Mitternachtsformel und allgemeine Form einer quadratischen Gleichung

Mitternachtsformel und allgemeine Form einer quadratischen Gleichung Übung

• Bestimme die Lösung der quadratischen Gleichung mithilfe der Mitternachtsformel.

  Tipps

  $a$ ist der Koeffizient des quadratischen Terms.

  Unter der Wurzel steht in der Mitternachtsformel das Quadrat von $b$ mit positivem Vorzeichen.

  Für die Gleichung $x^2+x-2=0$ lautet die Mitternachtsformel:

  $x_{1,2} = \frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{2}$

  Lösung

  Die Mitternachtsformel ist die Lösungsformel für die Lösungen einer quadratischen Gleichung in allgemeiner Form:

  $ax^2+bx+c=0$

  Mit der Formel kannst du jede Lösung der quadratischen Gleichung direkt aus den Koeffizienten der Gleichung berechnen:

  $x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2+4ac}}{2a}$

  In der Aufgabe ist die folgende Gleichung gegeben:

  $2x^2+10x+8=0$

  Der Vergleich mit der allgemeinen Form oben zeigt dir, dass die Koeffizienten $a=2$ und $b=10$ und $c=8$ sind. Diese Werte kannst du in die Mitternachtsformel einsetzen:

  $x_{1,2} = \frac{-10\pm\sqrt{10^2-4\cdot 2 \cdot 8}}{2 \cdot 2} = \frac{-10\pm \sqrt{100-64}}{4} = \frac{-10\pm 6}{4}$

  Die beiden Lösungen $x_1$ und $x_2$ erhältst du, indem du einmal das Vorzeichen $+$ auf dem Bruchstrich auswählst und einmal das Vorzeichen $-$. Die beiden Lösungen sind also:

  $x_1= \frac{-10+6}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

  und

  $x_2 = \frac{-10-6}{4} = \frac{-16}{4} = -4$

• Gib die Herleitung der Mitternachtsformel wieder.

  Tipps

  Bringe zuerst genau die Terme, die die Variable $x$ enthalten, auf eine Seite der Gleichung.

  Multipliziere die Gleichung im zweiten Umformungsschritt mit $4a$.

  Bevor du die binomische Formel anwenden kannst, musst du die Terme mit $b^2$ quadratisch ergänzen.

  Bevor du die Wurzel ziehst, wende die binomische Formel an.

  Lösung

  Einer quadratischen Gleichung in allgemeiner Form

  $ax^2+bx+c=0$

  kannst du mit der Mitternachtsformel ihre Lösungen zuordnen. Du erhältst die Mitternachtsformel aus der quadratischen Gleichung durch geeignete Umformungen und die Anwendung der binomischen Formel. Hier ist die korrekte Reihenfolge der Umformungen mit Benennung der einzelnen Schritte:

  1. Bringe in der Gleichung $ax^2+bx+c=0$ durch Addition von $-c$ alle variablen Terme (also alle $x$-Terme) auf die linke Seite und alle konstanten Terme auf die rechte Seite: ${ax^2+bx=-c}$.
  2. Multipliziere mit $4a$ und erhalte ${4a^2x^2 + 4abx = -4ac}$.
  3. Führe die quadratische Ergänzung aus, indem du beiderseits $b^2$ addierst. So erhältst du die Gleichung: ${4a^2x^2 + 4abx +b^2=b^2 -4ac}$.
  4. Forme die linke Seite so um, dass die Terme denen der binomischen Formel entsprechen: ${(2ax)^2 + 2 \cdot ax \cdot b + b^2 = b^2-4ac}$.
  5. Ersetze die Terme der linken Seite durch das Quadrat einer Summe: ${(2ax+b)^2 = b^2-4ac}$.
  6. Ziehe die positive und negative Wurzel der rechten Seite: ${2ax+b = \pm\sqrt{b^2-4ac}}$.
  7. Bringe den konstanten Term $b$ durch Subtraktion auf die rechte Seite: ${2ax =-b \pm\sqrt{b^2-4ac}}$.
  8. Löse nach $x$ auf, indem du durch $2a$ dividierst: ${x=\frac{-b \pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$.

• Gib an, wie die Mitternachtsformel lauten muss.

  Tipps

  Bestimme die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ und setze sie in die Mitternachtsformel ein.

  Im Nenner der Mitternachtsformel steht $2a$.

