Schar von Winkelfunktionen – Kurvendiskussion

Schar von Winkelfunktionen – Kurvendiskussion Übung

• Berechne die Nullstellen der Funktion.

  Tipps

  Beachte, dass der Taschenrechner auf „R“ oder „RAD“ für Bogenmaß eingestellt sein muss.

  Der Taschenrechner gibt durch Umkehrung der Sinus-Funktion einen Wert aus. Es existieren weitere Lösungen der entsprechenden Gleichung auf Grund der Periodizität der Sinus-Funktion.

  Lösung

  Es muss die Gleichung $f_a(x)=0$ gelöst werden.

  $\begin{aligned} &&2 \cdot \sin(ax)+1&=0&~|~&-1\\ &\Leftrightarrow&2 \cdot \sin(ax)&=-1&~|~&:2\\ &\Leftrightarrow&\sin(ax)&=-\frac12. \end{aligned}$

  Die Umkehrung der Sinusfunktion mit dem Taschenrechner führt zu dem Ergebnis:

  $ax=-\frac{\pi}6$.

  Dabei ist zu beachten, dass der Taschenrechner auf „R“ oder „RAD“ für Bogenmaß eingestellt sein muss.

  Auf Grund der Periodizität liegen auf dem oben angegebenen Intervall $[-\pi;\pi]$ zwei Nullstellen für $a=1$:

  $x_1=-\frac{\pi}6$ und $x_2=-\frac{5\pi}6$.

  Es existieren also 2 Nullstellen $N_1\left(-\frac{\pi}6|0\right)$ sowie $N_2\left(-\frac{5\pi}6|0\right)$.

• Gib die Extrema und Wendepunkte der Funktion an.

  Tipps

  Es existieren

  • ein Tiefpunkt,
  • ein Hochpunkt und
  • drei Wendepunkte.

  Für Extrema, Tiefpunkte oder Hochpunkte, muss die Gleichung $\large{f_a'(x)=0}$ gelöst werden.

  Für Wendepunkte muss die Gleichung $\large{f_a''(x)=0}$ gelöst werden.

  Die Ableitung von $\large{\sin(ax)}$ ist mit der Kettenregel

  $\large{(\sin(ax))'=a\cos(ax)}$.

  Lösung

  Hier ist der Graph der Funktion für $a=1$ zu sehen.

  Zunächst werden die ersten drei Ableitungen der Funktion benötigt:

  $\begin{aligned} f(x)&=2\sin(ax)+1\\ f'(x)&=2a\cos(ax)\\ f''(x)&=-2a^2\sin(ax)\\ f'''(x)&=-2a^3\cos(ax). \end{aligned}$

  Dabei wurde die Kettenregel verwendet. Der Faktor $a$ vor dem $x$ wird als innere Ableitung immer multipliziert.

  Extrema $\rightarrow$ (n) $f_a'(x_E)=0$ und (h) $f_a''(x_E)\neq0$

  $\begin{aligned} &&2a\cos(ax)&=0~|~:(2a)\\ &\Leftrightarrow&\cos(ax)&=0. \end{aligned}$

  Da die Nullstellen von $\cos(x)$ auf dem Intervall $[-\pi;\pi]$ durch $x_1=-\frac{\pi}2$ und $x_2=\frac{\pi}2$ gegeben sind, gilt

  $x_{E1}=-\frac{\pi}{2a}$ und $x_{E2}=\frac{\pi}{2a}$.

  Ob wirklich Extrema vorliegen, kann man überprüfen, indem man die jeweilige x-Koordinate in der 2. Ableitung einsetzt.

  • $f_a''\left(-\frac{\pi}{2a}\right)=-2a^2\sin\left(-a\frac{\pi}{2a}\right)=2a^2>0$. Also liegt ein Tiefpunkt vor. Die y-Koordinate ist $y=2\sin\left(-a\frac{\pi}{2a}\right)+1=-2+1=-1$. Somit ist der Tiefpunkt $TP\left(-\frac{\pi}{2a}|{-}1\right)$.
  • $f_a''\left(\frac{\pi}{2a}\right)=-2a^2\sin\left(a\frac{\pi}{2a}\right)=-2a^2<0$. Also liegt ein Hochpunkt vor. Die y-Koordinate ist $y=2\sin\left(a\frac{\pi}{2a}\right)+1=2+1=3$. Somit ist der Hochpunkt $HP\left(\frac{\pi}{2a}|3\right)$.

