Exponentialfunktion – Kurvendiskussion

Exponentialfunktion – Kurvendiskussion Übung

• Gib an, wie die Eigenschaften einer Funktion untersucht werden.

  Tipps

  Zur Ermittlung der Extrempunkte überprüfen wir zuerst die notwendige Bedingung mit ${f'(x)=0}$.
  Anschließend prüfen wir die so gefundenen möglichen Extrempunkte mit der hinreichenden Bedingung: ${f''(x) \neq 0}$.

  Lösung

  Bei einer Kurvendiskussion untersuchen wir

  • die Achsenschnittpunkte,
  • das Verhalten im Unendlichen,
  • die Symmetrie,
  • die Extrempunkte und
  • die Wendepunkte

  einer Funktion $f(x)$.

  
  

  Wir betrachten das Vorgehen für die einzelnen Eigenschaften im Detail:

  
  

  1. Achsenschnittpunkte

  Wir unterscheiden die Schnittpunkte mit der $x$-Achse und den Schnittpunkt mit der $y$-Achse:

  • Um die Schnittpunkte mit der $x$-Achse zu ermitteln, bestimmen wir die Nullstellen der Funktion. Dazu setzen wir $f(x)=0$.
  • Um den Schnittpunkt mit der $y$-Achse zu ermitteln, berechnen wir $f(0)$.

  
  

  2. Verhalten im Unendlichen

  Um das Verhalten im Unendlichen zu beschreiben, bestimmen wir die entsprechenden Grenzwerte der Funktion:

  $\lim \limits_{x \to \infty} f(x)$ und $\lim \limits_{x \to - \infty} f(x)$

  
  

  3. Symmetrie

  Wir unterscheiden zwischen Achsensymmetrie und Punktsymmetrie:

  • Bei der Untersuchung auf Achsensymmetrie überprüfen wir, ob $f(-x)=f(x)$ gilt.
  • Bei der Untersuchung auf Punktsymmetrie prüfen wir, ob $f(-x)=-f(x)$ gilt.

  
  

  4. Extrempunkte

  Zur Ermittlung der Extrempunkte benötigen wir die erste und zweite Ableitung.
  Wir überprüfen zuerst die notwendige Bedingung mit $f'(x)=0$. Anschließend prüfen wir die möglichen Extrempunkte auf die hinreichende Bedingung: $f''(x) \neq 0$.

  
  

  5. Wendepunkte

  Zur Ermittlung der Wendepunkte brauchen wir die zweite und dritte Ableitung.
  Wir überprüfen zunächst die notwendige Bedingung mit $f''(x)=0$. Im Anschluss prüfen wir die möglichen Wendepunkte auf die hinreichende Bedingung: $f'''(x) \neq 0$.

• Charakterisiere die gegebene Funktion.

  Tipps

  Es sind drei Aussagen richtig.

  Um die Schnittpunkte mit der $x$-Achse zu ermitteln, bestimmen wir die Nullstellen der Funktion:

  $4x^2 \cdot e^{-x} = 0 ~\Leftrightarrow~ 4x^2=0 $ oder $ e^{-x}=0$

  Das Verhalten im Unendlichen entspricht dem von $e^{-x}$.

  Lösung

  Wir betrachten die gegebene Funktion:

  $f(x)=4x^2 \cdot e^{-x}$

  
  

  Achsenschnittpunkte

  Wir unterscheiden die Schnittpunkte mit der $x$-Achse und den Schnittpunkt mit der $y$-Achse. Um die Schnittpunkte mit der $x$-Achse zu ermitteln, bestimmen wir die Nullstellen der Funktion. Wir setzen also $f(x)=0$:

  $4x^2 \cdot e^{-x} = 0$

  Da ein Produkt genau dann null ergibt, wenn einer der beiden Faktoren null ist, müssen wir überprüfen, für welche $x$ die Faktoren jeweils null ergeben. Da generell $e^{-x}\neq 0$ gilt, müssen wir nur die folgende Gleichung lösen:

  $4x^2=0 \quad \Rightarrow x=0$

  Um die Schnittpunkte mit der $y$-Achse zu ermitteln, berechnen wir $f(0)$:

  $f(0) = 4 \cdot 0^2 \cdot e^0 = 0$

  Der Schnittpunkt mit der $x$-Achse ist in diesem Fall gleich dem Schnittpunkt mit der $y$-Achse: $N(0|0)$.