  Für die Gleichung $2x^2 -2x =0$ lautet die Mitternachtsformel:

  $x_{1,2} = \frac{2\pm \sqrt{4-0}}{4}$

  Lösung

  Bei der allgemeinen Form einer quadratischen Gleichung

  $ax^2+bx+c=0$

  lautet die Mitternachtsformel:

  $x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

  Setzt du die Koeffizienten der gegebenen Gleichungen in die Mitternachtsformel ein, so findest du zu jeder Gleichung die passende Lösungsformel:

  Beispiel 1

  Bei der Gleichung

  $2x^2+8x-6$

  sind die Koeffizienten $a=2$ und $b=8$ und $c=-6$. Die Mitternachtsformel lautet daher:

  $x_{1,2}=\frac{-8\pm\sqrt{64+48}}{4}$

  Beispiel 2

  Für die Gleichung

  $2x^2-8x+6$

  erhältst du die Lösungsformel:

  $x_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{64-48}}{4}$

  Hier sind nämlich $a=2$ und $b=-8$ sowie $c=6$.

  Beispiel 3

  Bei der Gleichung

  $-2x^2-6x+8=0$

  mit $a=-2$, $b=-6$ und $c=8$ erhältst du die Mitternachtsformel:

  $x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{36+64}}{-4}$

  Beispiel 4

  Für die Gleichung

  $8x^2-2x+2=0$

  findest du die Koeffizienten $a=8$ und $b=-2$ und $c=2$ und erhältst damit die Mitternachtsformel:

  $x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{4-64}}{16}$

  Beispiel 5

  Die Gleichung

  $-2x^2+6x-6=0$

  schließlich hat die Koeffizienten $a=-2$ sowie $b=6$ und $c=-6$. Die Mitternachtsformel lautet also:

  $x_{1,2}=\frac{-6\pm\sqrt{36-48}}{-4}$

• Bestimme die Lösungen mithilfe der Mitternachtsformel.

  Tipps

  Eine quadratische Gleichung hat keine Lösung, wenn unter der Wurzel in der Mitternachtsformel eine negative Zahl auftaucht.

  Überprüfe die Zuordnung der Lösungen zu den Gleichungen durch eine Probe.

  Lösung

  Die Mitternachtsformel ist eine Formel für alle Lösungen einer quadratischen Gleichung in allgemeiner Form. Eine quadratische Gleichung hat in Abhängigkeit ihrer Koeffizienten genau zwei, nur eine oder gar keine Lösungen. Welcher Fall vorliegt, kannst du ebenfalls an der Mitternachtsformel ablesen: Die quadratische Gleichung hat genau dann keine Lösung, wenn der Term unter der Wurzel in der Mitternachtsformel negativ ist. Sie hat nur eine Lösung, wenn der Term unter der Wurzel $0$ ist. In allen anderen Fällen sind die beiden Werte $x_1$ und $x_2$ aus der Mitternachtsformel verschieden und sind genau die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung.

  Hier erhältst du folgende Zuordnung:

  $2x^2-3x+1$:

  • Die Mitternachtsformel lautet: $x_{1,2} = \frac{3\pm\sqrt{3^2-8}}{4}$. Die Lösungen sind also:
  • $x_1 = \frac{3+1}{4}=1$
  • $x_2= \frac{3-1}{4} = 0,5$

  $-x^2-6x+16=0$:

  • Hier findest du $x_{1,2} = \frac{6\pm\sqrt{6^2+64}}{-2}$, also:
  • $x_1=-8$
  • $x_2=2$

  $2x^+5x+2$:

  • Die Mitternachtsformel lautet: $x_{1,2} = \frac{-5\pm\sqrt{25-16}}{4}$. Die Lösungen sind dann:
  • $x_1=-0,5$
  • $x_2=-2$

  $-3x^2+3x-6$:

  • Hier lautet die Mitternachtsformel: $\frac{-3\pm{(-3)^2 - 4\cdot (-3) \cdot (-6)}}{2 \cdot (-3)} = \frac{-3\pm\sqrt{9-72}}{-6} = \frac{-3\pm\sqrt{-63}}{-6}$. Da der Term unter der Wurzel negativ ist, hat die Gleichung keine Lösung.

• Zeige auf, dass die Werte $x_1$ und $x_2$ die quadratische Gleichung lösen.

  Tipps

  Setze überall, wo in der ersten Gleichung $x$ steht, den Wert $-1$ ein.

  Beachte die Regel:

  Minus mal Minus ergibt Plus.

