Erste binomische Formel
Die erste binomische Formel lautet: $(a+b)^{2}=(a+b)\cdot(a+b)=a^{2}+2ab+b^{2}$. Mit dieser Formel kannst du Zeit beim Ausmultiplizieren von Binomen sparen. Erfahre mehr über die praktische Anwendung und das Faktorisieren. Interessiert? Dies und vieles mehr findest du im folgenden Text.
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Grundlagen zum Thema Erste binomische Formel
Erste binomische Formel – Definition
Bei der ersten binomischen Formel wird ein Binom der Form $a + b$ mit sich selbst multipliziert:
1.$~$binomische Formel:
$\quad (a + b) \cdot (a + b) = (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Wir können das Ergebnis herleiten, indem wir die Klammern schrittweise miteinander multiplizieren.
Für das Produkt der Summen erhalten wir:
$\begin{array}{rcccccc} (a + b) \cdot (a + b) &=& a \cdot a &+& a \cdot b ~~+~~ b \cdot a &+& b \cdot b \\ &=& a^2 &+& ab ~~~+~~~ ab &+& b^2 \\ &=& a^2 &+& 2ab &+& b^2 \end{array}$
Erste binomische Formel – geometrische Deutung
Der Ausgangsterm der ersten binomischen Formel $(a + b)^2$ kann geometrisch als Flächeninhalt eines Quadrats mit Seitenlänge $a + b$ interpretiert werden.
Diesen Flächeninhalt können wir, wie in der Abbildung, in vier Teilflächen unterteilen, die durch einfache Terme beschrieben werden können:
- Ein Quadrat mit Seitenlänge $a$
Fläche: $a^2$ - Ein Quadrat mit Seitenlänge $b$
Fläche: $b^2$ - Zwei Rechtecke mit Seitenlängen $a$ und $b$
Fläche: $2 \cdot ab$
Addieren wir die Teilflächen, so erhalten wir den Flächeninhalt des gesamten Quadrats. Aus dieser geometrischen Überlegung ergibt sich ebenfalls die erste binomische Formel:
$\underbrace{(a + b)^2}_{\text{Quadratfläche}} = \underbrace{a^2 + 2ab + b^2}_{\text{Summe der Teilflächen}}$
Erste binomische Formel – Beispiel
Nun schauen wir uns beispielhaft den Term $(3k + 5n)^{2}$ an.
Ausmultiplizieren liefert:
$\begin{array}{rcccccc} (3k + 5n) \cdot (3k + 5n) &=& 3k \cdot 3k &+& 3k \cdot 5n ~~+~~ 5n \cdot 3k &+& 5n \cdot 5n \\ &=& (3k)^2 &+& 15kn ~~~+~~~ 15kn &+& (5n)^2 \\ &=& 9k^2 &+& 30kn &+& 25n^2 \end{array}$
Durch die direkte Anwendung der ersten binomischen Formel mit $a = 3k$ und $b = 5n$ erhalten wir:
- $a^2 = (3k)^2 = 9k^2$
- $b^2 = (5n)^2 = 25n^2$
- $2ab = 2 \cdot 3k \cdot 5n = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot k \cdot n = 30kn$
Zusammen ergibt sich:
$(3k + 5n)^2 = 9k^2 + 30kn + 25n^2$
Dieses Ergebnis ist natürlich gleich dem, das wir durch schrittweises Ausmultiplizieren erhalten.
Erste binomische Formel – Zusammenfassung
Die erste binomische Formel lautet:
$(a+b)^{2}=(a+b)\cdot(a+b)=a^{2}+2ab+b^{2}$
Durch ihre Verwendung kannst du Zeit beim Ausmultiplizieren von Termen der entsprechenden Form ${(a + b)^2}$ sparen.
Auf der linken Seite der ersten binomischen Formel steht ein Produkt aus zwei Binomen, auf der rechten Seite eine Summe aus drei Termen.
Durch Anwendung der Formel in die eine oder andere Richtung können wir also ein Produkt als Summe, oder umgekehrt eine Summe als Produkt (Faktorisieren) schreiben.