  
  

  Verhalten im Unendlichen

  Um das Verhalten im Unendlichen zu bestimmen, ermitteln wir die Grenzwerte der Funktion. Dabei dominiert jeweils der Teil der Funktionsgleichung das Verhalten im Unendlichen, der die Exponentialfunktion enthält:

  $\lim \limits_{x \to \infty} 4x^2 \cdot e^{-x} = \lim \limits_{x \to \infty} e^{-x} = 0$

  $\lim \limits_{x \to -\infty} 4x^2 \cdot e^{-x} = \lim \limits_{x \to -\infty} e^{-x} = \infty$

  
  

  Symmetrie

  Wir unterscheiden zwischen Achsensymmetrie und Punktsymmetrie. Bei der Untersuchung auf Achsensymmetrie überprüfen wir, ob $f(-x)=f(x)$ gilt. Bei der Untersuchung auf Punktsymmetrie prüfen wir, ob $f(-x)=-f(x)$ gilt:

  $f(-x) = 4 \cdot (-x)^2 \cdot e^{-(-x)} = 4x^2 \cdot e^x \neq f(x)$

  $f(-x) = 4 \cdot (-x)^2 \cdot e^{-(-x)} = 4x^2 \cdot e^x \neq -f(x)$

  Es liegt also weder Achsensymmetrie noch Punktsymmetrie vor.

  
  

  Mit diesen Untersuchungen kommen wir zu folgenden Schlussfolgerungen:

  
  

  Richtige Aussagen:

  • Der Schnittpunkt mit der $x$-Achse ist gleich dem Schnittpunkt mit der $y$-Achse.
  • Der Funktionsgraph nähert sich für große $x$-Werte der $x$-Achse an.
  • Es liegt keine Achsensymmetrie vor.

  
  

  Falsche Aussagen:

  • Der Graph der Funktion $f(x)$ ist punktsymmetrisch.
  • Es gibt zwei Nullstellen.
  • Es gilt: $\lim \limits_{x \to -\infty} 4x^2 \cdot e^{-x} = 0$.

• Bestimme die Extrempunkte und die Wendepunkte der gegebenen Funktion.

  Tipps

  Du kannst die Gleichung $x^2-1=0$ mithilfe der dritten binomischen Formel lösen:

  $x^2-1= (x+1) \cdot (x-1)$

  Um die $y$-Koordinate der jeweiligen Punkte zu berechnen, musst du den $x$-Wert in die Funktionsgleichung $f(x)$ einsetzen.

  Lösung

  Im Folgenden siehst du die Lösung zur Kurvendiskussion von $ f(x) = (x-1)^2 \cdot e^x$:

  
  
  

  Extrempunkte

  Zur Ermittlung der Extrempunkte benötigen wir die erste und zweite Ableitung:

  $f'(x)= 2(x-1) \cdot e^x + (x-1)^2 \cdot e^x = (2x-2) \cdot e^x + (x^2 - 2x + 1) \cdot e^x = (x^2-1) \cdot e^x$

  $f''(x)= 2x \cdot e^x + (x^2-1) \cdot e^x = (x^2+2x-1) \cdot e^x$

  Wir überprüfen zuerst die notwendige Bedingung mit $f'(x)=0$:

  $(x^2-1) \cdot e^x=0$

  Da $e^x \neq 0$ gilt, lösen wir mithilfe der dritten binomischen Formel die folgende Gleichung:

  $x^2-1=0$

  $\Rightarrow (x+1) \cdot (x-1) =0$

  $\Rightarrow x_1=-1 \quad$ und $\quad x_2=1$

  Nun prüfen wir mit den möglichen Extrempunkten die hinreichende Bedingung $f''(x) \neq 0$:

  $f''(-1)= ((-1)^2 + 2 \cdot (-1) -1) \cdot e^{-1} =-2e^{-1} <0 \quad \Rightarrow$ Hochpunkt

  Wir berechnen noch die zugehörige $y$-Koordinate, um den Hochpunkt angeben zu können:

  $f(-1)= (-1-1)^2 \cdot e^{-1} = 4 \cdot e^{-1} = \dfrac{4}{e}$

  $\Rightarrow f(x)$ hat den Hochpunkt: $H({-}1|\frac{4}{e})$.