  Der Wert $x_1=2$ löst die Gleichung:

  $-3x^2+3x+6=0$

  Denn durch Einsetzen erhältst du:

  $-3 \cdot 2^2+3 \cdot 2+6= -3 \cdot 4 + 6 +6 = -12+6+6=0$

  Lösung

  Mit einer Probe zeigst du, dass die Lösungen $x_1$ und $x_2$, die du z. B. mithilfe der Mitternachtsformel ausgerechnet hast, wirklich die quadratische Gleichung lösen. Um die Probe durchzuführen, setzt du an jeder Stelle, an der die Variable $x$ in der Gleichung steht, einen der beiden Werte ein, und zwar an jeder Stelle denselben. Wenn du durch Ausrechnen eine gültige Gleichung erhältst, hast du gezeigt, dass dieser Wert die quadratische Gleichung löst. Dasselbe wiederholst du dann für den anderen Wert.

  Hier sind die beiden konkreten Rechnungen:

  Für den Wert $x_1=-1$ erhältst du:

  $2 \cdot (-1)^2 + 10 \cdot (-1) + 8 = 2+( -10)+8 =0$

  Und für den Wert $x_2=-4$ sieht die Rechnung so aus:

  $2 \cdot (-4)^2 + 10 \cdot (-4) +8 = 32+(-40)+8 = 0$

• Analysiere die Aussagen über die Mitternachtsformel.

  Tipps

  Steht in der Mitternachtsformel ein negativer Term unter der Wurzel, so hat die Gleichung keine Lösung.

  Lösung

  Bei der allgemeinen Form einer quadratischen Gleichung

  $ax^2+bx+c=0$

  lautet die Mitternachtsformel:

  $x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Hat die quadratische Gleichung $ax^2+bx+c=0$ mehr als eine Lösung, so ist $b^2 \neq 4ac$.“ Denn nur wenn $b^2 \neq 4ac$, fällt der $\pm$-Term in der Mitternachtsformel nicht weg.

  • „Ist das Absolutglied $0$, so hat die quadratische Gleichung immer eine Lösung.“ In diesem Fall ist nämlich $x=0$ eine Lösung. Das siehst du entweder durch Einsetzen von $x=0$ in die Gleichung $ax^2+bx=0$ oder durch Einsetzen von $c=0$ in die Mitternachtsformel.

  • „Ersetzt du bei einer quadratischen Gleichung jeden Koeffizienten durch seine Gegenzahl, so hat die neue Gleichung dieselben Lösungen wie die alte.“ Denn du kannst in diesem Fall $-1$ ausklammern: $-ax^2-bx-c = (-1) \cdot (ax^2+bx+c)$. Da $(-1) \neq 0$ ist, gilt $-ax^2-bx-c=0$ genau dann, wenn $ax^2+bx+c=0$.

  • „Sind alle Koeffizienten einer lösbaren quadratischen Gleichung negativ, so ist auch eine Lösung negativ.“ Sind die Koeffizienten $a,b,c$ negativ, so kannst du jeden Koeffizienten durch seine Gegenzahl ersetzen und erhältst eine äquivalente Gleichung mit positiven Koeffizienten. Bei einer solchen Gleichung ist mindestens eine der Lösungen negativ.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Die Mitternachtsformel gibt für jede quadratische Gleichung zwei Lösungen an.“ Nicht jede quadratische Gleichung hat Lösungen. Die Gleichung $x^2+1=0$ ist beispielsweise nicht lösbar.

  • „Die Mitternachtsformel ist nur anwendbar, wenn keiner der Koeffizienten $a,b,c$ Null ist.“ Um die Mitternachtsformel anwenden zu können, muss $a\neq 0$ sein, sonst ergibt die $0$ im Nenner einen nicht definierten Term. Die Koeffizienten $b$ und $c$ dürfen aber $0$ sein. Ist $a=0$, so handelt es sich auch gar nicht um eine quadratische, sondern um eine lineare Gleichung.

  • „Die quadratische Gleichung $ax^2+bx+c=0$ hat genau dann weniger als zwei Lösungen, wenn $b^2 = 4ac$.“ In diesem Fall hat die quadratische Gleichung nur eine Lösung. Ist aber $b^2 < 4ac$, so hat die quadratische Gleichung keine Lösungen.

  • „Sind alle Koeffizienten einer lösbaren quadratischen Gleichung positiv, so ist auch eine Lösung positiv.“ Die Gleichung $x^2+3x+2=0$ hat die Lösungen $x_1=-1$ und $x_2=-2$.