Mehrstufige Zufallsexperimente

Mehrstufige Zufallsexperimente Übung

• Beschreibe die Ergebnismenge beim mehrfachen Münzwurf.

  Tipps

  Die Ergebnismenge beim zweifachen Münzwurf beinhaltet Tupel, das sind geordnete Paare.

  $(Z, Z, Z,K)$ ist ein Element einer Ergebnismenge eines vierstufigen Zufallsexperimentes.

  Lösung

  Der Münzwurf ist ein Zufallsexperiment, für das gilt:

  • alle möglichen Ergebnisse sind bekannt
  • das Ergebnis lässt sich nicht vorhersagen
  • das Experiment ist unter den gleichen Bedingungen wiederholbar

  
  

  Die möglichen Ergebnisse beim Münzwurf sind Kopf $(K)$ und Zahl $(Z)$. Die Ergebnismenge des einfachen Münzwurfes schreiben wir dann wie folgt:
  $\Omega =\{K, Z\}$

  Wir können dieses Experiment einmal oder mehrfach durchführen. Wiederholen wir es mehrfach, so sprechen wir vom mehrstufigen Zufallsexperiment. Jede Wiederholung des Experimentes entspricht dann einer Stufe.

  Wird die Münze zweimal geworfen, so lautet die Ergebnismenge des zweistufigen Zufallsexperimentes:
  $\Omega = \{ (K, Z), (Z, Z), (K, K), (Z, K) \}$
  Die Ergebnismenge beinhaltet in diesem Fall sogenannte Tupel, die wir in Klammern setzten.

  Wird die Münze dreimal geworfen, so lautet die Ergebnismenge des dreistufigen Zufallsexperimentes:
  $\Omega = \{ (Z, Z, Z), (Z, Z, K), (Z, K, Z), (K, Z, Z), (K, K, Z), (K, Z, K), (Z, K, K), (K, K, K)\}$
  Die Ergebnismenge besteht in diesem Fall aus sogenannten Tripeln.

• Gib an, welche Aussagen zu mehrstufigen Zufallsexperimenten richtig sind.

  Tipps

  $(3,4)$ ist ein Tupel.

  Lösung

  Wir sprechen in der Mathematik von einem Zufallsexperiment, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

  • Alle möglichen Ergebnisse sind bekannt.
  • Das Ergebnis lässt sich nicht vorhersagen.
  • Das Experiment ist unter den gleichen Bedingungen wiederholbar.

  
  Die Aussage „Bei einem Zufallsexperiment sind alle möglichen Ergebnisse bekannt.“ ist also richtig.

  Der Münzwurf ist ein Beispiel eines solchen Zufallsexperiments. Alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments werden in der sogenannten Ergebnismenge $\Omega$ zusammengefasst. Die möglichen Ergebnisse beim Münzwurf sind Kopf $(K)$ und Zahl $(Z)$. Die Ergebnismenge des einfachen Münzwurfes lautet dann wie folgt:
  $\Omega =\{(K, Z)\}$

  Die Aussage „Die Ergebnismenge gibt das eingetretene Ergebnis an.“ ist falsch, denn die Ergebnismenge $\Omega$ beinhaltet alle möglichen Ergebnisse, nicht nur das eingetretene Ergebnis.

  Wiederholen wir ein Zufallsexperiment mehrfach, so sprechen wir vom mehrstufigen Zufallsexperiment. Wird die Münze beispielsweise zweimal geworfen, so enthält die Ergebnismenge geordnete Paare mit dem Ausgang des ersten und zweiten Wurfs, sogenannte Tupel.

  Die Aussage „Ein Tupel ist ein geordnetes Paar.“ ist richtig.

  Beim zweifachen Münzwurf ist ein mögliches Tupel $(K, Z)$. Es unterscheidet sich von dem Tupel $(Z, K)$.

  Die Aussage „In der Ergebnismenge eines mehrstufigen Zufallsexperimentes berücksichtigen wir nicht die Reihenfolge der Einzelergebnisse.“ ist demnach falsch. Es wird sehr wohl zwischen Tupeln mit verschiedener Reihenfolge unterschieden.

  Wird die Münze dreimal geworfen, so beinhaltet die Ergebnismenge sogenannte Tripel.

  Die Aussage „Die Ergebnismenge eines dreistufigen Zufallsexperimentes beinhaltet Tripel.“ ist also richtig.

  „Je höher die Anzahl der Stufen eines mehrstufigen Zufallsexperimentes sind, umso mehr Elemente sind in der Ergebnismenge enthalten.“ Diese Aussage ist ebenfalls richtig, da jeder Ausgang in der neuen Stufe mit allen Möglichkeiten der vorherigen Stufe kombiniert werden kann.

