Durchschnitts- und Momentangeschwindigkeit (Übungsvideo)

1. Frage: Was bedeutet der Begriff „Weg“ in der Physik?

Der Weg ist die Länge der Strecke, die ein Objekt zurücklegt.

2. Frage: Worin besteht der Unterschied zwischen gleichförmiger und beschleunigter Bewegung?

Bei gleichförmiger Bewegung bleibt die Geschwindigkeit immer gleich, während sich die Bewegung bei beschleunigter Bewegung ändert.

3. Frage: Wie hängt der Weg bei konstanter Geschwindigkeit mit der Zeit zusammen?

Der Weg ist das Produkt aus der konstanten Geschwindigkeit und der dafür benötigten Zeit.

Mathematisch können wir auch schreiben: $ s = v \cdot t$

4. Frage: Was zeigt die Steigung einer Geraden in einem Weg-Zeit-Diagramm?

Die Steigung zeigt die Geschwindigkeit bei gleichförmiger Bewegung. Die Geschwindigkeit lässt sich also mithilfe eines Steigungsdreiecks im Diagramm bestimmen.

5. Frage: Was versteht man unter „Geschwindigkeit“ in der Physik?

Geschwindigkeit gibt an, wie viel Weg in einer bestimmten Zeit zurückgelegt wird. Die Geschwindigkeit $v$ ist der Quotient aus dem zurückgelegten Weg $s$ und der Zeit $t$:

$$ v = \dfrac{s}{t} $$

Rechenweg:
Wir verwenden die Formel $v = \dfrac{s}{t}$. Dabei setzen wir für den Weg $s = 200~\text{m}$ und für die Zeit $t = 25~\text{s}$ ein. Durch das Dividieren erhalten wir
$$ v = \dfrac{200~\text{m}}{25~\text{s}} = 8\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}} $$
Elli läuft also mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von $8\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.

Rechenweg:
Zuerst wandeln wir die Zeit um: $30$ Minuten sind die Hälfte einer Stunde, also gilt $t = \dfrac{1}{2}\,\text{h}$. Nun setzen wir Weg und Zeit in die Geschwindigkeitsformel ein:
$$ v = \dfrac{9~\text{km}}{\tfrac{1}{2}\,\text{h}} = 18\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}} $$
Lisa fährt deshalb mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von $18\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.

Rechenweg:
Die Zeit von $2{,}5$ h schreiben wir als Bruch $t = \dfrac{5}{2}\,\text{h}$. Dann setzen wir in $v = \dfrac{s}{t}$ ein:
$$ v = \dfrac{150~\text{km}}{\tfrac{5}{2}\,\text{h}} = 150 \cdot \dfrac{2}{5} = 60\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}} $$
Der Zug fährt somit durchschnittlich $60\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.

Rechenweg:
Wir können direkt einsetzen, weil keine Umrechnung nötig ist:
$$ v = \dfrac{180~\text{km}}{2~\text{h}} = 90\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}} $$
Das Auto erreicht also eine Durchschnittsgeschwindigkeit von $90\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.

Rechenweg:
Die Zeit $25$ Minuten entspricht $\dfrac{25}{60}\,\text{h} = \dfrac{5}{12}\,\text{h}$. Damit ergibt sich
$$ v = \dfrac{5~\text{km}}{\tfrac{5}{12}\,\text{h}} = 5 \cdot \dfrac{12}{5}\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}} = 12\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}} $$
Die Joggerin läuft durchschnittlich $12\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.

Rechenweg:
Wir setzen Weg und Zeit direkt ein:
$$ v = \dfrac{100~\text{m}}{50~\text{s}} = 2\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}} $$
Der Schwimmer bewegt sich im Mittel mit $2\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.

Rechenweg:
Die Zeit $40$ Minuten entspricht $\dfrac{40}{60}\,\text{h} = \dfrac{2}{3}\,\text{h}$. Dann rechnen wir:
$$ v = \dfrac{12~\text{km}}{\tfrac{2}{3}\,\text{h}} = 12 \cdot \dfrac{3}{2}\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}} = 18\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}} $$
Das Boot ist daher im Durchschnitt $18\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ schnell.

