Addition von Polynomen

Addition von Polynomen Übung

• Gib den Grad der gegebenen Monome an.

  Tipps

  Man kann den Exponenten dann weglassen, wenn dieser gleich $1$ ist.

  Ist der Exponent einer Potenz gleich $0$, so ist der Potenzwert dieser Potenz gleich $1$. Es ist also $x^0=1$.

  Lösung

  Das Monom $2x^2$ besitzt den Exponenten $2$ und ist daher ein Monom vom Grad $2$. Der Exponent ist die hochgestellte Zahl hinter dem $x$.

  Um den Grad für das Monom $3x^4x^2$ zu bestimmen, müssen wir die beiden Monome $x^4$ und $x^2$ miteinander multiplizieren. Da es sich hierbei um zwei Potenzen mit gleicher Basis handelt, multiplizieren wir diese, indem wir die Exponenten addieren und die Basis beibehalten. Wir erhalten dann $3x^{4+2}=3x^6$. Dieses Monom ist also vom $6$. Grad.

  Das Monom $5x$ kann geschrieben werden als $5x^1$. Der Exponent ist also $1$ und somit ist das Monom vom $1$. Grad.

  Die Konstante $3$ kann aufgefasst werden als das Monom $3x^0$, also ein Monom mit Exponenten $0$. Daher handelt es sich um ein Monom vom Grad $0$.

• Bestimme das Polynom $y_1+y_2$ in Normalform.

  Tipps

  Man kann ausschließlich gleichartige Terme addieren. Gleichartige Terme sind Terme, die Monome vom gleichen Grad enthalten, z. B. die beiden Monome $2x^3$ und $4x^3$.

  Um zwei Polynome zu addieren, empfiehlt es sich, die beiden Polynome zunächst in die Normalform zu bringen. Die Normalform eines Polynoms erhält man, indem man die Monome absteigend nach deren Grad sortiert.

  Die gleichartigen Terme $2x^3$ und $4x^3$ addieren wir, indem wir ihre Vorfaktoren addieren. Es ergibt sich $2x^3+4x^3=6x^3$.

  Lösung

  Um die Polynome $y_1=5+3x+\frac 12 x^2$ und $y_2=3x^2+4-3x$ zu addieren, müssen wir diese zunächst in Normalform bringen. Dazu müssen wir den Grad der einzelnen Monome bestimmen und das Polynom nach absteigendem Grad ordnen.

  Wenden wir uns zunächst $y_1$ zu: Das Monom $5=5 x^0$ ist vom Grad $0$, das Monom $3x=3x^1$ ist vom Grad $1$ und das Monom $\frac 12 x^2$ ist vom Grad $2$. Daher ist die Normalform von $y_1$ wie folgt gegeben:

  $y_1=\frac 12 x^2+3x+5$

  Als Nächstes wenden wir uns dem Polynom $y_2=3x^2+4-3x$ zu: Das Monom $3x^2$ ist vom Grad $2$, das Monom $4=4x^0$ ist vom Grad $0$ und das Monom $-3x=-3x^1$ ist vom Grad $1$. Daher lautet die Normalform wie folgt:

  $y_2=3x^2-3x+4$

  Nun fassen wir gleichartige Terme zusammen, indem wir sie addieren. Gleichartige Terme sind Terme mit gleicher Variable und gleichem Grad.

  Die Terme $\frac 12 x^2$ und $3x^2$ sind gleichartig und ergeben in der Summe $3 \frac 12 x^2$. Die mittleren Terme $3x$ und $-3x$ sind gleichartig und heben sich gegenseitig auf: $3x+(-3x)=0$. Die Terme $5$ und $4$ sind gleichartig und ergeben in der Summe $9$.

  Somit liefert die Addition $y_1+y_2$ das folgende Polynom:

  $y_1+y_2=3 \frac 1 2 x^2+9$

• Ermittle die Reihenfolge der gegebenen Monome.

  Tipps

  Bei der Multiplikation zweier Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten addiert.

  Betrachten wir das Monom $x^4$, so ist die Basis gegeben durch $x$ und der Exponent gegeben durch $4$.

  Für die Multiplikation von Monomen gilt zum Beispiel $x^2\cdot x^6=x^{2+6}$.

  Eine Konstante ist ein Monom vom Grad $0$, da man zum Beispiel schreiben kann $2=2x^0$.

