Varianz und Standardabweichung

Varianz und Standardabweichung Übung

• Beschreibe die Kenngrößen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.

  Tipps

  Der Erwartungswert gibt nicht an, wie sich die Werte um den Mittelwert herum verteilen.

  Die Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz.

  Lösung

  Wir kennen bereits den Erwartungswert $E(X)$ für eine Zufallsgröße $X$. Um ihn zu berechnen, müssen wir nur jeden möglichen Wert mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit multiplizieren und die Produkte aufsummieren:

  $\mu = E(X) = x_{1} \cdot P (X = x_{1}) +~ \ldots~+ x_{n} \cdot P (X = x_{n})$

  Der Erwartungswert gibt an, mit welchem Wert wir im Durchschnitt bei einer Zufallsgröße rechnen können. Er gibt jedoch nicht an, wie sich die Werte um den Mittelwert herum verteilen. Der Erwartungswert allein ist daher für die Beschreibung einer Verteilung nicht immer besonders aussagekräftig.

  Varianz und Standardabweichung sind Maße, die es uns ermöglichen, die Streuung bei Zufallsgrößen in Zahlen auszudrücken. Für die Berechnung der Varianz $V(X)$ quadrieren wir die Abweichungen vom Erwartungswert, multiplizieren diese mit ihren Wahrscheinlichkeiten und summieren schließlich alle diese Produkte:

  $V(X)= (x_1- \mu)^2 \cdot P(X=x_1) + (x_2- \mu)^2 \cdot P(X=x_2) +~ \ldots~+ (x_n- \mu)^2 \cdot P(X=x_n)$

  Die Standardabweichung $\sigma(X)$ ist die Wurzel aus der Varianz. Es gilt:

  $\sigma(X)= \boldsymbol {\sqrt{V(X)}}$

• Gib die Rechnungen für die Größen Varianz und Standardabweichung an.

  Tipps

  Für die Berechnung der Varianz $V(X)$ quadrieren wir die Abweichungen vom Erwartungswert, multiplizieren diese mit ihren Wahrscheinlichkeiten und summieren schließlich alle diese Produkte.

  Für beide Wahrscheinlichkeitsverteilungen beträgt der Erwartungswert $E(X) = E(Y) = 4$.

  Lösung

  Varianz und Standardabweichung sind Maße, die es uns ermöglichen, die Streuung bei Zufallsgrößen in Zahlen auszudrücken. Um sie zu bestimmen, müssen wir zunächst den Erwartungswert der jeweiligen Verteilung berechnen. Der Erwartungswert gibt an, mit welchem Wert wir im Durchschnitt bei einer Zufallsgröße rechnen können. Um ihn zu ermitteln, müssen wir nur jeden möglichen Wert mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit multiplizieren und die Produkte aufsummieren:

  $\mu = E (X) = x_{1} \cdot P (X = x_{1}) +~ \ldots~+ x_{n} \cdot P (X = x_{n})$

  
  

  Für die Berechnung der Varianz $V(X)$ quadrieren wir die Abweichungen vom Erwartungswert, multiplizieren diese mit ihren Wahrscheinlichkeiten und summieren schließlich alle diese Produkte:

  $V(X)= (x_1- \mu)^2 \cdot P(X=x_1) + (x_2- \mu)^2 \cdot P(X=x_2) +~ \ldots~+ (x_n- \mu)^2 \cdot P(X=x_n)$

  
  

  Für die Standardabweichung $\sigma(X)$ gilt:

  $\sigma(X)= \sqrt{V(X)}$

  
  

  Für die Verteilung der Zufallsvariable $X$ (graue Tabelle) ergibt sich damit:

  $\mu = E (X) =3 \cdot 0{,}25 + 4 \cdot 0{,}5 + 5 \cdot 0{,}25 = 4$

  $V(X)= (3-4)^2 \cdot 0{,}25 + (4-4)^2 \cdot 0{,}5 + (5-4)^2 \cdot 0{,}25 = 0{,}5$

  $\sigma(X)= \sqrt{0{,}5} \approx 0{,}71$

  
  

  Für die Verteilung der Zufallsvariable $Y$ (rosafarbene Tabelle) ergibt sich damit:

  $\mu = E (Y) = 1 \cdot 0{,}1 + 2 \cdot 0{,}3 + 4 \cdot 0{,}15 + 6 \cdot 0{,}45 = 4$

  $V(Y)= (1-4)^2 \cdot 0{,}1 + (2-4)^2 \cdot 0{,}3 + (4-4)^2 \cdot 0{,}15+ (6-4)^2 \cdot 0{,}45 = 3{,}9$

  $\sigma(Y)= \sqrt{3{,}9} \approx 1{,}97$

• Berechne Varianz und Standardabweichung.

