Die binomischen Formeln

Die binomischen Formeln Übung

• Vervollständige die zweite binomische Formel.

  Tipps

  ${{a}\cdot{b}={b}\cdot{a}}$

  Beispiel:

  $(b-c)^2$
  $=(b-c)(b-c)$
  $=b^2-bc-cb+c^2$
  $=b^2-2bc+c^2$

  Lösung

  Um das Ergebnis der zweiten binomischen Formel herzuleiten, schreibt man – wie auch bei der ersten binomischen Formel – die Potenz als Produkt zweier Klammern.
  Man multipliziert anschließend aus, indem man jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer einzeln multipliziert und anschließend die Terme zusammenfasst.

  Beachte, dass ${a}\cdot{a}=a^2$, ${b}\cdot{b}=b^2$ und ${a}\cdot{b}={b}\cdot{a}$ ist.

  ${(a-b)^2=(a-b)\cdot(a-b)=a^2-ba-ab+b^2=a^2-2ab+b^2}$

• Löse die Klammer mithilfe der ersten binomischen Formel auf und vereinfache dann.

  Tipps

  Die erste binomische Formel lautet:

  ${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$

  Man kann sie zum Beispiel so lösen:

  ${\begin{array}{rlrrrrr} =& (3 & + &4x)^2 & & \\ =& ~\,3^2 & + & 2\cdot3\cdot4x ~~~&+&(4x)^2 \\ =& ~\,9 & + & 24x~~~ & +&16x^2~ \\ \end{array}}$

  Lösung

  Anwenden der ersten binomischen Formel

  Um die erste binomische Formel anzuwenden, setzt man die Terme direkt in die binomische Formel ein. Hierzu muss man die Formel kennen und die Struktur muss exakt stimmen.

  Die Formel lautet:

  ${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$

  In diesem Beispiel ist darauf zu achten, dass man bei ${b^2}$, also bei ${(2x)^2}$, die $2$ und das $x$ quadriert.

  Die korrekte Reihenfolge lautet:

  $(4+2x)^2= 4^2+2 \cdot 4 \cdot 2x+(2x)^2=16+16x+4x^2$

• Entscheide, welcher Klammerausdruck zu welcher binomischen Formel gehört.

  Tipps

  Bei dieser Aufgabe musst du genau überprüfen, welche Struktur der Term hat: Sie muss genau mit der Form der binomischen Formel übereinstimmen, damit du den Term zuordnen kannst. Er kann in der zusammengefassten oder in der ausführlichen Form vorliegen.

  Beispiel für die erste binomische Formel:

  ${(5+3x)^2=5^2+2\cdot5\cdot3x+(3x)^2=25+30x+9x^2}$

  Beispiel für die zweite binomische Formel:

  ${(5-3x)^2=5^2-2\cdot5\cdot3x+(3x)^2=25-30x+9x^2}$

  Beispiel für die dritte binomische Formel:

  ${(5+3y)(5-3y)=25-9y^2}$

  Lösung

  Damit du die Terme den Formeln zuordnen kann, musst du genau überprüfen, ob sie die gleiche Struktur haben. Beachte vor allem die Rechenzeichen, denn auch sie müssen exakt an der gleichen Stelle stehen, wie es in der Formel vorgegeben ist.

  Erste binomische Formel und Lösung der Aufgabe:

  ${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$

  ${(6+3y)^2=36+36y+9y^2}$

  Zweite binomische Formel und Lösung der Aufgabe:

  ${(a-b)^2=a^2-2ab+b^2}$

  ${(6-3y)^2=36-36y+9y^2}$

  Dritte binomische Formel und Lösung der Aufgabe:

  ${(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$

  ${(6+3y)(6-3y)=36-9y^2}$

• Berechne mithilfe einer der binomischen Formeln.

  Tipps

  Die erste binomische Formel lautet:

  ${(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}$

  Im Beispiel ${(x+7)^2}$ enstspricht das $x$ dem $a$ und die $7$ dem $b$ in der Formel.

  Du setzt die Zahlen und Terme in die Formel ein und erhältst folgende Lösung:

  ${x^2+{2}\cdot{x}\cdot{7}+7^2=x^2+14x+49}$

  Die dritte binomische Formel lautet:

  ${(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$

  Im Beispiel ${(x+7)(x-7)}$ enstspricht das $x$ dem $a$ und die $7$ dem $b$ in der Formel.