Rechenweg:
Die Zeit $2$ Minuten entspricht $120~\text{s}$. Nun setzen wir ein:
$$ v = \dfrac{720~\text{m}}{120~\text{s}} = 6\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}} $$
Die Läuferin erreicht somit eine Durchschnittsgeschwindigkeit von $6\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$.

Rechenweg:
Wir schreiben die Angaben als Brüche:
$1{,}2~\text{km} = \dfrac{6}{5}~\text{km}$ und $3$ Minuten $= \dfrac{3}{60}\,\text{h} = \dfrac{1}{20}\,\text{h}$. Dann setzen wir ein:
$$ v = \dfrac{\tfrac{6}{5}~\text{km}}{\tfrac{1}{20}\,\text{h}} = \dfrac{6}{5} \cdot \frac{20}{1} \,\dfrac{\text{km}}{\text{h}} = 24\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}} $$
Die Fahrerin ist also durchschnittlich $24\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ schnell.

Rechenweg:
Die Zeit $2$ Minuten entspricht $\dfrac{2}{60}\,\text{h} = \dfrac{1}{30}\,\text{h}$. Damit gilt:
$$ v = \dfrac{3~\text{km}}{\tfrac{1}{30}\,\text{h}} = 3 \cdot \frac{30}{1}\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}} = 90\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}} $$
Die Drohne hat somit eine Durchschnittsgeschwindigkeit von $90\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.

Lösungsweg
Im $s$–$t$-Diagramm entstehen drei ansteigende Geraden (konstante Steigungen) und zwei waagerechte Abschnitte für die Aufenthalte an den Bahnhöfen. Die Steigung jeder Geraden gibt die jeweilige Momentangeschwindigkeit für diesen Abschnitt an.

Insgesamt können wir die Zugfahrt so beschreiben:
Der Zug fährt also von $A$ nach $B$ in $1~\text{h}$, hält dort $0{,}25~\text{h}$, fährt weiter nach $C$ in $0{,}5~\text{h}$, hält erneut $0{,}25~\text{h}$ und legt die letzte Etappe nach $D$ in $1~\text{h}$ zurück.

Lösung
Für die gesamte Strecke von Bahnhof $A$ zum Bahnhof $D$ verwenden wir:
$$ v = \dfrac{\Delta s}{\Delta t} = \dfrac{230~\text{km}}{3~\text{h}} \approx 76{,}66\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}} $$
Die Durchschnittsgeschwindigkeit des Zuges beträgt also ungefähr $76{,}66\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.

Lösung
Zwischen den Bahnhöfen $B$ und $C$ legt der Zug $150 - 90 = 60\,\text{km}$ in $1{,}75 - 1{,}25 = 0{,}5\,\text{h}$ zurück.
Damit gilt:
$$ v = \dfrac{60~\text{km}}{0{,}5~\text{h}} = 120\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}} $$
Die Momentangeschwindigkeit auf diesem Abschnitt beträgt konstant $120\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.

Antwort
Während der Haltezeiten verändert sich der Weg nicht. Der Zug hält und fährt nicht. Die Geschwindigkeit von dem Zug muss daher auch null sein, was man auch an der Steigung des Graphen in diesem Bereich sehen kann. Dieser Graph in diesen Bereichen ist eine waagerechte Linie – daher ist die Steigung dort null.

Durch Einsetzen von $t_1 = 4\,\text{s}$ in die Formel $ v= a\cdot t$ ergibt sich:
$$ v_1 = a \cdot t_1 = 3\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 4~\text{s} = 12\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 43\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}} $$

Nach $t_2 = 8\,\text{s}$ ergibt sich:
$$ v_2 = a \cdot t_2 = 3\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 8~\text{s} = 24\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}} \approx 86\,\dfrac{\text{km}}{\text{h}} $$

Während der Beschleunigungsphase ändert sich die Geschwindigkeit fortlaufend. Jeder Zeitpunkt besitzt daher einen eigenen Geschwindigkeitswert, die sogenannte Momentangeschwindigkeit.
Eine Durchschnittsgeschwindigkeit würde den Geschwindigkeitsverlauf nur über ein längeres Zeitintervall mitteln und die tatsächliche Änderung verbergen.