  Wendepunkte $\rightarrow$ (n) $f_a''(x_W)=0$ und (h) $f_a'''(x_W)\neq0$

  $\begin{aligned} &&-2a^2\sin(ax)&=0~|~:(-2a^2)\\ &\Leftrightarrow&\sin(ax)&=0. \end{aligned}$

  Die Nullstellen von $\sin(x)$ sind die ganzzahligen Vielfachen von $\pi$, also gibt es auf dem Intervall $[-\pi;\pi]$ die Nullstellen der 2. Ableitung $x_{W_1}=-\frac{\pi}a$, $x_{W_2}=0$ und $x_{W_3}=\frac{\pi}a$.

  Ob es sich tatsächlich um Wendepunkte handelt, kann man überprüfen, indem man jeweils die x-Koordinate in der 3. Ableitung einsetzt.

  • $f_a'''\left(-\frac{\pi}a\right)=-2a^3\cos\left(-a\cdot\frac{\pi}a\right)=-2a^3\cos\left(-\pi\right)=2a^3\neq0$, also liegt ein Wendepunkt vor. Die y-Koordinate ist $y=2\sin\left(-a\frac{\pi}a\right)+1=0+1=1$, also $WP_1\left(-\frac{\pi}a|1\right)$.
  • $f_a'''\left(0\right)=-2a^3\cos\left(0\right)=-2a^3\neq0$, also liegt ein Wendepunkt vor. Die y-Koordinate ist $y=2\sin(0)+1=0+1=1$, also $WP_2\left(0|1\right)$.
  • $f_a'''\left(\frac{\pi}a\right)=-2a^3\cos\left(a\cdot\frac{\pi}a\right)=-2a^3\cos\left(\pi\right)=2a^3\neq0$, also liegt ein Wendepunkt vor. Die y-Koordinate ist $y=2\sin\left(a\frac{\pi}a\right)+1=0+1=1$, also $WP_3\left(\frac{\pi}a|1\right)$.

• Bestimme die Ableitungen der Funktion $g_a(x)=\frac12\cos(x+a)+2; ~x\in\left[-\pi;\pi\right]$.

  Tipps

  Die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen sind

  • $\large{(\sin(x))'=\cos(x)}$ und
  • $\large{(\cos(x))'=-\sin(x)}$.

  Die Kettenregel lautet $\large{(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)}$.

  Lösung

  Im folgenden wird

  • $(\sin(x))'=\cos(x)$,
  • $(\cos(x))'=-\sin(x)$ und
  • die Kettenregel $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$

  verwendet. Die ersten drei Ableitungen sind:

  $\begin{align*} g_a(x)&=\frac12\cos(x+a)+2\\ g_a'(x)&=-\frac12\sin(x+a)\\ g_a''(x)&=-\frac12\cos(x+a)\\ g_a'''(x)&=\frac12\sin(x+a). \end{align*}$

• Untersuche die Funktion auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte und gib diese für $a=2$ an.

  Tipps

  Die ersten drei Ableitungen sind:

  $\begin{aligned} g_a'(x)&=-\frac12\sin(x+a)\\ g_a''(x)&=-\frac12\cos(x+a)\\ g_a'''(x)&=\frac12\sin(x+a). \end{aligned}$

  Für Nullstellen, Extrema und Wendepunkte müssen Gleichungen gelöst werden:

  • Nullstellen: $g_a(x)=0$,
  • Extrema: $g_a'(x)=0$ und
  • Wendepunkte: $g_a''(x)=0$.

  Sowohl bei Extrema und Wendepunkten muss ein hinreichendes Kriterium überprüft werden:

  • Extrema: $g_a''(x_E)\neq0$ und
  • Wendepunkte: $g_a'''(x_W)\neq0$.

  Ist die 2. Ableitung an der Stelle $x_E$ ungleich $0$, so ist sie

  • entweder größer als $0$, dann liegt ein Tiefpunt vor,
  • oder sie ist kleiner als $0$, dann liegt ein Hochpunkt vor.

  Lösung

  Das Bild zeigt den Graphen für $a=2$.

