Kreuzungsversuche – Wahrscheinlichkeit der Vererbung berechnen

Die Wahrscheinlichkeit der Vererbung – Biologie

Wenn beide Eltern eines Kindes blaue Augen haben, dann hat das Kind fast immer ebenfalls blaue Augen. Warum ist das so? Das liegt daran, dass das Merkmal blaue Augen rezessiv vererbt wird. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Merkmal wie die Augenfarbe vererbt wird, kann man berechnen.
Hierfür ist ein wenig Grundwissen nötig: Bis jetzt hast du viel über die mendelschen Regeln, Gene, rezessive und dominante Allele, homozygote und heterozygote Vererbung, Vererbungslehre und das Kreuzungsschema gelernt.
Im folgenden Text wird nun erklärt, wie man die Wahrscheinlichkeit der Vererbung bestimmter Merkmale berechnen kann.

Was ist Vererbung? – Definition

In der Biologie beschreibt Vererbung die Weitergabe von Genmaterial an die nächste Generation. In diesem Text geht es um die Vererbung bei geschlechtlicher Fortpflanzung. Daran sind immer zwei Individuen (Vater und Mutter) beteiligt. Von beiden Individuen werden Gene an die Nachkommen weitergegeben. Von jedem Gen gibt es in der Regel mehrere Ausprägungen, die Allele. Die Wahrscheinlichkeit dafür, welche Allele letztendlich bei den Nachkommen ankommen und welches Merkmal sich dann bei ihnen durchsetzt, kann man berechnen.
Dominante Allele werden hier immer mit einem Großbuchstaben abgekürzt (A) und rezessive Allele mit einem Kleinbuchstaben (a).

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Die mendelschen Regeln beruhen auf den Gesetzen der Wahrscheinlichkeit. Um bei Kreuzungsversuchen die möglichen Ergebnisse anteilmäßig zu berechnen, wird die Wahrscheinlichkeitsrechnung hinzugezogen. Eine Wahrscheinlichkeit liegt immer zwischen null und eins bzw. zwischen null Prozent und hundert Prozent.
Mit null ist das unmögliche Eintreffen des Ereignisses gemeint. Mit eins ist gemeint, dass es absolut sicher ist, dass das Ereignis eintrifft. Um die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis zu berechnen, teilt man die Anzahl der Ergebnisse, bei denen das Ereignis eintritt durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse. Mithilfe solcher Berechnungen können genetische Fragestellungen beantwortet werden. Halten wir noch einmal fest: Der Wert einer Wahrscheinlichkeit liegt immer zwischen null und eins.

$Wahrscheinlichkeit = 0 \Rightarrow \text{Es ist unmöglich, dass das Ereignis eintrifft.}$

$Wahrscheinlichkeit = 1 \Rightarrow \text{Das Ereignis trifft mit Sicherheit ein.}$

Um die Wahrscheinlichkeit nun zu berechnen, dividierst du die Anzahl der Ergebnisse, bei denen das Ereignis eintritt, durch die Anzahl aller möglichen Ereignisse.

$ \text{Wahrscheinlichkeit } = \frac{\text{Anzahl der Ergebnisse, bei denen das Ereignis eintritt}}{\text{Anzahl aller möglichen Ereignisse}}$

Ein einfaches Beispiel ist der Wurf einer Münze. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, nach einem Münzwurf die Zahl zu erhalten? Da die Münze zwei Seiten hat und dadurch zwei Möglichkeiten, erhält man Zahl mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{2}$. Es gibt also zwei mögliche Ereignisse (Kopf und Zahl) und genau ein Ergebnis, dass zu Zahl führt. Dies gilt bei jedem einzelnen Wurf.
Mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung kann auch die Wahrscheinlichkeit der Vererbung berechnet werden.

Was hat die Vererbung mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu tun?

Bei der geschlechtlichen Fortpflanzung verschmelzen immer zwei Keimzellen (eine von der Mutter und eine vom Vater) miteinander. Diese Keimzellen entstehen aus den diploiden Urkeimzellen.
Betrachten wir eine diploide Urkeimzelle, so hat diese einen doppelten Chromosomensatz mit zwei Allelen. In diesem Beispiel ist die Urkeimzelle heterozygot mit dem Genotyp Aa. Bei einer Keimzellreifung teilt sich die Urkeimzelle in zwei haploide Keimzellen. Jede Keimzelle erhält also eines der beiden Allele. Eine Keimzelle mit Allel A und eine Keimzelle mit Allel a entsteht. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Keimzelle ein bestimmtes Allel enthält, ist also für beide Allele $\frac{1}{2}$ wie beim Münzwurf. Man könnte auch sagen, es gibt eine Chance von 50 : 50 für beide Allele.

Wahrscheinlichkeit – die Vererbung berechnen mit der Multiplikationsregel und der Additionsregel

Um die Wahrscheinlichkeit von Vererbung zu berechnen, müssen mathematische Regeln beachtet werden. Zwei sehr wichtige Regeln sind dabei die Multiplikationsregel und die Additionsregel.
Im Anschluss wird an mehreren Beispielen gezeigt, wie man mithilfe der beiden Regeln die Wahrscheinlichkeit bei Erbgängen berechnen kann.

Die Multiplikationsregel

Die Multiplikationsregel (Produktregel) wird angewandt, wenn man die Wahrscheinlichkeit berechnen möchte, dass mehrere unabhängige Ereignisse zusammen eintreten. Hat die Blütenfarbe rosa beispielsweise den Genotyp aa, müssen zwei unabhängige Ereignisse eintreten, damit die Blüte rosa wird: Die Mutterpflanze muss das Allel a vererben und die Vaterpflanze muss das Allel a vererben. Um die Wahrscheinlichkeit für den Genotyp aa zu berechnen, multipliziert man die Wahrscheinlichkeiten der beiden unabhängigen Ereignisse miteinander.