  $f''(1)= (1^2 + 2 \cdot 1 -1) \cdot e^1 =2e >0 \quad \Rightarrow$ Tiefpunkt

  Wir berechnen noch die zugehörige $y$-Koordinate, um den Tiefpunkt angeben zu können:

  $f(1)= (1-1)^2 \cdot e^{1} = 0$

  $\Rightarrow f(x)$ hat den Tiefpunkt: $T(1|0)$.

  
  
  

  Wendepunkte

  Zur Ermittlung der Wendepunkte benötigen wir die zweite und dritte Ableitung:

  $f''(x)= (x^2+2x-1) \cdot e^x$

  $f'''(x)= (2x+2) \cdot e^x + (x^2+2x-1) \cdot e^x = (x^2+4x+1) \cdot e^x$

  Wir überprüfen zunächst die notwendige Bedingung mit $f''(x)=0$:

  $(x^2+2x-1) \cdot e^x=0$

  Da $e^x \neq 0$ gilt, lösen wir mitfilfe der $pq$-Formel die folgende Gleichung:

  $x^2+2x-1=0$

  $\Rightarrow x_{1/2} = -\dfrac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2+1} = -1 \pm \sqrt{2}$

  $\Rightarrow x_1=-1-\sqrt{2} \quad$ und $\quad x_2=-1+\sqrt{2}$

  Jetzt prüfen wir mit den möglichen Wendepunkten die hinreichende Bedingung $f'''(x) \neq 0$:

  $f'''(-1-\sqrt{2})= ((-1-\sqrt{2})^2 + 4 \cdot (-1-\sqrt{2}) +1) \cdot e^{-1-\sqrt{2}} \approx -0{,}25 \neq 0$

  Es handelt sich also bei $x=-1-\sqrt{2}$ um eine Wendestelle.

  Wir berechnen noch die zugehörige $y$-Koordinate, um den Wendepunkt angeben zu können:

  $f(-1-\sqrt{2})= (-1-\sqrt{2}-1)^2 \cdot e^{-1-\sqrt{2}} \approx 1{,}04$

  $\Rightarrow f(x)$ hat den Wendepunkt: $W_1(-1-\sqrt{2}|1{,}04)$.

  $f'''(-1+\sqrt{2})= ((-1+\sqrt{2})^2 + 4 \cdot (-1+\sqrt{2}) +1) \cdot e^{-1+\sqrt{2}} \approx 4{,}28 \neq 0$

  Es handelt sich also bei $x=-1+\sqrt{2}$ um eine Wendestelle.

  Wir berechnen noch die zugehörige $y$-Koordinate, um den Wendepunkt angeben zu können:

  $f(-1+\sqrt{2})= (-1+\sqrt{2}-1)^2 \cdot e^{-1+\sqrt{2}} \approx 0{,}52$

  $\Rightarrow f(x)$ hat den Wendepunkt: $W_2(-1+\sqrt{2}|0{,}52)$.

• Untersuche die Funktion mithilfe einer Kurvendiskussion.

  Tipps

  Bei Schnittpunkten mit der $x$-Achse ist die $y$-Koordinate immer null und bei dem Schnittpunkt mit der $y$-Achse ist die $x$-Koordinate immer null.

  Beim Untersuchen der Symmetrie berechnen wir $f(-x)$:

  $f(-x)= (-x-3) \cdot e^{-x+1}$

  Hier ist sowohl $f(-x) \neq f(x)$ als auch $f(-x) \neq -f(x)$.