  Lösung

  Um die erste Reihe zu sortieren, müssen keine vorherigen Vereinfachungen einzelner Monome durchgeführt werden. Bei der Bestimmung des Grads können Vorzeichen und Vorfaktoren vernachlässigt werden. Also erhalten wir für die erste Reihe folgende Grade und Sortierung der Monome:

  $\begin{array}{c|c|c|c} \text{4. Grad} & \text{3. Grad} & \text{2. Grad} & \text{1. Grad} \\ \hline -x^4 & 2x^3 & x^2 & 5x \end{array}$

  Um die zweite Reihe zu sortieren, vereinfachen wir zunächst das Monom $x \cdot x^7$. Es gilt $x \cdot x^7=x^8$ und somit ist dieses Monom vom $8.$ und damit vom höchsten Grad. Das Monom $2$ kann geschrieben werden als $2x^0$ und ist somit ein Monom vom Grad $0$. Also erhalten wir für die zweite Reihe folgende Grade und Sortierung der Monome:

  $\begin{array}{c|c|c|c} \text{8. Grad} & \text{2. Grad} & \text{1. Grad} & \text{0. Grad} \\ \hline x \cdot x^7 & 5x^2 & 3x & 2 \end{array}$

  Um die dritte Reihe zu sortieren, vereinfachen wir zunächst die beiden Monome $2x^2 \cdot 3x^3$ und $x^2 \cdot x^2$. Es folgt:

  $2x^2 \cdot 3x^3=2 \cdot 3 \cdot x^2 x^3=6x^5$

  und

  $x^2 \cdot x^2= x^4$

  Das Monom $4$ kann geschrieben werden als $4x^0$ und ist somit vom Grad $0$. Also erhalten wir für die dritte Reihe folgende Grade und Sortierung der Monome:

  $\begin{array}{c|c|c|c} \text{5. Grad} & \text{4. Grad} & \text{1. Grad} & \text{0. Grad} \\ \hline 2x^2 \cdot 3x^3 & x^2 \cdot x^2 & x & 4 \end{array}$

• Bestimme die Summe der gegebenen Polynome.

  Tipps

  Man kann nur gleichartige Terme addieren.

  Der Koeffizient eines fehlenden Gliedes ist gleich $0$.

  Ein Koeffizient ist in unserem Fall der Vorfaktor vor $x$ bzw. $x^2$, $x^3$, ...

  Bringe für die Addition die Terme zunächst in Normalform und schreibe gleichartige Terme jeweils untereinander. Die Normalform erhält man, indem man die Monome absteigend nach deren Grad sortiert.

  Lösung

  Um die gegebenen Polynome zu addieren, bringen wir diese zunächst in ihre Normalform, indem wir sie absteigend nach dem Grad der Monome sortieren. Zusätzlich muss das Monom $-x \cdot x^2$ von $y_4$ zu $-x^3$ vereinfacht werden.

  Die Polynome haben dann folgende Form:
  $y_1=-x^2+2x-2$
  $y_2=3x+2$
  $y_3=x^3+x^2+2$
  $y_4=-x^3+4x-2$

  Addition $y_1+y_2$:

  Wir beginnen bei dem höchsten Monom beider Polynome:

  • $y_1$ enthält ein Monom von Grad $2$ und $y_2$ nicht, daher geht $-x^2$ in die Summe ein.
  • Die Monome $2x$ von $y_1$ und $3x$ von $y_2$ ergeben in der Summe $5x$.
  • Die Konstanten $-2$ und $2$ heben sich gegenseitig auf.

  Damit ergibt sich das Polynom $y_1+y_2=-x^2+5x$.

  Addition $y_1+y_3$:

  • Beginnend beim Monom höchsten Grades, fällt auf, dass nur $y_3$ ein Monom vom Grad $3$ enthält. Deshalb geht $x^3$ vollständig in die Summe ein.
  • Die Monome vom Grad $2$, nämlich $-x^2$ und $x^2$, heben sich gegenseitig auf.
  • Nur $y_1$ enthält ein Monom vom Grad $1$, nämlich $2x$. Somit geht dieses auch vollständig in die Summe ein.
  • Wie zuvor heben sich die Konstanten $-2$ und $2$ gegenseitig auf.

  Es ergibt sich damit in der Summe das Polynom $y_1+y_3=x^3+2x$.

  Addition $y_3+y_4$:

  • Die beiden Monome vom Grad $3$, also $x^3$ von $y_3$ und $-x^3$ von $y_4$, heben sich gegenseitig auf. Darum enthält die Summe kein Monom vom Grad $3$.
  • Nur $y_3$ enthält ein Monom vom Grad $2$ und nur $y_4$ enthält ein Monom vom Grad $1$. Deswegen gehen sowohl $x^2$ als auch $4x$ vollständig in die Summe ein.
  • Wie zuvor heben sich auch hier die Konstanten $2$ und $-2$ gegenseitig auf.

  Es ergibt sich eine Summe von $y_3+y_4=x^2+4x$.