  Tipps

  Berechne jeweils zuerst den Erwartungswert $E(X)$:

  $\mu = {E (X) = x_{1} \cdot P (X = x_{1}) ~+~ \ldots~+~ x_{n} \cdot P (X = x_{n})}$

  Ermittle danach die Varianz $V(X)$:

  ${V(X)= (x_1- \mu)^2 \cdot P(X=x_1) + (x_2- \mu)^2 \cdot P(X=x_2) +~ \ldots}$
  ${+~(x_n- \mu)^2 \cdot P(X=x_n)}$

  Berechne zuletzt die Standardabweichung $\sigma(X)$:

  $\sigma(X)= \sqrt{V(X)}$

  Achte darauf, richtig zu runden.

  Beispiel:

  $3{,}31813... \approx 3{,}32$

  Lösung

  Wir berechnen jeweils zuerst den Erwartungswert $E(X)$:

  $\mu = E (X) = x_{1} \cdot P (X = x_{1}) + ~ \ldots~ + x_{n} \cdot P (X = x_{n})$

  Danach ermitteln wir die Varianz $V(X)$:

  $V(X)= (x_1- \mu)^2 \cdot P(X=x_1) + (x_2- \mu)^2 \cdot P(X=x_2) +~ \ldots~ + (x_n- \mu)^2 \cdot P(X=x_n)$

  Zuletzt berechnen wir die Standardabweichung $\sigma(X)$:

  $\sigma(X)= \sqrt{V(X)}$

  
  

  Erstes Spiel:

  $\begin{array}{l|c|c|c} \text{Gewinn } x \text{ in Euro} & 1 & 5 & 10 \\ \hline P(X=x) & 0{,}3 & 0{,}5& 0{,}2 \\ \end{array}$

  Der Erwartungswert dieser Zufallsverteilung beträgt:

  $\mu = E (X) =1 \cdot 0{,}3 + 5 \cdot 0{,}5 + 10 \cdot 0{,}2 = 4{,}8$

  Für die Berechnung der Varianz $V(X)$ ergibt sich damit:

  $V(X)= (1-4{,}8)^2 \cdot 0{,}3 + (5-4{,}8)^2 \cdot 0{,}5 + (10-4{,}8)^2 \cdot 0{,}2 = 9{,}76$

  Für die Standardabweichung $\sigma(X)$ gilt:

  $\sigma(X)= \sqrt{9{,}76} \approx 3{,}12$

  
  

  Zweites Spiel:

  $\begin{array}{l|c|c|c|c} \text{Gewinn } y \text{ in Euro} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline P(Y=y) & 0{,}1 & 0{,}1& 0{,}6 & 0{,}1 & 0{,}1 \\ \end{array}$

  Der Erwartungswert dieser Zufallsverteilung beträgt:

  $\mu = E (Y) =1 \cdot 0{,}1 + 2 \cdot 0{,}1 + 3 \cdot 0{,}6 + 4 \cdot 0{,}1 + 5 \cdot 0{,}1 = 3$

  Für die Berechnung der Varianz $V(Y)$ ergibt sich damit:

  $V(Y)= (1-3)^2 \cdot 0{,}1 + (2-3)^2 \cdot 0{,}1 + (3-3)^2 \cdot 0{,}6 + (4-3)^2 \cdot 0{,}1 + (5-3)^2 \cdot 0{,}1 = 1$

  Für die Standardabweichung $\sigma(Y)$ gilt:

  $\sigma(Y)= \sqrt{1} = 1$

  
  

  Drittes Spiel:

  $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} \text{Gewinn } z \text{ in Euro} & 10 & 15 & 16 & 22 \\ \hline P(Z=z) & 0{,}1 & 0{,}3 & 0{,}4 & 0{,}2 \\ \end{array}$

  Der Erwartungswert dieser Zufallsverteilung beträgt:

  $\mu = E (Z) =10 \cdot 0{,}1 + 15 \cdot 0{,}3 + 16 \cdot 0{,}4 + 22 \cdot 0{,}2 = 16{,}3$

  Für die Berechnung der Varianz $V(Z)$ ergibt sich damit:

  $V(Z)= (10-16{,}3)^2 \cdot 0{,}1 + (15-16{,}3)^2 \cdot 0{,}3 + (16-16{,}3)^2 \cdot 0{,}4 + (22-16{,}3)^2 \cdot 0{,}2 = 11{,}01$

  Für die Standardabweichung $\sigma(Z)$ gilt:

  $\sigma(Z)= \sqrt{11{,}01} \approx 3{,}32$

• Beurteile das Risiko der gegebenen Glücksspiele.