  Du setzt die Zahlen und Terme in die Formel ein und erhältst folgende Lösung:

  ${x^2-7^2=x^2-49}$

  Lösung

  Lösen der binomischen Formeln

  Um Klammerterme zu lösen, müssen sie genau der Struktur der binomischen Formeln entsprechen.

  Man setzt die entsprechenden Zahlen und Terme an die Stelle von $a$ und $b$ ein und kann die Lösungsformel direkt übernehmen.

  Aufgabe 1

  Bei dieser ersten binomischen Formel entspricht die $2,5x$ dem $a$ und die $3$ dem $b$.
  Um den Klammerterm auszurechnen, setzen wir die Zahlen in die Fomel ${(a+b)^2}$ ein und erhalten somit diese Rechnung:

  ${(2,5x+3)^2=(2,5x+3)(2,5x+3)=(2,5x)^2+{2}\cdot2,5x\cdot{3}+9=6,25x^2+15x+9}$

  Aufgabe 2

  Bei dieser dritten binomischen Formel entspricht die $3x$ dem $a$ und die $5$ dem $b$.
  Um den Klammerterm auszurechnen, setzen wir die Zahlen in die Fomel ${(a+b)(a-b)}$ ein und erhalten somit diese Rechnung:

  ${(3x+5)(3x-5)=(3x)^2-5^2=9x^2-25}$

• Vervollständige die erste binomische Formel.

  Tipps

  Multipliziere zunächst beide Klammern aus. Dafür multiplizierst du jeden Summanden der ersten Klammer einzeln mit jedem Summanden der zweiten Klammer.

  Fasse anschließend die Terme zusammen.

  Bei der Multiplikation ist die Reihenfolge der Faktoren vertauschbar:

  $ab = ba$

  Lösung

  Um das Ergebnis der binomischen Formel herzuleiten, schreibt man die Potenz als Multiplikation aus. Wir multiplizieren also den Term in der Klammer mit sich selbst.

  Nun multipliziert man aus, indem man jeden Summanden aus der ersten Klammer mit jedem Summanden jeweils einzeln multipliziert und anschließend die Terme zusammenfasst.

  Beachte, dass ${a}\cdot{a}=a^2$, ${b}\cdot{b}=b^2$ und ${a}\cdot{b}={b}\cdot{a}$ ist.

  Lösungsformel:

  ${(a+b)^2=(a+b)\cdot(a+b)=a^2+ba+ab+b^2=a^2+2ab+b^2}$

• Entscheide mithilfe der binomischen Formeln, ob die Rechnung korrekt ist.

  Tipps

  Beispiel für die erste binomische Formel:

  ${(3a+7)^2=(3a)^2+2\cdot3a\cdot7+7^2=9a^2+42a+49}$

  Beispiel für die zweite binomische Formel:

  ${(3a-7)^2=(3a)^2-2\cdot3a\cdot7+7^2=9a^2-42a+49}$

  Beispiel für die dritte binomische Formel:

  ${(3a+7)(3a-7)=(3a)^2-7^2=9a^2-49}$

  Lösung

  Lösen der binomischen Formeln

  Um die Klammerterme zu lösen, müssen sie genau der Struktur der binomischen Formeln entsprechen.
  Das heißt, dass die Zahlen und Terme sowie die Rechenzeichen exakt stimmen müssen.

  Die korrekten Rechnungen sind:

  • ${(2a+3)^2=(2a)^2+2\cdot2a\cdot3+3^2=4a^2+12a+9}$
  • ${(2a+3)(2a-3)=4a^2-9}$

  
  Die inkorrekten Rechnungen sind:

  • ${(2a-3)^2=(2a)^2+2\cdot 2a\cdot 3 -3^2=4a^2+8a-9}$

  In diesem Fall sind die Rechenzeichen und die Berechnung der Terme falsch:

  ${2\cdot2\cdot4=12}$ und nicht $8$.

  Die richtige Lösung lautet:

  ${(2a-3)^2=(2a)^2-2\cdot2a\cdot3+3^2=4a^2-12a+9}$

  • ${(2a-3)(2a-3)=4a^2+9}$

  Hier ist die zweite binomische Formel dargestellt, allerdings in ausführlicher Schreibweise. Sie wurde beim Auflösen jedoch nicht angewendet. Wir können sie wie folgt auflösen:

  ${(2a-3)(2a-3)=(2a-3)^2=(2a)^2-2 \cdot 2a \cdot 3+9=4a^2-12a+9}$