  Addition $y_2+y_4$:

  • Nur $y_4$ enthält ein Monom vom Grad $3$, daher geht $-x^3$ vollständig in die Summe ein.
  • Keines der Polynome enthält ein Monom vom Grad $2$.
  • Die Monome vom Grad $1$, also $3x$ von $y_2$ und $4x$ von $y_4$, summieren sich auf zu $7x$.
  • Wie gehabt heben sich die beiden Konstanten $2$ und $-2$ gegenseitig auf.

  In der Summe ergibt sich deshalb $y_2+y_4=-x^3+7x$.

• Welche Aussagen zu den Begriffen „Polynom“, „Monom“ und „Trinom“ sind richtig?

  Tipps

  Die Vorsilbe „Mono-“ bedeutet „einzig“ oder „alleinig“. Die Vorsilbe „Tri-“ steht für „drei“.

  Das Polynom $y=4x^2$ besteht nur aus einem Monom.

  Der Term $3x^2$ ist ein Monom, aber auch ein Polynom. Der Term $3x^2+2$ ist ein Polynom, aber kein Monom.

  Lösung

  Polynome setzen sich aus einzelnen Termen zusammen. Zum Beispiel besteht das Polynom $y_1=2x^2+6x+5$ aus den Termen $2x^2$, $6x$ und $5$.

  Diese können Variablen mit Exponenten ($2x^2$), Variablen mit Koeffizienten ($6x$) und Konstanten ($5$) sein.

  Polynome mit nur einem Term heißen Monome. Ein Beispiel für ein Monom ist das Polynom $y_2=2x$.

  Daher kann das Polynom $y_1=2x^2+6x+5$ auch als Summe aus drei Monomen aufgefasst werden. Zusätzlich wird das gesamte Polynom $y_1=2x^2+6x+5$ auch Trinom genannt, da es genau drei Monome enthält.

• Ermittle die Summe der Polynome $y_1$, $y_2$ und $y_3$.

  Tipps

  Addiere zunächst $y_1$ und $y_2$ und in einem zweiten Schritt $y_3$ hinzu.

  Wenn ein Monom zu einem gewissen Grad nicht in einem Polynom enthalten ist, so ist der Koeffizient gleich $0$.

  Schreibe die Polynome in Normalform jeweils so untereinander, dass gleichartige Terme in Spalten untereinander stehen.

  Lösung

  Wir möchten die folgenden drei Polynome addieren:

  1. $y_1=3x^3+x^4+1+5x^2$
  2. $y_2=-5x^2+4x+x^3$
  3. $y_3=-3x^3+3-3x$

  Wir starten beim Monom höchsten Grades. Ein Monom vom Grad $4$ ist nur in $y_1$ enthalten. Daher geht $x^4$ vollständig in die Summe ein.
  Die Monome vom Grad $3$, nämlich $3x^3$ und $x^3$, addieren sich zu $4x^3$, während sich die beiden Monome vom Grad $2$, also $5x^2$ und $-5x^2$, gegenseitig aufheben.
  In der Summe ist der Koeffizient vor $x^2$ also $0$.
  Nur $y_2$ enthält ein Monom vom Grad $1$ und nur $y_1$ enthält ein Monom vom Grad $0$. Daher gehen $4x$ und $1$ vollständig in die Summe ein.

  Insgesamt ergibt sich daher:

  $y_1+y_2=x^4+4x^3+4x+1$

  Im zweiten Schritt möchten wir das Polynom $y_1+y_2$ mit $y_3$ addieren.
  Wir starten erneut beim Monom höchsten Grades. Da ein Monom vom Grad $4$ nur in $y_1+y_2$ vorkommt, geht $x^4$ vollständig in die Summe ein.
  Wenn wir die beiden Monome vom Grad $3$ aufsummieren, ergibt sich $4x^3-3x^3=x^3$.
  Keines der beiden Polynome hat ein Monom vom Grad $2$.
  Wenn wir die beiden Monome vom Grad $1$ aufsummieren, ergibt sich $4x-3x=x$.
  Ebenso ergibt sich für die Konstanten $3+1=4$.

  In der Summe kann das Polynom daher so geschrieben werden:

  $y_1+y_2+y_3=x^4+x^3+x+4$

  • Steht vor einer Variablen kein Koeffizient, z. B. $x^3$, so ist der Koeffizient gleich $1$, d. h. $x^3=1x^3$.
  • Ist eine bestimmte Variable nicht im Polynom enthalten, z. B. $x^2$, so ist der Koeffizient gleich $0$, d. h. $0=0x^2$.

  Damit kann $y_1+y_2+y_3$ auch wie folgt geschrieben werden:

  $y_1+y_2+y_3=1x^4+1x^3+0x^2+1x+4$