Erste kosmische Geschwindigkeit

Erste kosmische Geschwindigkeit Übung

• Gib den Wert der ersten kosmischen Geschwindigkeit an.

  Tipps

  Die erste kosmische Geschwindigkeit gibt an, wie schnell ein Körper sein muss, um sich ständig auf einer Kreisbahn an der Erdoberfläche um die Erde zu bewegen.

  $ v_1 = \sqrt{\gamma \cdot \frac{m_E}{r_E}}$

  Lösung

  Die erste kosmische Geschwindigkeit gibt an, wie schnell ein Körper sein muss, um sich ständig auf einer Kreisbahn an der Erdoberfläche um die Erde zu bewegen.

  Diese Geschwindigkeit hängt von der Masse der Erde ab, sowie dem Erdradius und der Gravitationskonstante $\gamma$.

  Da alle diese Größen als konstant angenommen werden können - der Erdradius ändert sich ebenso wie die Masse der Erde nicht und $\gamma$ ist eine Konstante -, ist auch die resultierende erste kosmische Geschwindigkeit konstant.

  Um diese zu bestimmen, wählt man den Ansatz des Gleichgewichts von Anziehungskraft der Masse und Zentrifugalkraft der Bewegung.

  Daraus resultiert der Zusammenhang $ v_1 = \sqrt{\gamma \cdot \frac{m_E}{r_E}}$.

  Setzen wir die aus der Literatur bekannten Werte für die Variablen ein, so erhalten wir $v_1 = 7,92 \frac{km}{s}$, den Literaturwert für die erste kosmische Geschwindigkeit.

• Vervollständige die Definition der ersten kosmischen Geschwindigkeit.

  Tipps

  Der Ansatz ist das Gleichgewicht zwischen der Gravitationskraft und der Zentrifugalkraft.

  Kräfte sind vektorielle Größen.

  Lösung

  Um zu bestimmen, was die erste kosmische Geschwindigkeit eigentlich genau ist, kann uns diese Definition Aufschluss geben: Die erste kosmische Geschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, die ein Körper benötigt, um sich ständig auf einer Kreisbahn an der Erdoberfläche um die Erde zu bewegen.

  Da es sich hier um eine Kreisbewegung handelt, muss diese Überlegung auch bei der Berechnung der ersten kosmischen Geschwindigkeit berücksichtigt werden. Zusätzlich zur Kreisbewegung ist das Newtons'sche Gravitationsgesetz von Bedeutung.

  Der Ansatz ist hier das Gleichgewicht zwischen der Gravitationskraft und der Zentrifugalkraft. Sind diese beiden genau gleich groß, so heben sie sich gegenseitig auf, denn sie sind entgegengesetzt gerichtete, vektorielle Größen.

• Berechne die erste kosmische Geschwindigkeit für den Mond.

  Tipps

  $\gamma = 6,67 \cdot 10^{-11}$

  $v_1 = \sqrt{\gamma \cdot \frac{m_M}{r_M}}$

  Lösung

  Analog zur Bestimmung der ersten kosmischen Geschwindigkeit für die Erde könnte man diese auch für den Mond bestimmen.

  Wir haben bisher gelernt, dass die erste kosmische Geschwindigkeit nur abhängig ist von der Masse und dem Radius des betrachteten Planeten (oder Himmelskörper).

  Wir nutzen hier demnach wieder die Formel $v_1 = \sqrt{\gamma \cdot \frac{m_M}{r_M}}$.

  Darin ist jedoch $m_M$ nun die Masse des Mondes und $r_M$ der Mondradius.

  Einsetzen liefert uns nun $v_1 = \sqrt{\gamma \cdot \frac{7,35 \cdot 10^{22} kg}{1.730 .000m}}$. Damit errechnet sich $v_1$ für den Mond zu $1.683,4 \frac{m}{s}$.

  Damit ist diese etwa $5$-mal geringer als die auf der Erde.

  Generell können wir festhalten, dass die erste kosmische Geschwindigkeit mit der Wurzel des Verhältnisses zwischen Masse und Radius steigt.

  So ergeben sich dann große Werte für $v_1$ auf massereichen Planeten mit möglichst geringem Radius.

• Erkläre den Ansatz zur Berechnung der ersten kosmischen Geschwindigkeit.

  Tipps

  Zunächst einmal muss festgelegt werden, welches Modell betrachtet wird.