  Die ersten drei Ableitungen sind:

  $\begin{aligned} g_a'(x)&=-\frac12\sin(x+a)\\ g_a''(x)&=-\frac12\cos(x+a)\\ g_a'''(x)&=\frac12\sin(x+a). \end{aligned}$

  • Nullstellen $\rightarrow g_a(x)=0$

  $\begin{aligned} &&\frac12\cos(x+a)+2&=0&|&-2\\ &\Leftrightarrow&\frac12\cos(x+a)&=-2&|&\cdot2\\ &\Leftrightarrow&\cos(x+a)&=-4. \end{aligned}$

  Da der Wertebereich von $\cos(x)$ durch $[-1;1]$ gegeben ist und $-4$ nicht in diesem Wertebereich liegt, gibt es keine Nullstellen.

  Der Wertebereich der Funktionenschar $g_a(x)$ ist, unabhängig von dem Scharparameter, $\mathbb{W}_{g_a}=[1,5;2,5]$. Daran ist bereits zu erkennen, dass die Funktion keine Nullstellen haben kann.

  • Extrema $\rightarrow$ (n) $g_a'(x_E)=0$ und (h) $g_a''(x_E)\neq0$

  $\begin{aligned} &&-\frac12\sin(x+a)&=0&|&\cdot(-2)\\ &\Leftrightarrow&\sin(x+a)&=0. \end{aligned}$

  Die Nullstellen von $\sin(x)$ sind die ganzzahligen Vielfachen von $\pi$. Also gilt $x=k\cdot \pi-a,~k\in\mathbb{Z}$. Somit gibt es zwei mögliche Extremstellen auf dem Intervall $[-\pi;\pi]$ für $a=2$, diese sind $x_{E_1}=-2$ und $x_{E_2}=\pi-2\approx 1,14$.

  Ob dort tatsächlich Extrema vorliegen, kann man überprüfen, indem man die jeweilige x-Koordinate in der 2. Ableitung einsetzt.

  • $g_a''(\pi-2)=-\frac12\cos(\pi-2+2)=\frac12>0$. Es liegt also ein Tiefpunkt vor mit der y-Koordinate $y=\frac12\cos(\pi-2+2)+2=1,5$. Somit ist $TP(1,14|1,5)$ ein Tiefpunkt.
  • $g_a''(-2)=-\frac12\cos(-2+2)=-\frac12<0$. Es liegt also ein Hochpunkt vor mit der y-Koordinate $y=\frac12\cos(-2+2)+2=2,5$. Somit liegt bei $HP(-2|2,5)$ ein Hochpunkt vor.

  • Wendepunkte $\rightarrow$ (n) $g_a''(x_W)=0$ und (h) $g_a'''(x_W)\neq0$

  $\begin{aligned} &&-\frac12\cos(x+a)&=0&|&\cdot(-2)\\ &\Leftrightarrow&\cos(x+a)&=0. \end{aligned}$

  Da die Nullstellen von $\cos(x)$ durch $x=\frac{2k+1}2\cdot \pi,~k\in\mathbb{Z}$ gegeben sind, liegen für $a=2$ zwei mögliche Wendestellen auf dem Intervall $[-\pi;\pi]$. Diese sind $x_{W_1}=\frac{3\pi}2-2\approx2,71$ und $x_{W_2}=\frac{\pi}2-2\approx -0,43$.

  Ob dort tatsächlich Wendepunkte vorliegen, kann man überprüfen, indem man die jeweilige x-Koordinate in der 3. Ableitung einsetzt.

  • $g_a'''\left(\frac{3\pi}2-2\right)=\frac12\sin\left(\frac{3\pi}2-2+2\right)=\frac12\sin\left(\frac{3\pi}2\right)=-\frac12\neq0$. Also liegt ein Wendepunkt vor. Die y-Koordinate dieses Wendepunktes ist $y=\frac12\cos\left(\frac{3\pi}2-2+2\right)+2=\frac12\cos\left(\frac{3\pi}2\right)+2=2$. Damit lautet der Wendepunkt $WP_1(2,71|2)$.
  • $g_a'''\left(\frac{\pi}2-2\right)=\frac12\sin\left(\frac{\pi}2-2+2\right)=\frac12\sin\left(\frac{\pi}2\right)=\frac12\neq0$. Also liegt ein Wendepunkt vor. Die y-Koordinate dieses Wendepunktes ist $y=\frac12\cos\left(\frac{\pi}2-2+2\right)+2=\frac12\cos\left(\frac{\pi}2\right)+2=2$. Damit lautet der Wendepunkt $WP_2(-0,43|2)$.