Transkript Erste binomische Formel
Die Welt ist ein Mathe-Dschungel. Überall Mathematik! Es gibt keinen Weg hinaus! Aber manches in der Mathematik taucht immer wieder auf. Dann weißt du: Ok, das kenne ich schon! Da weiß ich, was ich zu tun habe! So findest du im Mathedschungel den perfekten Ort zum Entspannen. Die erste binomische Formel hilft Dir dabei. Bevor wir uns aber mit dieser beschäftigen, wiederholen wir den allgemeinen Fall des Ausmultiplizierens zweier Summen: Wir fassen die rechte Klammer als einfachen Faktor auf. So können wir die linke Klammer ganz normal ausmultiplizieren. Jetzt haben wir zwei Summanden, die wir auch einfach Ausmultiplizieren dürfen. Sehen wir uns die Rechnung noch einmal näher an: Offenbar wurde der erste Summand der einen Klammer mit beiden Summanden der anderen Klammer multipliziert. Mit dem zweiten Summanden haben wir es genauso gemacht. Auch so kommt man auf das Ergebnis. Dann können wir uns jetzt die erste binomische Formel anschauen: Wir multiplizieren dabei aber nicht unterschiedliche Summen, sondern die gleichen. Wir erinnern uns: Multipliziert man einen Faktor mit sich selbst, nennt man das quadrieren. Wir haben hier also das Quadrat einer Summe. Auch hier können wir die Klammern auflösen, indem wir alle Summanden der einen Klammer, mit denen der anderen Klammer multiplizieren. Das sieht dann so aus. Diese beiden Summanden können wir in Quadrate umschreiben. Die beiden mittleren Summanden können wir zu '2 a b' zusammenfassen. Dann haben wir die erste binomische Formel hergeleitet: in Klammern' a plus b 'zum Quadrat' ist gleich a Quadrat' plus '2 a b' plus 'b Quadrat'. Wir können uns die erste binomische Formel auch geometrisch vorstellen: Dazu betrachten wir dieses Quadrat, in dem zwei kleinere Quadrate enthalten sind. Dieses Quadrat hat die Seitenlänge a, und dieses die Seitenlänge b. Diese zwei Rechtecke sind deckungsgleich und haben die Seitenlängen a und b. Die Fläche des großen Quadrats ist 'in Klammern' a plus b 'zum Quadrat'. Man kann sie aber auch aus den einzelnen Teilflächen zusammensetzen: Dann haben wir 'a Quadrat' und 'b Quadrat' und die Flächen der zwei deckungsgleichen Rechtecke: Also 'a mal b' 'mal 2'. Auch so kommen wir also auf die erste binomische Formel. Sehen wir uns dazu noch ein Beispiel an: Wir können den Term umformen, indem wir das Quadrat ausschreiben und dann jeden Summanden der einen Klammer mit jedem Summanden der anderen Klammer multiplizieren: Das wird dann so ausgeführt. Wir können die äußeren Summanden in Quadrate umschreiben und die inneren zusammenfassen. Dann erhalten wir das Ergebnis. Das können wir nicht weiter vereinfachen. Wenn wir aber die erste binomische Formel kennen, können wir uns das Leben vereinfachen. Wir identifizieren die Glieder des Terms mit den Summanden der ersten binomischen Formel und schreiben das Ergebnis einfach hin. 13x entspricht dabei dem a und 8y dem b. 13 x' 'zum Quadrat' ist 169 'x Quadrat' 2 mal '13 x' mal '8 y' ist '208 x y' und '8 y' 'zum Quadrat' ist 64 'y Quadrat'. Fassen wir das noch einmal zusammen: Multiplizieren wir zwei Summen miteinander, dann verrechnen wir jeden Summanden der einen Klammer mit jedem Summanden der anderen Klammer. Das wird dann so ausgeführt. Haben wir ein Summenquadrat gegeben, können wir das so umschreiben. Dann können wir das genauso ausmultiplizieren und wir erhalten die erste binomische Formel. Präge sie dir gut ein, dann wirst du sie immer gleich erkennen. Am besten merkst du sie dir in Quadrat-Schreibweise, in faktorisierter Schreibweise und in ihrer ausmultiplizierten Form. Wenn du das geschafft hast, kannst du auch in den Tiefen des Mathe-Dschungels etwas häufiger entspannen.