  So sieht der Funktionsgraph der Funktion $f(x)$ aus.

  Lösung

  Bei einer Kurvendiskussion untersuchen wir:

  • die Achsenschnittpunkte,
  • das Verhalten im Unendlichen,
  • die Symmetrie,
  • die Extrempunkte und
  • die Wendepunkte.

  
  

  Wir betrachten damit die Eigenschaften der Funktion $f(x)=(x-3) \cdot e^{x+1}$ im Detail:

  
  

  1. Achsenschnittpunkte

  Für die Schnittpunkte mit der $x$-Achse betrachten wir:

  $f(x)=0 \Leftrightarrow (x-3) \cdot e^{x+1}=0$

  Da allgemein $e^{x+1} \neq 0$ gilt, müssen wir nur die folgende Gleichung lösen:

  $x-3=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=3$

  Der Schnittpunkt mit der $x$-Achse lautet also $(3|0)$.

  Für den Schnittpunkt mit der $y$-Achse betrachten wir:

  $f(0)= (0-3) \cdot e^{0+1} = -3e^1 = -3e \approx -8{,}2$

  Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse lautet also $(0|{-}3e)$.

  
  

  2. Verhalten im Unendlichen

  Der Teil der Funktionsgleichung, der die Exponentialfunktion enthält, entscheidet über das Verhalten im Unendlichen:

  $\lim \limits_{x \to \infty} (x-3) \cdot e^{x+1} = \lim \limits_{x \to \infty} e^{x+1} = \infty$

  $\lim \limits_{x \to - \infty} (x-3) \cdot e^{x+1} = \lim \limits_{x \to - \infty} e^{x+1} = 0$

  
  

  3. Symmetrie

  Um die Symmetrie zu untersuchen, betrachten wir $f(-x)$:

  $f(-x)= (-x-3) \cdot e^{-x+1}$

  Da hier $f(-x) \neq f(x)$ und $f(-x) \neq -f(x)$ gelten, liegt für unser Beispiel keine Achsensymmetrie oder Punktsymmetrie vor.

  
  

  4. Extrempunkte

  Zur Ermittlung der Extrempunkte benötigen wir die erste und zweite Ableitung:

  $f'(x)= 1 \cdot e^{x+1} + (x-3) \cdot 1 \cdot e^{x+1} = e^{x+1} + (x-3) \cdot e^{x+1} = (x-2) \cdot e^{x+1}$

  $f''(x)= 1 \cdot e^{x+1} + (x-2) \cdot 1 \cdot e^{x+1} = e^{x+1} + (x-2) \cdot e^{x+1} = (x-1) \cdot e^{x+1}$

  Wir überprüfen zuerst die notwendige Bedingung mit $f'(x)=0$:

  $(x-2) \cdot e^{x+1}=0 \quad \Leftrightarrow \quad x-2 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x=2$

  Nun prüfen wir mit den möglichen Extrempunkten die hinreichende Bedingung $f''(x) \neq 0$:

  $f''(2)= (2-1) \cdot e^{2+1} = e^3 \neq 0$

  Es handelt sich somit bei $x=2$ um eine Extremstelle.

  Wir berechnen noch die zugehörige $y$-Koordinate, um den Extrempunkt angeben zu können:

  $f(2)= (2-3) \cdot e^{2+1} = -e^3 \approx -20{,}1$

  Der Extrempunkt lautet also $(2|{-}20{,}1)$.

  
  

  5. Wendepunkte

  Zur Ermittlung der Wendepunkte benötigen wir die zweite und dritte Ableitung:

  $f''(x) = (x-1) \cdot e^{x+1}$

  $f'''(x)= 1 \cdot e^{x+1} + (x-1) \cdot 1 \dot e^{x+1} = e^{x+1} + (x-1) \cdot e^{x+1} = x \cdot e^{x+1}$

  Wir überprüfen zunächst die notwendige Bedingung mit $f''(x)=0$:

  $(x-1) \cdot e^{x+1}=0 \quad \Leftrightarrow \quad x-1 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x=1$

  Jetzt prüfen wir mit dem möglichen Wendepunkt die hinreichende Bedingung, nämlich ob $f'''(x) \neq 0$ gilt:

  $f'''(1)= 1 \cdot e^{1+1} = e^2 \neq 0$

  Es handelt sich somit bei $x=1$ um eine Wendestelle.

