfe des Weg-Zeit-Gesetzes die Beschleunigung berechnet werden. Hat man die Beschleunigung kann, dann über das Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz die Endgeschwindigkeit bestimmt werden.

  Folgende Informationen lassen sich aus dem Diagramm ablesen:

  • für die Strecke $s=\pu{344 m}$
  • für die Zeit $t=\pu{25 s}$

  
  

  Nach dem Weg-Zeit-Gesetz gilt die Formel:

  $s=\dfrac{1}{2}\cdot a \cdot t^2$

  Für die Berechnung der Beschleunigung $a$ müssen wir die Formel durch Multiplizieren von $2$ und durch Dividieren durch $t^2$ umstellen:

  $s=\dfrac{1}{2}\cdot a \cdot t^2~\Leftrightarrow~\dfrac{2\cdot s}{t^2}=a$

  Jetzt können wir die Werte einsetzen und die Beschleunigung berechnen:

  $a=\dfrac{2\cdot s}{t^2}=\dfrac{2\cdot \pu{344 m}}{(\pu{25 s})^2}=\pu{1,1\dfrac{m}{s^2}}$

  
  

  Mit der berechneten Beschleunigung wird über die Formel des Geschwindigkeits-Zeit-Gesetzes die Endgeschwindigkeit bestimmt. Nach dem Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz gilt die Formel:

  $v=a\cdot t$

  Wir können die Werte für die Beschleunigung und die Zeit einsetzen und die Endgeschwindigkeit berechnen.

  $v=a\cdot t=\pu{1,1\dfrac{m}{s^2}} \cdot \pu{25 s} = \pu{27,5 \dfrac{m}{s}}$

  Die Beschleunigung und die Endgeschwindigkeit beträgt für den Verlauf der Bewegung:

  $a=\pu{1,1\dfrac{m}{s^2}}$ und $v=\pu{27,5 \dfrac{m}{s}}$