  $F_G = F_{ZF}$

  Die Werte für den Erdradius und die Erdmasse sind Literaturwerte.

  Lösung

  Um die erste kosmische Geschwindigkeit zu bestimmen, sind einige Schritte notwendig.

  Zunächst einmal muss das betrachtete Modell definiert werden. Wir nehmen an, dass sich eine Masse auf einer Kreisbahn um die Erde bewegt. Daraus folgt, dass neben der Massenanziehung auch die Zentrifugalkraft wirken muss.

  Nun nehmen wir an, dass die beiden Kräfte gleich sind. So erhalten wir aus den einzelnen Formeln den zusammengesetzten Ausdruck $\frac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2 = \gamma \cdot \frac{m \cdot m_E}{r_E}$.

  Gesucht ist die Geschwindigkeit $v_1$, also stellen wir um und erhalten nach Vereinfachen $v_1 = \sqrt{ \gamma \cdot \frac{m_E}{r_E}}$.

  Die Werte für die Masse der Erde $m_E$ und den Erdradius $r_E$ sind bekannt und können der Literatur entnommen werden.

  Setzen wir diese nun in die hergeleitete Formel ein, so ergibt sich $v_1 = 7,92 \frac{km}{s}$.

  Dieser Wert entspricht der ersten kosmischen Geschwindigkeit. Unsere Betrachtung ist damit abgeschlossen.

• Gib an, warum die erste kosmische Geschwindigkeit als konstant angenommen werden kann.

  Tipps

  Die Zentrifugalkraft und die Gravitationskraft stehen im Gleichgewicht.

  Lösung

  Für die erste kosmische Geschwindigkeit gilt die gezeigte Formel.

  Auffällig ist, dass alle Größen, die zur Berechnung von $v_1$ notwendig sind, konstant sind.

  Die Gravitationskonstante ist ebenso wie die Erdmasse und der Erdradius nicht veränderlich.

  Bei der Herleitung aus dem Ansatz des Gleichgewichtes von Zentrifugalkraft und Gravitationskraft kürzt sich die Masse des Probekörpers weg, sodass diese keine Rolle bei der Berechnung von $v_1$ spielt.

  Die Ausmaße des bewegten Körpers werden von vornherein vernachlässigt, sodass auch dessen Radius keinen Einfluss auf $v_1$ hat.

  Werten wir die gezeigte Formel mit den Literaturwerten für $\gamma$, $m_E$ und $r_E$ aus, so ergibt sich $v_1 = 7,92 \frac{km}{s}$.

  Ein Körper, der sich mit $7,92 \frac{km}{s}$ über die Erdoberfläche bewegt, schwebt sozusagen über diese hinweg.

• Erkläre die Bedeutung der Vektoreigenschaft von Zentrifugal- und Gravitationskraft.

  Tipps

  Kräfte sind vektorielle Größen.

  Kräfte können sich gegenseitig neutralisieren.

  Lösung

  Die Zentrifugalkraft tritt bei einer Kreisbewegung auf und ist abhängig vom Radius der Bewegung und von der Geschwindigkeit.

  Die Richtung der Zentrifugalkraft ist charakteristischerweise stets vom Zentrum der Kreisbewegung weggerichtet. Sie zeigt sozusagen nach Außen.

  Die Massenanziehung bzw. die Gewichtskraft zieht eine Masse stets zum Schwerpunkt des anziehenden Objektes hin. Hier bedeutet das: zum Kreismittelpunkt.

  Die Anziehungskraft aus der Massen wirkt also der Zentripetalkraft genau entgegen. Kräfte sind, wie wir ja schon gelernt haben, vektorielle Größen. Das heißt, neben einem Betrag kann man jeder Kraft auch eine fest definierte Richtung zuweisen.

  Für den Fall, dass zwei Kräfte in entgegengesetzte Richtungen zeigen, werden sich diese zu null summieren, wenn sie genau gleich groß sind.

  Stelle dir vor, du ziehst mit beiden Händen an einem Stift. Der Stift wird in Ruhe bleiben, obwohl Kräfte auf ihn wirken.

  Nach diesem Prinzip heben sich auch die Zentrifugalkraft und die Anziehungskraft auf. Nehmen diese Kräfte gleiche Beträge an, so werden sie sich gegenseitig aufheben und die Masse wird über die Erdoberfläche hinweg schweben.