• Untersuche das mehrfache Ziehen aus einem Kartenspiel.

  Tipps

  Um die Anzahl der Tupel in der Ergebnismenge zu bestimmen, musst du jedes mögliche Ergebnis des ersten Zuges mit jedem möglichen Ergebnis des zweiten Zuges kombinieren.

  Ist die Reihenfolge der gezogenen Karten nicht relevant, so können Ergebnisse zusammengefasst werden. Beispielsweise sind Karo-Kreuz und Kreuz-Karo dasselbe Ergebnis, wenn die Reihenfolge nicht mehr berücksichtigt wird.

  Lösung

  Das Ziehen einer Karte aus dem Stapel ist ein Zufallsexperiment, bei dem es $4$ mögliche Ausgänge gibt, nämlich Karo, Herz, Kreuz und Pik.

  Wird das Zufallsexperiment zweimal hintereinander ausgeführt, so sind in der Ergebnismenge $16$ Tupel enthalten. Dabei müssen wir jeden der möglichen Ausgänge mit einem anderem Ausgang kombinieren. Das entspricht dann $4 \cdot 4=16$ geordneten Paaren, welche wir Tupel nennen.
  $\Omega = \lbrace~$(Karo, Karo), (Karo, Herz), (Karo, Kreuz), (Karo, Pik), (Herz, Karo), (Herz, Herz), (Herz, Kreuz), (Herz, Pik), (Kreuz, Karo), (Kreuz, Herz), (Kreuz, Kreuz), (Kreuz, Pik), (Pik, Karo), (Pik, Herz), (Pik, Kreuz), (Pik, Pik)$~\rbrace$

  Ist die Reihenfolge der gezogenen Karten nicht relevant, so können Ergebnisse zusammengefasst werden. Beispielsweise sind Karo-Kreuz und Kreuz-Karo dasselbe Ergebnis, wenn die Reihenfolge nicht mehr berücksichtigt wird. Wir fassen die $12$ Tupel aus je zwei verschiedenen Karten zu $6$ Kombinationen ohne Reihenfolge zusammen:
  Karo-Herz, Karo-Kreuz, Karo-Pik, Herz-Kreuz, Herz-Pik und Kreuz-Pik.
  Hinzu kommen die vier Kombinationen mit zwei gleichen Karten:
  Karo-Karo, Herz-Herz, Kreuz-Kreuz und Pik-Pik.
  In diesem Fall unterscheiden wir also noch $10$ mögliche Ergebnisse.

  Wird das Zufallsexperiment dreimal hintereinander wiederholt, so sind in der Ergebnismenge $4 \cdot 4 \cdot 4 =64$ Tripel enthalten.

• Bestimme die Ergebnismenge beim wiederholten Drehen des Glücksrades.

  Tipps

  In der Ergebnismenge dürfen nur die Farben auftauchen, die auch auf dem Glücksrad vorkommen.

  Lösung

  Das mehrfache Drehen eines Glücksrades ist ein Beispiel eines mehrstufigen Zufallsexperimentes. Um die Ergebnismenge eines solchen mehrstufigen Zufallsexperimentes zu ermitteln, müssen wir die möglichen Ergebnisse des einfachen Zufallsexperimentes (einmaliges Drehen des Glücksrades) miteinander kombinieren.

  Wir betrachten die beschriebenen Experimente:

  Ein Glücksrad mit den Farben rot, blau und gelb wird zweimal hintereinander gedreht.
  Wir müssen die beiden Ergebnismengen $\Omega_1 = \{r,b,g \}$ und $\Omega_2 = \{r,b,g \}$ miteinander kombinieren. Dabei müssen wir die Reihenfolge beachten, denn es ist ein Unterschied, ob zuerst rot und dann gelb: $(r,g)$ oder zuerst gelb und dann rot: $(g,r)$ getroffen wurde. Es ergibt sich die folgende Ergebnismenge:
  $\Omega = \{ (g,g), (g,r), (g,b), (r,r), (r,g), (r,b), (b,b), (b,r), (b,g) \}$

  Ein Glücksrad mit den Farben rot und blau wird zweimal hintereinander gedreht.
  Wir müssen die beiden Ergebnismengen $\Omega_1 = \{r,b \}$ und $\Omega_2 = \{r,b \}$ miteinander kombinieren. Wir beachten wieder die Reihenfolge und erhalten die folgende Ergebnismenge mit $4$ Tupeln:
  $\Omega = \{ (r,b), (b,r), (b,b), (r,r) \}$

