Parabelscharen
Die quadratische Funktion $f$ mit $f(x)=ax^2+bx+c$ hängt von verschiedenen Parametern ab. Welche Auswirkung haben diese Parameter auf den zugehörigen Funktionsgraphen?
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- Was ist eine quadratische Funktion?
- Veränderung des Parameters
- Veränderung des Parameters
- Veränderung des Parameters – Ortskurven
Was ist eine quadratische Funktion?
Eine quadratische Funktionsgleichung hat die Form . Dabei hängt der Funktionsgraph der quadratischen Funktion von den Parametern , und ab. Übrigens: Der Funktionsgraph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel.
Wenn eine Funktion zusätzlich zu der Variablen auch noch einen Parameter hat, so spricht man von einer Funktionenschar. Die zugehörigen Funktionsgraphen werden schließlich als Parabelschar bezeichnet.
Veränderung des Parameters
Wenn du zum Beispiel die Funktionenschar mit betrachtest, erkennst du, dass alle Parabeln den gemeinsamen Scheitelpunkt , den Koordinatenursprung, haben. Sie unterscheiden sich zum einen dadurch, dass sie nach oben oder unten geöffnet sind, und zum anderen dadurch, wie weit sie geöffnet sind.
Hier siehst du Parabeln zu verschiedenen Werten für den Parameter , welcher auch als Streckfaktor bezeichnet wird. Die gelbe Parabel ist die Normalparabel zu der Funktion mit .
- Die blaue Parabel ist gestreckt. Sie gehört zu der Funktionsgleichung .
- Die grüne Parabel ist gestaucht. Sie gehört zu der Funktionsgleichung .
Veränderung des Parameters
Hierfür schauen wir uns die Funktionenschar mit an. Wenn du veränderst, wird die Parabel entlang der -Achse verschoben. Die Parabel wird nach oben verschoben, wenn ist und für nach unten.
Hier siehst du Parabeln zu verschiedenen Werten für den Parameter . Wieder ist die gelbe Parabel die Normalparabel zu .
- Die blaue Parabel ist nach oben verschoben. Sie gehört zu der Funktionsgleichung .
- Die grüne Parabel ist nach unten verschoben. Sie gehört zu der Funktionsgleichung .
Veränderung des Parameters – Ortskurven
Schau dir die Funktionenschar mit an. Wir möchten untersuchen, wie die Scheitelpunkte der Parabeln von dem Parameter abhängen. Da in diesem Beispiel der Streckfaktor positiv ist, sind die zugehörigen Parabeln der Parabelschar alle nach oben geöffnet. Der Scheitelpunkt ist also der jeweils tiefste Punkt der Parabel.
Bestimmen des tiefsten Punktes
Wie bestimmst du den tiefsten Punkt, also das Minimum, einer Funktion? Richtig, du benötigst die ersten beiden Ableitungen sowie der Funktion. Dann löst du die Gleichung . Die zweite Ableitung ist in diesem Fall immer größer als .
Los geht’s:
- ,
- .
Löse nun die Gleichung , also .
Berechne nun die -Koordinate des Scheitelpunktes .
Der Scheitelpunkt hängt also sowohl in der - als auch in der -Koordinate von dem Parameter ab.
Im Folgenden siehst du drei Parabeln:
- : Die blaue Parabel hat den Scheitelpunkt .
- : Die gelbe Parabel hat den Scheitelpunkt .
- : Die grüne Parabel hat den Scheitelpunkt .
Jeden dieser Scheitelpunkte erhältst du durch Einsetzen des jeweiligen Wertes für in den oben berechneten Scheitelpunkt.
Herleitung der Ortskurve
Was ist eigentlich eine Ortskurve? Auf einer Ortskurve liegen alle Punkte einer Funktionenschar, die eine gemeinsame Eigenschaft haben. In diesem Beispiel sind dies die Scheitelpunkte, also Minima, der Funktionenschar.
Wie kannst du eine solche Ortskurve bestimmen? Du gehst so vor:
- Forme die -Koordinate des Scheitelpunktes nach dem Parameter um. Wenn du die Gleichung mit multiplizierst, erhältst du .
- Setze den so gefundenen Parameter in die -Koordinate ein: .
Du hast die Funktionsgleichung der Ortskurve gefunden. Es handelt sich um eine nach unten geöffnete Normalparabel, welche um Einheiten nach oben verschoben ist:
Du kannst erkennen, dass auf der rot eingezeichneten Parabel, der Ortskurve, die Scheitelpunkte der drei dargestellten Parabeln liegen.
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