Erste binomische Formel Übung
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Gib die Herleitung der ersten binomischen Formel wieder.
TippsMultiplizierst du eine Zahl mit sich selbst, kannst du das als Quadrat schreiben. Zum Beispiel: $2 \cdot 2 = 2^2$.
Beim Ausmultiplizieren des Produkts zweier Summen multiplizierst du jeden Summanden jeweils mit den beiden Summanden der anderen Klammer.
LösungSo kannst du den Lückentext vervollständigen:
„Hast du das Quadrat der Summe $a+b$ gegeben, kannst du das so aufschreiben:
$(a+b)^2=(a+b) \cdot (a+b)$“
- Multiplizierst du eine Zahl mit sich selbst, kannst du das als Quadrat schreiben. Zum Beispiel: $2 \cdot 2 = 2^2$.
$a \cdot a+a \cdot b+a \cdot b+b \cdot b$“
- Beim Ausmultiplizieren des Produkts zweier Summen multiplizierst du jeden Summanden jeweils mit den beiden Summanden der anderen Klammer.
$a^2+2ab+b^2$“
"Also können wir die erste binomische Formel aufschreiben als:
$(a+b)^2=(a+b) \cdot(a+b)=a^2+2ab+b^2$“
- Hier wurde die obige Rechnung noch einmal zusammengefasst.
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Bestimme das Ergebnis der Rechnung mit der ersten binomischen Formel.
TippsZunächst musst du herausfinden, welcher Teil deines Terms den Variablen aus der binomischen Formel entspricht.
Hast du herausgefunden, welcher Teil deines Terms den Variablen aus der binomischen Formel entspricht, kannst du diese in die Formel einsetzen.
LösungSo kannst du die Lücken füllen:
„Die erste binomische Formel lautet:
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$“
- Merke dir diese Formel gut. Du wirst sie immer wieder brauchen.
$a=13x$ und $b=8y$“
- Zunächst musst du herausfinden, welcher Teil deines Terms den Variablen aus der binomischen Formel entspricht.
$(13x+8y)^2=(13x)^2+2\cdot 13x \cdot 8y+(8y)^2$
Und rechnen aus:
$169x^2+208 x y+64y^2$“
- Jetzt kannst du in die binomische Formel einsetzen und ausrechnen.
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Wende die erste binomische Formel an.
TippsNutze die erste binomische Formel:
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
Identifiziere dazu, welche Teile des Terms den Variablen $a$ und $b$ der binomischen Formel entsprechen und setze diese in die binomische Formel ein.
LösungDurch Anwendung der ersten binomischen Formel kannst du die Terme auflösen. Diese lautet wie folgt:
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
Identifiziere dazu, welche Teile des Terms den Variablen $a$ und $b$ der binomischen Formel entsprechen und setze diese in die binomische Formel ein. Anschließend kannst du das Ergebnis vereinfachen. Bei dem ersten Term $(2y+3x)^2$ ist $a=2y$ und $b=3x$. Damit ergibt sich:
- $(2y+3x)^2= (2y)^2+ 2 \cdot 2y \cdot 3x + (3x)^2=4y^2+12xy+9x^2$
- $(y+x)^2=(y)^2+ 2 \cdot y \cdot x + (x)^2=y^2+2xy+x^2$
- $(3y+2x)^2=(3y)^2+ 2 \cdot 3y \cdot 2x + (2x)^2=9y^2+12xy+4x^2$
- $(2y+2x)^2=(2y)^2+ 2 \cdot 2y \cdot 2x + (2x)^2=4y^2+8xy+4x^2$
-
Ermittle die Ergebnisse der Rechnungen mithilfe der ersten binomischen Formel.
TippsRechne die Ergebnisse mit der ersten binomischen Formel nach und überprüfe, ob die angegebenen Ergebnisse herauskommen.
Die erste binomische Formel lautet:
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
Da die Addition kommutativ ist, kann man die Glieder $a^2$, $2ab$ und $b^2$ vertauschen.
