Zweite binomische Formel

Zweite binomische Formel Übung

• Beschrifte die Abbildung zur $2.$ binomischen Formel.

  Tipps

  $a \cdot a = a^2$

  und

  $-ab-ab=-2ab$

  Verringert man die Seite $a$ um die Länge $b$, dann hat die verkürzte Seite die Länge $a-b$.

  Lösung

  Die $2.$ binomische Formel lautet:

  $(a-b)^2 = a^2 - 2\cdot a \cdot b + b^2$.

  Geometrisch kann man sie folgendermaßen herleiten:

  In ein Quadrat der Seitenlänge $a$ sind zwei Rechtecke einbeschrieben mit der Fläche $a \cdot b$. Diese werden von der Fläche $a^2$ abgezogen. Da nun jedoch zweimal die Fläche $b^2$ abgezogen wurde, muss diese Fläche einmal wieder addiert werden. Somit erhält man ein Quadrat mit der Fläche $(a-b)^2$.

• Vervollständige die Gleichungen.

  Tipps

  Um den Term $(x+y) \cdot z$ zu bestimmen, multiplizierst du jeden Summanden in der Klammer einzeln mit dem Faktor $z$ und summierst die Produkte:

  $(x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z$.

  Das Quadrat $(a+b)^2$ kannst du ausrechnen, indem du es zu $(a+b) \cdot (a+b)$ umschreibst und ausmultiplizierst:

  $(a+b)^2 = (a+b) \cdot (a+b) = a^2 + 2ab + b^2$.

  Beachte beim Ausmultiplizieren von Differenzen die Regel:

  Minus mal minus ergibt plus.

  Lösung

  Du kannst die Terme vergleichen, indem du alle Klammern ausmultiplizierst. Dazu musst du jedes Glied in der Klammer des ersten Faktors mit jedem in der Klammer des zweiten Faktors multiplizieren und diese Produkte addieren. Bei Differenzen in den Klammern musst du die Regel minus mal minus ergibt plus und minus mal plus ergibt minus beim Multiplizieren beachten.

  Multiplizierst du das Quadrat $(a-b)^2$ aus, so erhältst du die zweite binomische Formel:

  $(a-b)^2 = (a-b) \cdot (a-b) = a^2-2ab+b^2$

  Diese Formel kannst du auch verwenden, um die Paare zu finden.

  Auf diese Weise erhältst du folgende Gleichungen:

  • $(a-b) \cdot (c-d) = a \cdot c - a \cdot d - b \cdot c + b \cdot d$

  • $(a-b)^2 = a^2 - a \cdot b - b \cdot a + b^2$

  • $(4x -18y)^2 = 16x^2-144xy+324y^2$

  • $-b \cdot (c-d) = -b \cdot c + b \cdot d$

  • $-b \cdot (a-b) = -b \cdot a +b^2$

• Berechne die Quadrate.

  Tipps

  Die zweite binomische Formel erhältst du, indem du das Produkt $(a-b)^2 = (a-b) \cdot (a-b)$ ausmultiplizierst und gleichartige Terme zusammenfasst.

  Nach der zweiten binomischen Formel gilt:

  $(b-a)^2 = b^2 - 2ba + a^2$.

  Beachte, dass der Koeffizient des gemischten Terms das Doppelte des Produktes von Subtrahend und Minuend ist.

  Lösung

  Die zweite binomische Formel erhältst du, indem du das Quadrat einer Differenz termweise ausmultiplizierst und dann gleichartige Terme zusammenfasst:

  $(a-b)^2 = (a-b) \cdot (a-b) = a \cdot a + a \cdot (-b) + (-b) \cdot a + (-b) \cdot (-b) = a^2 - 2ab + b^2$.

  Mit dieser Formel findest du folgende Zuordnungen:

  • $(15x-7y)^2 = 15^2\cdot x^2 - 2\cdot 15x \cdot 7y + 7^2 \cdot y^2 = 225x^2 - 210xy +49y^2$

  • $(9x-11y)^2 = 81x^2 - 198 xy +121y^2$

  • $(12y-8x)^2 = 144y^2 - 192xy + 64x^2$

  • $(8y-7x)^2 = 64y^2 - 112xy + 49x^2$

• Prüfe die Gleichungen.

  Tipps

  Multipliziere das Quadrat $(a-b-c)^2$ aus und fasse gleiche Terme zusammen, um die Formel zu überprüfen.

  Multiplizierst du das Produkt aus $(x-y)$ und $(y-x)$ aus, so bleibt kein Term übrig, in dem sowohl $x$ als auch $y$ als Faktoren vorkommen.

  Lösung

  Du kannst die Wegweiser überprüfen, indem du die Klammern ausmultiplizierst. Dann findest du heraus, dass folgende Gleichungen richtig sind:

  • $(-b+a)^2 = a^2-2ab+b^2$.