  Wir berechnen noch die zugehörige $y$-Koordinate, um den Wendepunkt angeben zu können:

  $f(1)= (1-3) \cdot e^{1+1} = -2e^2 \approx -14{,}8$

  Der Wendepunkt lautet also $(1|{-}14{,}8)$.

• Gib an, bei welcher Funktion es sich um eine Exponentialfunktion handelt.

  Tipps

  Bei einer Potenz $a^b$ nennen wir $a$ die Basis und $b$ den Exponenten.

  Drei der Funktionen sind Exponentialfunktionen.

  Lösung

  Bei einer Exponentialfunktion steht die Variable $x$ im Exponenten. Häufig ist außerdem bei Exponentialfunktionen die Eulersche Zahl $e$ als Basis enthalten.
  Enthält der Funktionsterm hingegen nur Potenzen, bei denen die Variable in der Basis steht, handelt es sich nicht um eine Exponentialfunktion.

  
  

  Damit können wir wie folgt unterscheiden:

  
  

  Exponentialfunktionen:

  • $f(x)= 4x^2 \cdot e^{-x}$
  • $f(x)= (x-8) \cdot e^x$
  • $f(x)= \dfrac{20 + e^{x^2+1}}{100}$

  Keine Exponentialfunktionen:

  • $f(x)= 3x^2+1$
  • $f(x)= 2x-\dfrac{1}{2}$
  • $f(x)= \dfrac{x^3-2x^2-1}{5}$

• Entscheide, welche Aussagen zur Funktion $f(x)$ korrekt sind.

  Tipps

  Zwei Aussagen sind richtig.

  Die erste Ableitung der Funktion lautet:

  $f'(x) = (-5x^3+10x) \cdot e^{-0,5x^2}$

  Du musst die Wendepunkte nicht berechnen. Denn es gilt:

  Eine Potenzfunktion vierten Grades kann maximal vier Nullstellen haben.

  Lösung

  Mithilfe der einzelnen Schritte der Kurvendiskussion können wir die Aussagen zur Funktion $f(x)= 5x^2 \cdot e^{-0{,}5x^2}$ überprüfen:

  
  

  1. Achsenschnittpunkte

  Wir können die Nullstellen berechnen mit $f(x)=0$:

  $5x^2 \cdot e^{-0{,}5x^2}=0$

  Da allgemein $e^{-0{,}5x^2} \neq 0$ gilt, müssen wir nur die folgende Gleichung lösen:

  $5x^2=0 \quad \Leftrightarrow \quad x=0$

  Die Funktion hat somit eine Nullstelle bei $x=0$.

  $\Rightarrow$ Aussage: Die Funktion hat drei Nullstellen. $\Rightarrow$ Diese Aussage ist falsch.

  Schnittpunkt mit der $y$-Achse:

  $f(0)= 5 \cdot 0^2 \cdot e^{-0{,}5 \cdot 0^2} =0$

  Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse lautet also $(0|0)$.

  $\Rightarrow$ Aussage: Der Schnittpunkt mit der $y$-Achse lautet $(0|{-}1)$. $\Rightarrow$ Diese Aussage ist falsch.

  
  

  2. Symmetrie

  Wir berechnen:

  $f(-x)= 5 \cdot (-x)^2 \cdot e^{-0{,}5 \cdot (-x)^2} = 5x^2 \cdot e^{-0{,}5x^2} = f(x)$

  Da $f(-x)=f(x)$, ist die Funktion achsensymmetrisch zur $y$-Achse.

  $\Rightarrow$ Aussage: Die Funktion ist nicht achsensymmetrisch, aber punktsymmetrisch. $\Rightarrow$ Diese Aussage ist falsch.