  Tipps

  Varianz und Standardabweichung sind Maße für die Streuung einer Zufallsvariable. Eine größere Streuung bedeutet ein größeres Risiko beim Glücksspiel.

  Es reicht, wenn du jeweils die Varianz berechnest.

  Lösung

  Varianz und Standardabweichung sind Maße für die Streuung einer Zufallsvariable. Eine größere Streuung bedeutet ein größeres Risiko beim Glücksspiel, da die Werte dann stärker vom Erwartungswert abweichen.

  Um die Aufgabe zu lösen, berechnen wir also für die gegebenen Verteilungen die Varianz und ordnen diese anschließend der Größe nach: Die Verteilung mit der kleinsten Varianz hat das geringste Risiko und die Verteilung mit der größten Varianz hat das größte Risiko.

  Hinweis: Wir können natürlich außerdem noch die Standardabweichung berechnen. Diese führt zum gleichen Ergebnis, da eine größere Varianz auch immer eine größere Standardabweichung liefert. Wir verzichten daher auf den zusätzlichen Rechenschritt.

  
  

  Spiel A:

  $\begin{array}{l|c|c|c|c} \text{Gewinn } y \text{ in Euro} & 15 & 22 & 41 & 45 \\ \hline P(Y=y) & 0{,}9& 0{,}08 & 0{,}01 &0{,}01 \\ \end{array}$

  Der Erwartungswert dieser Zufallsverteilung beträgt:

  $\mu = E (Y) =15 \cdot 0{,}9 + 22 \cdot 0{,}08 + 41 \cdot 0{,}01 + 45 \cdot 0{,}01 = 16{,}12$

  Für die Berechnung der Varianz $V(Y)$ ergibt sich damit:

  ${V(Y)= (15-16{,}12)^2 \cdot 0{,}9 + (22-16{,}12)^2 \cdot 0{,}08 + (41-16{,}12)^2 \cdot 0{,}01} \\ {\qquad \qquad +~(45-16{,}12)^2 \cdot 0{,}01 \approx 18{,}43}$

  
  

  Spiel B:

  $\begin{array}{l|c|c|c|c} \text{Gewinn } y \text{ in Euro} & 0{,}2 & 0{,}5 & 1 & 1{,}2 \\ \hline P(Y=y) & 0{,}3 & 0{,}2& 0{,}1 & 0{,}4 \\ \end{array}$

  Der Erwartungswert dieser Zufallsverteilung beträgt:

  $\mu = E (Y) =0{,}2 \cdot 0{,}3 + 0{,}5 \cdot 0{,}2 + 1 \cdot 0{,}1 + 1{,}2 \cdot 0{,}4 = 0{,}74$

  Für die Berechnung der Varianz $V(Y)$ ergibt sich damit:

  $V(Y)= (0{,}2-0{,}74)^2 \cdot 0{,}3 + (0{,}5-0{,}74)^2 \cdot 0{,}2 + (1-0{,}74)^2 \cdot 0{,}1 + (1{,}2-0{,}74)^2 \cdot 0{,}4 \approx 0{,}19$

  
  

  Spiel C:

  $\begin{array}{l|c|c|c} \text{Gewinn } y \text{ in Euro} & 11 & 12 & 13 \\ \hline P(Y=y) & 0{,}1 & 0{,}8& 0{,}1 \\ \end{array}$

  Der Erwartungswert dieser Zufallsverteilung beträgt:

  $\mu = E (Y) =11 \cdot 0{,}1 + 12 \cdot 0{,}8 + 13 \cdot 0{,}1 = 12$

  Für die Berechnung der Varianz $V(Y)$ ergibt sich damit:

  $V(Y)= (11-12)^2 \cdot 0{,}1+ (12-12)^2 \cdot 0{,}8 + (13-12)^2 \cdot 0{,}1 = 0{,}2$

  
  

  Spiel D:

  $\begin{array}{l|c|c|c|c} \text{Gewinn } y \text{ in Euro} & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline P(Y=y) & 0{,}05 & 0{,}45& 0{,}45 & 0{,}05 \\ \end{array}$

  Der Erwartungswert dieser Zufallsverteilung beträgt:

  $\mu = E (Y) =4 \cdot 0{,}05 + 5 \cdot 0{,}45 + 6 \cdot 0{,}45 + 7 \cdot 0{,}05 = 5{,}5$

  Für die Berechnung der Varianz $V(Y)$ ergibt sich damit:

  $V(Y)= (4-5{,}5)^2 \cdot 0{,}05 + (5-5{,}5)^2 \cdot 0{,}45 + (6-5{,}5)^2 \cdot 0{,}45 + (7-5{,}5)^2 \cdot 0{,}05 = 0{,}45$

  
  

  Somit lautet die Reihenfolge für das Risiko:

  Spiel B $<$ Spiel C $<$ Spiel D $<$ Spiel A

• Gib an, welche Werte zu welchem Histogramm passen.