  Denn dies ist die zweite binomische Formel.

  • $(a-b-c)^2 = a^2+b^2+c^2-2ab+2bc-2ac$.

  Denn durch Ausmultiplizieren erhältst du:

  $\begin{array}{rcl} (a-b-c)^2 &=& (a-b-c) \cdot (a-b-c) \\ &=& a \cdot (a-b-c) - b \cdot (a-b-c) - c \cdot (a-b-c) \\ &=& a^2 -ab -ac -ba +b^2 +bc -ca +cb +c^2 \\ &=& a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2bc -2ac \end{array}$

  • $(b^2-b)^2 = b^4-2b^3+b^2$.

  Dies ist eine Anwendung der zweiten binomischen Formel mit $a = b^2$, denn:

  $a^2 = (b^2)^2 = b^4$ und $2ab = 2 \cdot b^2 \cdot b = 2b^3$.

  Folgende Gleichungen dagegen sind falsch:

  • $(a+b)^2 \neq a^2-2ab+b^2$, denn:

  $(a+b)^2 = (a+b) \cdot (a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

  • $(a-b) \cdot (b-a) \neq a^2-2ab+b^2$.

  Denn Ausmultiplizieren ergibt: $(a-b) \cdot (b-a) = ab -a^2 -b^2 +ba = -a^2 + 2ab - b^2$.

  • $(-a+b)^2 \neq - a^2 +2ab-b^2$.

  Denn nach der zweiten binomischen Formel erhältst du hier:

  $(-a+b)^2 = (b-a)^2 = b^2 -2ba + a^2 = a^2 -2ab + b^2$.

• Berechne die Terme.

  Tipps

  Multipliziere jeden Summanden, Subtrahenden und Minuenden in der Klammer mit dem Faktor außerhalb der Klammer.

  Beachte bei Differenzen in der Klammer genau die Vorzeichen und die Regel minus mal minus ergibt plus und plus mal minus ergibt minus.

  Multiplizierst du den Term $x$ mit der Differenz $(y-z)$, so nutzt du das Distributivgesetz und erhältst:

  $x \cdot (y-z) = x \cdot y + x \cdot (-z) = x \cdot y - x \cdot z$.

  Bsp.: $x \cdot x = x^2$

  Lösung

  Ist bei einem Produkt einer der Faktoren eine Klammer mit einer Summe oder Differenz, so kannst du das Produkt ausrechnen, indem du die Klammer ausmultiplizierst: Du multiplizierst dazu den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Glied in der Klammer und summierst diese Produkte. Steht in der Klammer eine Differenz, so musst du die Vorzeichen beachten: $a \cdot (b-c)$ multiplizierst du, indem du die Produkte $a \cdot b$ und $a \cdot (-c)$ addierst. Dabei kannst du den Summanden $a \cdot (-b)$ durch $-ac$ ersetzen und erhältst:

  $a \cdot (b-c) = a\cdot b +a\cdot(-c)= ab -ac$.

  Tritt sowohl in der Klammer als auch außerhalb der Klammer ein negatives Vorzeichen auf, so musst du beim Multiplizieren die Regel minus mal minus ergibt plus beachten.

  Wenn du auf diese Weise alle Klammern ausmultiplizierst, so erhältst du folgende Gleichungen:

  • $a \cdot (c-d) = ac - ad$

  • $-b \cdot (a-b) = -ab + b^2$

  • $4x \cdot (4x-18y) = 16x^2 - 72xy$

  • $-b \cdot (c-d) = -bc + bd$

  • $-18y \cdot (4x-18y) = -72xy + 324y^2$

• Wende die $2$. binomische Formel rückwärts an.

  Tipps

  Bsp.:

  $25a^2-20ab+4b^2=(5a-2b)^2$

  Es gilt: $-154z+49z^2+121 = 121-154z+49z^2$.

  Lösung

  In diesem Fall wird die $2.$ binomische Formel verwendet, um Terme zu faktorisieren. Zur Probe kann der faktorisierte Term stets ausmultipliziert werden.

  Somit ergeben sich folgende Lösungen:

  • $a^2-6a+9 = (\underline{a}-\underline{3})^2$
  • $4x^2-4x+1 = (\underline{2}x-\underline{1})^2$
  • $9a^2-12ab+4b^2 = (\underline{3}a-\underline{2}b)^2$
  • $16x^2-72xy+81y^2 = (\underline{4}x-\underline{9}y)^2$
  • $-154z+49z^2+121 = (\underline{11}-\underline{7}z)^2$. Hier hilft es, den Ausgangsterm umzuformen, um ihn in die typische Form der $2.$ binomischen Formel zu bringen. Es gilt nämlich: $-154z+49z^2+121 = 121-154z+49z^2$.