  Ein Glücksrad mit den Farben rot und blau wird dreimal hintereinander gedreht.
  Wir müssen drei gleiche Ergebnismengen $\Omega_1 = \{r,b \}$, $\Omega_2 = \{r,b \}$ und $\Omega_3 = \{r,b \}$ miteinander kombinieren. Dabei entstehen Tripel, da es sich um ein dreistufiges Zufallsexperiment handelt:
  $\Omega = \{ (r,r,r), (r,r,b), (r,b,r), (b,r,r), (b,b,r), (b,r,b), (r,b,b), (b,b,b) \}$

  Ein Glücksrad mit den Farben rot und gelb wird dreimal hintereinander gedreht.
  Wir bilden die Ergebnismenge wie oben, nur mit der Farbe gelb anstatt blau. Das heißt, wir kombinieren wieder drei Ergebnismengen $\Omega_1 = \{r,g \}$, $\Omega_2 = \{r,g \}$ und $\Omega_3 = \{r,g \}$ miteinander:
  $\Omega = \{ (r,r,r), (r,r,g), (r,g,r), (g,r,r), (g,g,r), (g,r,g), (r,g,g), (g,g,g) \}$

• Nenne zweistufige Zufallsexperimente.

  Tipps

  Stelle dir die Zufallsexperimente in ihrer zeitlichen Abfolge vor. Du kannst die einzelnen Stufen immer nacheinander durchführen.

  Beispiel:

  Werden drei Münzen geworfen, so handelt es sich um ein dreistufiges Zufallsexperiment.

  Lösung

  Ein Zufallsexperiment können wir einmal oder mehrfach durchführen. Wiederholen wir es mehrfach, so sprechen wir vom mehrstufigen Zufallsexperiment. Jede Wiederholung des Experimentes entspricht dann einer Stufe.

  Wir betrachten damit die gegebenen Experimente:

  Ein Würfel wird zweimal hintereinander geworfen.
  Das Experiment wird zweimal durchgeführt, es ist also zweistufig.

  Ein Glücksrad, welches rote und blaue Felder hat, wird dreimal hintereinander gedreht.
  Das Experiment wird zweimal durchgeführt, es ist dreistufig und damit nicht zweistufig.

  Zwei Münzen werden geworfen.
  Wir können uns vorstellen, dass die Münzen nacheinander geworfen werden. Das Experiment wird zweimal durchgeführt, es ist also zweistufig.

  Eine Münze wird viermal hintereinander geworfen.
  Das Experiment wird viermal durchgeführt, es ist demnach vierstufig und nicht zweistufig.

• Beschreibe die Ergebnismenge eines mehrstufigen Zufallsexperiments.

  Tipps

  Um die richtigen Terme herzuleiten, kannst du dir jeweils ein Beispiel überlegen und dieses auf die allgemeinen Angaben übertragen.

  Wird eine Münze viermal hintereinander geworfen, so enthält die Ergebnismenge $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$ Ergebnisse. Bei den Ergebnissen handelt es sich um $4$-Tupel. Die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis beträgt $\dfrac{1}{16}$.

  Lösung

  Wir wollen die Ergebnismenge bei einem mehrstufigen Zufallsexperiment allgemein mit Variablen beschreiben. Um die richtigen Terme herzuleiten, betrachten wir jeweils zunächst ein Beispiel:

  Beispiel: Eine Münze wird viermal hintereinander geworfen. Das Zufallsexperiment ist also vierstufig. Die Ergebnismenge enthält dann $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^4 = 16$ Ergebnisse. Bei den Ergebnissen handelt es sich um $4$-Tupel.
  Allgemein gilt also: Wird ein Zufallsexperiment mit $a$ möglichen Ausgängen $b$ mal durchgeführt, so enthält die Ergebnismenge $a^b$ Elemente. Dies liegt daran, dass jedes Element einer Ergebnismenge mit $a$ Elementen $b$-mal mit jedem Element der gleichen Ergebnismenge kombiniert werden kann. Bei den Ergebnissen handelt es sich um $b$-Tupel, die für jede der $b$ Durchführungen einen Eintrag enthalten.

  Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis beim vierfachen Münzwurf beträgt $\dfrac{1}{16}$.
  Allgemein gilt also: Die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis beim $b$-stufigen Zufallsexperiment, bei dem alle Ausgänge gleich wahrscheinlich sind, kann als $P= \dfrac{1}{a^b}$ berechnet werden.

  Beispiel: Wird das Münzexperiment ein weiteres Mal durchgeführt (also insgesamt fünf mal), so vergrößert sich die Anzahl der Elemente in der Ergebnismenge um den Faktor $2$ auf insgesamt $2^5=32$ Elemente.
  Allgemein gilt also: Wird das Experiment ein weiteres Mal durchgeführt, so vergrößert sich die Anzahl der Elemente in der Ergebnismenge um den Faktor $a$, da jedes Ergebnis der vorherigen Stufe erneut mit allen Ausgängen einer einfachen Durchführung kombiniert wird.