  Tipps

  Die Varianz und die Standardabweichung sind Größen, die die Streuung einer Zufallsgröße um den Erwartungswert angeben.

  Vergleiche die beiden Histogramme: Bei welchem liegen die Werte dicht beisammen, bei welchem weit auseinander?

  Lösung

  Da wir wissen, dass die Varianz und die Standardabweichung Größen sind, die die Streuung einer Zufallsgröße um den Erwartungswert angeben, können wir die Zuordnung direkt durch Betrachtung der Histogramme vornehmen: Das graue Histogramm streut deutlich weniger um einen Mittelwert als das rosafarbene Histogramm. Dementsprechend ordnen wir die kleineren Werte von Varianz und Standardabweichung dem grauen Histogramm und die größeren Werte dem rosafarbenen Histogramm zu.

  Wir können die Größen aber auch formal berechnen und so zuordnen. Dazu betrachten wir die beiden durch die Histogramme dargestellten Zufallsverteilungen im Detail: Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der beiden Zufallsgrößen $X$ und $Y$ beschreiben den möglichen Gewinn bei einem Glücksspiel.

  
  
  

  Graues Histogramm:

  $\begin{array}{l|c|c|c} \text{Gewinn } x \text{ in Euro} & 3 & 4 & 5 \\ \hline P(X=x) & 0{,}25 & 0{,}5& 0{,}25 \\ \end{array}$

  
  

  Der Erwartungswert dieser Zufallsverteilung beträgt:

  $\mu = E (X) =4$

  Denn für den Erwartungswert gilt:

  $\mu = E (X) = x_{1} \cdot P (X = x_{1}) + ~\dots~ + x_{n} \cdot P (X = x_{n})$

  In unserem Beispiel also:

  $\mu = E (X) =3 \cdot 0{,}25 + 4 \cdot 0{,}5 + 5 \cdot 0{,}25 = 4$

  Für die Berechnung der Varianz $V(X)$ quadrieren wir die Abweichungen vom Erwartungswert, multiplizieren diese mit ihren Wahrscheinlichkeiten und summieren schließlich alle diese Produkte:

  $V(X)= (x_1- \mu)^2 \cdot P(X=x_1) + (x_2- \mu)^2 \cdot P(X=x_2) + ~\dots~ + (x_n- \mu)^2 \cdot P(X=x_n)$

  In unserem Beispiel also:

  $V(X)= (3-4)^2 \cdot 0{,}25 + (4-4)^2 \cdot 0{,}5 + (5-4)^2 \cdot 0{,}25 = 0{,}5$

  Für die Standardabweichung $\sigma(X)$ gilt:

  $\sigma(X)= \sqrt{V(X)}$

  In unserem Beispiel also:

  $\sigma(X)= \sqrt{0{,}5} \approx 0{,}71$

  
  
  

  Rosafarbenes Histogramm:

  $\begin{array}{l|c|c|c|c} \text{Gewinn } y \text{ in Euro} & 1 & 2 & 4 & 6 \\ \hline P(Y=y) & 0{,}1 & 0{,}3& 0{,}15 & 0{,}45 \\ \end{array}$

  
  

  Der Erwartungswert dieser Zufallsverteilung beträgt auch:

  $\mu = E (Y) =4$

  Denn:

  $\mu = E (Y) =1 \cdot 0{,}1 + 2 \cdot 0{,}3 + 4 \cdot 0{,}15+ 6 \cdot 0{,}45 = 4$

  Für die Varianz $V(Y)$ gilt:

  $V(X)= (1-4)^2 \cdot 0{,}1 + (2-4)^2 \cdot 0{,}3 + (4-4)^2 \cdot 0{,}15+ (6-4)^2 \cdot 0{,}45 = 3{,}9$

  Und für die Standardabweichung $\sigma(X)$ gilt:

  $\sigma(X)= \sqrt{3{,}9} \approx 1{,}97$

• Überprüfe die Aussagen zu Varianz und Standardabweichung.