  
  

  3. Verhalten im Unendlichen

  Der Teil der Funktionsgleichung, der die Exponentialfunktion enthält, entscheidet über das Verhalten im Unendlichen:

  $\lim \limits_{x \to \infty} 5x^2 \cdot e^{-0{,}5x^2} = \lim \limits_{x \to \infty} e^{-0{,}5x^2}= 0$

  $\lim \limits_{x \to - \infty} 5x^2 \cdot e^{-0{,}5x^2}= \lim \limits_{x \to - \infty} e^{-0{,}5x^2} =0$

  $\Rightarrow$ Aussage: Es gilt: $\lim \limits_{x \to \infty} f(x) = \lim \limits_{x \to - \infty} f(x)$. $\Rightarrow$ Diese Aussage ist richtig.

  
  

  4. Extrempunkte

  Zur Ermittlung der Extrempunkte benötigen wir die erste und zweite Ableitung:

  $f'(x)= 10x \cdot e^{-0,5x^2} + 5x^2 \cdot (-x) \cdot e^{-0,5x^2} = (-5x^3+10x) \cdot e^{-0,5x^2}$

  $f''(x)= (-15x^2 +10) \cdot e^{-0,5x^2} + (-5x^3 +10x) \cdot (-x) \cdot e^{-0,5x^2} = (5x^4 -25x^2 +10) \cdot e^{-0,5x^2}$

  Wir überprüfen zuerst die notwendige Bedingung mit $f'(x)=0$:

  $(-5x^3+10x) \cdot e^{-0,5x^2} =0$

  Mit $e^{-0{,}5x^2} \neq 0$ ergibt sich:

  $-5x^3+10x = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x(-5x^2+10) =0$

  $\Rightarrow x_1=0 \quad$ oder $\quad -5x^2+10=0$

  $\Rightarrow x_1=0 \quad$ oder $\quad x_2= -\sqrt{2} \quad$ oder $\quad x_3= \sqrt{2}$

  Nun prüfen wir die hinreichende Bedingung, nämlich ob $f''(x) \neq 0$ gilt:

  $f''(0)= (5 \cdot 0^4 -25 \cdot 0^2 +10) \cdot e^{-0,5 \cdot 0^2} =10 \neq 0$

  $f''(\sqrt{2})= (5 \cdot \sqrt{2}^4 -25 \cdot \sqrt{2}^2 +10) \cdot e^{-0,5 \cdot \sqrt{2}^2} \approx -7{,}4 \neq 0$

  $f''(-\sqrt{2})= (5 \cdot (-\sqrt{2})^4 -25 \cdot (-\sqrt{2})^2 +10) \cdot e^{-0,5 \cdot (-\sqrt{2})^2} \approx -7{,}4 \neq 0$

  Es handelt sich also bei allen drei Stellen um Extremstellen.

  Wir berechnen jetzt die zugehörigen $y$-Koordinaten, um zu überprüfen, ob einer der Extrempunkte auf der $x$-Achse liegt:

  $f(0)= 5 \cdot 0^2 \cdot e^{-0{,}5 \cdot 0^2} =0$

  Somit lautet der Extrempunkt $(0|0)$ und liegt auf der $x$-Achse.

  $\Rightarrow$ Aussage: Es gibt einen Extrempunkt, der auf der $x$-Achse liegt. $\Rightarrow$ Diese Aussage ist richtig.

  
  

  5. Wendepunkte:

  Wir überprüfen zunächst die notwendige Bedingung mit $f''(x)=0$:

  $(5x^4 -25x^2 +10) \cdot e^{-0,5x^2} =0 \quad$ Mit $e^{-0{,}5x^2} \neq 0$ ergibt sich:

  $5x^4 -25x^2 +10 =0$

  Eine Potenzfunktion vierten Grades kann maximal vier Nullstellen haben. Daraus folgt:

  $\Rightarrow$ Aussage: Die Funktion hat fünf Wendepunkte. $\Rightarrow$ Diese Aussage ist falsch.