Ähnliche Beispiele und die zugehörigen Rechnungen werden im Anschluss Schritt für Schritt erklärt. Um es etwas interessanter zu machen, betrachten wir aber zwei unabhängige Merkmale: Blütenfarbe und Art des Blatts. Solche Erbgänge nennt man auch dihybride Kreuzung. Die Allele für unterschiedliche Farben der Blüte und unterschiedliche Arten des Blatts sind wie folgt definiert:

• A = Blütenfarbe purpurn
• a = Blütenfarbe weiß
• B = gekräuseltes Blütenblatt
• b = glattes Blütenblatt

Beispiel 1: Die Eltern (F1-Generation) haben beide den Genotyp AaBb.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Individuum der F2-Generation (Nachkommen) weiße Blüten (Allelkombination aa) hat?

Für die F2-Generation mit der Allelkombination aa erhalten wir eine Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{2}$ für jedes Elternteil für die Weitergabe des a-Allels. Die Wahrscheinlichkeiten der beiden unabhängigen Ereignisse müssen miteinander multipliziert werden. Für die Bildung von aa ist die Wahrscheinlichkeit dementsprechend $\frac{1}{4}$, da $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ ergibt.
Das kann man auch in einer Tabelle (Punnett-Quadrat) aufzeichnen und erhält das gleiche Ergebnis: Eines von vier möglichen Ereignissen ergibt den Genotyp aa.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Individuum der F2-Generation (Nachkommen) weiße Blüten und glatte Blütenblätter (Allelkombination aabb) hat?

Wieder benötigen wir die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeit für jeden Elternteil, das Allel a weiterzugeben, beträgt $\frac{1}{2}$. Die Wahrscheinlichkeit für jeden Elternteil, das Allel b weiterzugeben, beträgt ebenfalls $\frac{1}{2}$. Somit ist die Wahrscheinlichkeit für den Genotyp aabb $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16}$.

Auch in der Tabelle sieht man, dass der Genotyp aabb nur bei genau einem von sechzehn möglichen Ereignissen zustande kommt.

Beispiel 2: Die Eltern (F1-Generation) haben unterschiedliche Genotypen. Elternteil 1: AABb, Elternteil 2: AaBb

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Individuum der F2-Generation (Nachkommen) die Allelkombination AABB hat?

Die Wahrscheinlichkeit für die Weitergabe von A ist beim Elternteil 1 = 1 und beim Elternteil 2 = $\frac{1}{2}$.
Die Wahrscheinlichkeit für die Weitergabe von B ist hier bei beiden Elternteilen $\frac{1}{2}$.
Hier erhalten wir also die Wahrscheinlichkeit $\frac{1}{8}$ als Ergebnis, berechnet aus $1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.

In der Tabelle ergeben zwei von sechzehn Ereignissen den gesuchten Genotyp.

Im folgenden Schema ist noch einmal leicht verständlich dargestellt, wie man die Wahrscheinlichkeiten der Vererbung mithilfe der Multiplikationsregel berechnet.

Die Additionsregel

Die Additionsregel (Summenregel) benötigt man, wenn es mehrere Möglichkeiten gibt, wie ein bestimmtes Ereignis eintreten kann. Um die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis zu berechnen, muss man die Wahrscheinlichkeit für jede einzelne dieser Möglichkeiten berechnen und alle addieren. Um das zu verdeutlichen, betrachten wir im folgenden Beispiel eine monohybride Kreuzung, also eine Kreuzung, bei der nur ein Merkmal betrachtet wird. In diesem Fall betrachten wir die Blütenfarbe mit den folgenden möglichen Allelen:

• R = rote Blütenfarbe
• r = weiße Blütenfarbe

Beispiel 3: Die Eltern (F1-Generation) haben beide den Genotyp Rr.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein Nachkomme in der F1-Generation die Allelkombination Rr?

Um die Kombination Rr zu erhalten, gibt es mehrere Möglichkeiten:

• Elternteil 1 vererbt das Allel R (Wahrscheinlichkeit = $\frac{1}{2}$) und Elternteil 2 vererbt das Allel r (Wahrscheinlichkeit = $\frac{1}{2}$). Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis beträgt $\frac{1}{4}$.
• Elternteil 1 vererbt das Allel r (Wahrscheinlichkeit = $\frac{1}{2}$) und Elternteil 2 vererbt das Allel R (Wahrscheinlichkeit = $\frac{1}{2}$). Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis beträgt $\frac{1}{4}$.

Insgesamt berechnet sich die Wahrscheinlichkeit für das oben beschriebene Ereignis also wie folgt: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

Die Wahrscheinlichkeit bei der Vererbung – Zusammenfassung

Beim Befolgen der oben erklärten Methoden kann auf einfache Weise die Wahrscheinlichkeit von Allelkombinationen berechnet werden. Dabei benötigt man die Multiplikationsregel bei unabhängigen Ereignissen, die zusammen auftreten, und die Additionsregel bei mehreren Möglichkeiten, die zu einem bestimmten Ereignis führen.
Um dich vertieft in die Vererbungslehre einzuarbeiten, sind die Videos zu den Themen Anwendung der mendelschen Regeln und Rückkreuzung sehr interessant.
Nun wird es sicherlich auch ein Leichtes sein, mit dem hier erworbenen Wissen Kreuzungsversuche zur Vererbung zu berechnen. Nutze dazu auch unsere Aufgabenblätter und Übungen. Viel Erfolg!