  Tipps

  Es sind zwei Aussagen richtig.

  Die Zufallsvariable kann auch nur einen Wert annehmen. Wir sprechen dann von einem sicheren Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit $1$. Die Abweichung vom Erwartungswert ist in diesem Fall $0$.

  Die Varianz kann auch den Wert $1$ annehmen.

  Beispiel:

  $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} \text{Gewinn } y \text{ in Euro} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline P(Y=y) & 0{,}1 & 0{,}1& 0{,}6 & 0{,}1 & 0{,}1 \\ \end{array}$

  Der Erwartungswert dieser Zufallsverteilung beträgt:

  $\mu = E (Y) =1 \cdot 0{,}1 + 2 \cdot 0{,}1 + 3 \cdot 0{,}6 + 4 \cdot 0{,}1 + 5 \cdot 0{,}1 = 3$

  Für die Berechnung der Varianz $V(Y)$ ergibt sich damit:

  ${V(Y)= (1-3)^2 \cdot 0{,}1 + (2-3)^2 \cdot 0{,}1 + (3-3)^2 \cdot 0{,}6} \\ { \qquad \qquad +~(4-3)^2 \cdot 0{,}1 + (5-3)^2 \cdot 0{,}1 = 1}$

  Lösung

  Um die Aussagen zu überprüfen, betrachten wir zunächst noch einmal die Definition der Größen Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung:

  Der Erwartungswert gibt an, mit welchem Wert wir im Durchschnitt bei einer Zufallsgröße rechnen können. Um ihn zu ermitteln, müssen wir nur jeden möglichen Wert mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit multiplizieren und die Produkte aufsummieren:

  $\mu = E (X) = x_{1} \cdot P (X = x_{1}) + ~ \dots~ + x_{n} \cdot P (X = x_{n})$

  Varianz und Standardabweichung sind Maße, die es uns ermöglichen, die Streuung bei Zufallsgrößen in Zahlen auszudrücken.

  Für die Berechnung der Varianz $V(X)$ quadrieren wir die Abweichungen vom Erwartungswert, multiplizieren diese mit ihren Wahrscheinlichkeiten und summieren schließlich alle diese Produkte:

  $V(X)= (x_1- \mu)^2 \cdot P(X=x_1) + (x_2- \mu)^2 \cdot P(X=x_2) + ~ \dots~ + (x_n- \mu)^2 \cdot P(X=x_n)$

  Für die Standardabweichung $\sigma(X)$ gilt:

  $\sigma(X)= \sqrt{V(X)}$

  
  

  Wir betrachten nun die gegebenen Aussagen:

  
  

  • Die Standardabweichung ist immer kleiner als die Varianz.

  $\Rightarrow$ Diese Aussage ist falsch. Denn es gilt: Wenn die Varianz kleiner als $1$ ist, dann ist die Standardabweichung größer als die Varianz. Das liegt daran, dass man zur Berechnung der Standardabweichung die Wurzel aus der Varianz ziehen muss, und diese wird bei Werten kleiner als $1$ größer. Wenn die Varianz hingegen größer als $1$ ist, dann ist die Standardabweichung, also die Wurzel aus der Varianz, kleiner als sie selbst.

  
  

  • Die Varianz kann nicht null sein.

  $\Rightarrow$ Diese Aussage ist falsch: Für den Fall, dass die Zufallsvariable nur einen Wert annehmen kann (sicheres Ereignis), ist die Varianz $0$.

  
  

  • Die Varianz und die Standardabweichung können auch den gleichen Wert annehmen.

  $\Rightarrow$ Diese Aussage ist richtig: Für den Fall, dass die Varianz den Wert $1$ hat, ist ihr Wert gleich dem der Standardabweichung. Lediglich die Einheit ist unterschiedlich.

  
  

  • Je größer die Varianz ist, umso größer ist der Erwartungswert.

  $\Rightarrow$ Diese Aussage ist falsch: Die Varianz ist ein Maß für die Streuung einer Zufallsvariable. Bei der Berechnung der Varianz wird lediglich mit der Abweichung vom Erwartungswert gearbeitet.

  
  

  • Je größer die Varianz ist, umso größer ist die Standardabweichung.

  $\Rightarrow$ Diese Aussage ist richtig: Zur Berechnung der Standardabweichung muss man die Wurzel aus der Varianz ziehen. Es gilt:

  $a > b ~\Leftrightarrow ~ \sqrt{a} > \sqrt{b} \qquad$ (die Wurzelfunktion ist stetig steigend)