• Beschreibe die Streckung und Verschiebung der Sinusfunktion.

  Tipps

  Wird zu dem Funktionswert eine positive Zahl addiert oder davon subtrahiert, so erfolgt eine Verschiebung entlang der $y$-Achse.

  Die Multiplikation mit dem Faktor $2$ bewirkt eine Veränderung des Wertebereiches von $\large{[-1;1]}$ für $\sin(x)$ zu $\large{[-2;2]}$ für $2\sin(x)$.

  Lösung

  Zunächst wird die Auswirkung des Faktors $2$ auf die Sinusfunktion betrachtet. Dies ist gut an dem Wertebereich zu erkennen. Dieser ist $[-1;1]$ für $\sin(x)$. Durch die Multiplikation mit $2$ wird jeder Funktionswert mit $2$ multipliziert, also ist $[-2;2]$ der Wertebereich von $2\sin(x)$. Es handelt sich also um eine Streckung um den Faktor $2$.

  Allgemein bedeutet ein positiver Faktor größer als $1$ eine Streckung und ein Faktor kleiner als $1$ eine Stauchung. Ist der Faktor negativ, wird die Funktion an der x-Achse gespiegelt.

  Die Addition von $1$ zu dem Funktionswert führt zu einer Verschiebung um $1$ Einheit nach oben.

  Somit ist der Wertebereich der Funktion $f(x)=2\sin(x)+1$ gegeben durch $\mathbb{W}_f=[-1;3]$.

• Bestimme die Lösungen der trigonometrischen Gleichung auf dem Intervall $[-\pi;\pi]$.

  Tipps

  Es gilt

  • $\large{\cos(x)=1\Leftrightarrow x=2k\cdot\pi~;~k\in\mathbb{Z}}$ und
  • $\large{\cos(x)=-1\Leftrightarrow x=(2k+1)\cdot\pi~;~k\in\mathbb{Z}}$.

  Die Nullstellen von $\large{\cos(x)}$ sind gegeben durch $\large{x=\frac{2k+1}2\cdot \pi,~k\in\mathbb{Z}}$.

  Achte darauf, dass dein Taschenrechner auf „R“ oder „RAD“ für Bogenmaß eingestellt ist.

  Lösung

  Ein Produkt wird $0$, wenn einer der Faktoren $0$ ist. Also gilt hier

  • entweder ist $\sin(x)-1=0$, was äquivalent ist zu $\sin(x)=1$,
  • oder $\cos(x)-a=0$, dies ist äquivalent zu $\cos(x)=a$.

  Die Gleichung $\sin(x)=1$ hat auf dem Intervall $[-\pi;\pi]$ nur eine Lösung: $x_1=\frac{\pi}2$.

  Die Gleichung $\cos(x)=a$ ist nur lösbar für $a\in[-1;1]$. Hier muss eine Falluntersuchung durchgeführt werden

  • Sei $a=1$, so führt dies zu der Lösung $x_{2_1}=0$,
  • sei $a=-1$, so führt dies zu den Lösungen $x_{2_2}=-\pi$ und $x_{2_3}=\pi$ und
  • sei $a=0$, so führt dies zu der Lösung $x_{2_4}=-\frac{\pi}2$. Die andere Stelle, an welcher der Kosinus den Wert $0$ annimmt, ist $x_{2_5}=\frac{\pi}2$.
  • Für alle $a\in (0;1)$ gibt der Taschenrechner einen Wert zwischen $0$ und $\frac{\pi}2$ aus. Dieser sei $x_{2}$. Dann existiert eine weitere Stelle, und zwar $x_3=\pi-x_2$.
  • Für alle $a\in (-1;0)$ gibt der Taschenrechner einen Wert zwischen $-\frac{\pi}2$ und $0$ aus. Dieser sei $x_2$. Dann existiert eine weitere Stelle, und zwar $x_3=x_2-\pi$.