Scharen von Potenz- und Wurzelfunktionen

Inhaltsverzeichnis zum Thema

• Einleitung
• Potenzfunktionen
• Wurzelfunktionen
• Funktionenscharen
• Scharen von Potenzfunktionen
• Die Potenz $2$
• Negative Potenzen
• Ausblick: Scharen von ganzrationalen Funktionen
• Scharen von Wurzelfunktionen
• Ausblick: Komplexere Beispiele

Einleitung

Zunächst klären wir die Begriffe Potenzfunktion, Wurzelfunktion sowie Funktionenscharen.

Potenzfunktionen

Eine Potenzfunktion ist eine Funktion $f$ mit $f(x)=x^{n}$. Dabei steht die Variable $x$ in der Basis und wird mit dem Exponenten $n$ potenziert.

Wurzelfunktionen

Zuerst bekommst du eine kleine Einfühung in die Wurzelfunktionen. Eine Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion einer Potenzfunktion: $f(x)=\sqrt[n]{x}$. Dabei ist $n$ der Wurzelexponent.

Funktionenscharen

Wenn in einer Funktion neben der Variablen $x$ noch ein Parameter vorkommt, spricht man von einer Funktionenschar.

Scharen von Potenzfunktionen

Die Potenz $2$

Eine Schar von Potenzfunktionen ist gegeben durch $f_{a}(x)=ax^{n}$. Der Parameter $a$ wird auch als Streckfaktor bezeichnet. Du erhältst hier eine Parabelschar.

Für positive $a$ gilt, dass die Parabel nach oben geöffnet ist. Im Unendlichen (sowohl für plus als auch minus) gehen die Funktionswerte gegen unendlich ($\infty$).

• Für $a=1$ erhältst du die Normalparabel.
• Für $a\lt 1$ ist die Parabel gestaucht, also weiter als die Normalparabel.
• Für $a\gt 1$ ist die Parabel gestreckt, also enger als die Normalparabel.

Wenn $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. Im Unendlichen (sowohl für plus als auch minus) gehen die Funktionswerte gegen minus unendlich ($-\infty$).

• Für $a=-1$ erhältst du die an der $x$-Achse gespiegelte Normalparabel.
• Für $a\gt -1$ ist die Parabel gestaucht, also weiter als die gespiegelte Normalparabel.
• Für $a\lt -1$ ist die Parabel gestreckt, also enger als die gespiegelte Normalparabel.

Du siehst, das Verhalten im Unendlichen kann durchaus von dem Parameter abhängen. Dies gilt übrigens in manchen anderen Fällen ebenfalls für die Symmetrie sowie Extrem- oder Wendepunkte.

Hier siehst du die Parabeln zu $a=1$ (rot), $a=\frac12$ (grün) sowie $a=-2$ (blau).

Negative Potenzen

Wenn in der Potenzfunktion eine negative Potenz vorkommt, erhältst du zum Beispiel eine Funktion $f_{a}$ mit $f_{a}(x)=\frac{a}{x}$.

Ausblick: Scharen von ganzrationalen Funktionen

Nun betrachten wir als Beispiel die quadratische Funktion $q_{b}$ mit $q_{b}(x)=x^{2}+bx$ mit dem Scharparameter $b$.

• Für $b=0$ erhältst du die Normalparabel $f(x)=x^{2}$ mit der Nullstelle $x=0$.
• Betrachte für $b\neq 0$ die Nullstellen der Funktionenschar: $x^{2}+bx=0$. Klammere $x$ aus zu $x(x+b)=0$. Du siehst nun, dass die Nullstellen gegeben sind durch $x_{1}=0$ sowie $x_{2}=-b$.

Für verschiedene Werte von $b$ erhältst du verschiedene Parabeln. In dem folgenden Bild siehst du die Parabeln für $b=0$ (rot), $b=1$ (grün) sowie $b=-2$ (blau).

Du kannst hier bereits erkennen, dass die Nullstellen und auch die Scheitelpunkte, also die Extrempunkte, der Parabel von der Wahl des Parameters abhängen.

Zur Bestimmung dieser Stellen beziehungsweise Punkte gehst du ebenso vor wie in einer Kurvendiskussion zum Beispiel einer ganzrationalen Funktion.

Scharen von Wurzelfunktionen

Wie verhalten sich Scharen von Wurzelfunktionen in Kurvendiskussionen? Auch hier kommt noch ein (Es könnten auch mehr als einer sein!) Scharparameter vor: $f_{a}(x)=a\cdot \sqrt x$. Das Folgende kannst du auch auf andere Wurzeln anwenden.

Ebenso wie bei den Potenzfunktionen ist der Parameter $a$ ein Streckfaktor. In dem folgenden Bild siehst du die Funktionsgraphen von Funktionen der Schar für $a=1$ (rot), $a=\frac12$ (grün) sowie $a=-2$ (blau).

Ausblick: Komplexere Beispiele

Du kannst auch eine etwas komplexere Wurzelfunktion betrachten:

• $f_{a}(x)=\sqrt{x+a}$: Hier hängt auch der Definitionsbereich von dem Parameter ab. Dieser ist $\mathbb{D}_{f_{a}}=\{x\in\mathbb{R}~|~x\ge -a\}$.
• $f_{a}(x)=\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ für $a\ge 0$: Hier ist der Definitionsbereich gegeben durch $\mathbb{D}_{f_{a}}=\{x\in\mathbb{R}~|~-a\le x\le a\}$.

Merke dir: Beim Ableiten behandelst du den Parameter wie eine konstante Zahl.