LösungDu kannst die Terme mithilfe der ersten binomischen Formel lösen:
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
Identifiziere dazu, welche Teile des Terms den Variablen $a$ und $b$ in der binomischen Formel entsprechen und setze diese in die binomische Formel ein. Anschließend kannst du das Ergebnis vereinfachen. So erhältst du:
Diese Rechnungen sind falsch:
„$(x+5)^2=x^2+5x+25$“
- Hier ist $a=x$ und $b=5$. Wir erhalten: $(x+5)^2=x^2+ 2 \cdot 5 \cdot x+5^2=x^2+ 10 x+25$
- Hier ist $a=y$ und $b=2x$. Mit der ersten binomischen Formel erhalten wir: $(y+2x)^2=y^2+2 \cdot 2x \cdot y+(2x)^2=y^2+4xy+4x^2$
„$(4+x)^2=x^2+8x+16$“
- Dank des Kommutativgesetzes kann die Reihenfolge der einzelnen Summanden vertauscht werden.
„$(5y+10x)^2=25y^2+100xy+100x^2$“
-
Gib an, welcher Summand der Gleichung welchem Teil der Zeichnung entspricht.
TippsIn der Zeichnung wird der Flächeninhalt des gesamten Quadrats in vier Teile aufgeteilt.
Überlege, welcher Teil der Zeichnung, welchem Teil der Formel entspricht.
LösungIn der Zeichnung wird der Flächeninhalt des gesamten Quadrats $(a+b)^2$ in vier Teile aufgeteilt. Diese entsprechen verschiedenen Summanden in der ersten binomischen Formel.
- Der Flächeninhalt des gesamten Quadrats: $a+b$
- Der Flächeninhalt des blauen Quadrats: $a^2$
- Der Flächeninhalt des roten Quadrats: $b^2$
- Der Flächeninhalt der beiden Rechtecke: $2ab$
-
Wende die erste binomische Formel an.
TippsDie gegebenen Terme kannst du mit der ersten binomischen Formel umschreiben. Für
$x^2+8x+16$
kannst du die Werte für $a$ und $b$ aus den quadratischen Termen ablesen: $x^2=a^2 ~\Rightarrow x=a$ und $16=4^2=b^2 ~\Rightarrow 4=b$
Also ergibt sich hier:
$x^2+8x+16=(x+4)^2$
LösungMit der ersten binomischen Formel kannst du die Terme so umschreiben, dass $a$ und $b$ innerhalb der Klammer stehen.
- $x^2+6x+9 =(x+3)^2$
$ \begin{array}{lll} x^2 +6x+9&=& x^2 +2 \cdot 3x + 3^2 \\ &=&(x+3)^2\\ \end{array}$
- $64+16y+4y^2=(8 +2y)^2$
$\begin{array}{lll} 64 +16y+4y^2&=& 8^2 +2 \cdot 8 \cdot y + (2y)^2 \\ &=&(8+2y)^2\\ \end{array}$
- $x^2+2x+1=(x+1)^2$
$\begin{array}{lll} x^2+2x+1&=& x^2 +2 \cdot 1 \cdot x + 1^2 \\ &=&(x+1)^2\\ \end{array}$
- $16x^2+40x+25=(4x+5)^2$
$\begin{array}{lll} 16x^2+40x+25&=& (4x)^2 +2 \cdot 4 \cdot 5 + 5^2 \\ &=&(4x+5)^2\\ \end{array}$
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nett gemacht mit dem Mathe jungel aber ich habe es teilweise nicht verstanden auch weil es einbisschenn zu schnell gesprochen wurde:(
Viel zu schnell gesprochen.Aber verstehe das Thema generell nicht,schreibe aber in 1 Woche ne Mathearbeit darüber😭
Eyyy, ich find binomische Formeln Sooooo schwer, das Video war ganz gut aber ganz schön schnell alles erklärt trotzdem super Plattform, ein Abbo lohnt sich😘
klasse
Hallo Yannic 1,
wir haben auch noch Videos zu den anderen binomischen Formeln: https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/zweite-binomische-formel-3https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/dritte-binomische-formel-5
Viel Spaß noch beim Lernen mit sofatutor!
Liebe Grüße aus der Redaktion