Wachstum – Begriff

Dieser Film beschäftigt sich mit dem Phänomen des Wachstums. Den Begriff “Wachstum” kennen wir aus unserer Alltagserfahrung: Kinder wachsen, der Schuldenberg des Staates wächst oder auch die Anzahl der weltweiten Computernutzer. Ganz allgemein gilt: wenn eine beliebige Größe in Abhängigkeit von der Zeit zunehmend, spricht man von Wachstum. Doch auch die gegenteilige Entwicklung gehört in diese Kategorie: wenn eine beliebige Größe, zum Beispiel das für diesen Monat noch verfügbare Taschengeld, in Abhängigkeit von der Zeit abnimmt, spricht man ebenfalls von Wachstum. Jetzt aber von negativen Wachstum. Bleiben wir aber zunächst beim positiven Wachstum. Angenommen wir stecken am Ende jeden Monats das Geld, das vom Taschengeld übrig ist, in eine Spardose. Haben wir viel Geld übrig, stecken wir viel hinein. Haben wir gerade kein Geld, stecken wir auch mal nichts hinein. Da wir den Überblick über unser Vermögen behalten wollen, führen wir Buch und zeichnen unsere Buchführung auch als Graph auf. Der Graph steigt stetig an. Also haben wir es mit positiven Wachstum zu tun. Interessanter wird es, wenn wir jeden Monat denselben Betrag sparen. Der Graph bildet nun eine ansteigende gerade Linie. Wir sprechen von “linearen Wachstum”. Auch der umgekehrte Fall ist denkbar: wenn wir von den 50 Euro, die wir Anfang des Monats zur Verfügung hatten, jeden Tag exakt zwei Euro für was weiß ich denn ausgeben, ist am 26. des Monats der Ernstfall erreicht, wie uns der entsprechende Graph zeigt. Wir sehen eine abfallende Gerade, was heißt, dass wir es mit “negativen linearen Wachstum” zu tun haben. Bleiben wir, weil es angenehmer ist, noch einmal beim positiven linearen Wachstum. Wir haben zwei Möglichkeiten die zugrundeliegende Wachstumsfunktion zu beschreiben. Wir errechnen den Bestand jedes Monats aus dem des Vormonats. Das ist einfach, denn wir wissen schließlich wie viel wir in jedem Monat sparen. Diese Funktionsdarstellung nennt man “rekursiv”. Sie hat den Vorteil, dass die Wachstumsfunktion klar erkennbar ist. Es gibt aber auch einen großen Nachteil, denn wenn wir wissen wollen, wie viel Geld wir zum Beispiel nach fünf Jahren zur Verfügung haben, müssen wir 60 Schritte ausrechnen. Da hilft uns eine andere Darstellung derselben Funktion. In unserem Beispiel erkennen wir sie sofort. Es ist eine einfache lineare Funktionsgleichung. Diese Darstellung nennt man “explizit”. Für den natürlich besonders positiven Fall, dass wir zu Beginn unserer Sparaktion schon ein Anfangsguthaben von sagen wir 25 Euro in der Spardose hatten, können wir diese explizite Funktionsgleichung sehr einfach modifizieren. Jetzt wissen wir wie viel Geld wir nach fünf Jahren zur Verfügung haben werden. Tatsächlich ist a×x+a₀ die allgemeine explizite Beschreibung einer linearen Wachstumsfunktion. a₀ steht dabei für den Anfangswert. Für positive Werte von a ist das Wachstum positiv, für negative Werte von a ist es negativ. Aber natürlich sind nicht alle Wachstumsfunktionen linear. Wir lassen einen Stein von einer Brücke herunterfallen. Und wollen nun wissen, wie viele Meter der Stein nach einer, zwei, drei und so weiter Sekunden der Stein gefallen ist. Wäre dies eine lineare Wachstumsfunktion, dann müsste die Differenz zwischen zwei Werten immer die gleiche sein. Wenn wir die Differenzwerte ausrechnen, stellen wir jedoch fest, dies ist kein lineares Wachstum. Wenn wir uns aber die zweite Differenzfolge dieser Wachstumsfunktion ansehen, also die Differenzen der Differenzen, stellen wir fest, dass diese konstant sind. Und wenn wir die gemessenen Werte durch fünf teilen, erhalten wir eine Folge von Quadratzahlen. Tatsächlich wird der freie Fall ziemlich gut durch die Funktion s = 5×t² beschrieben. s ist dabei der Weg in Metern und t die Zeit in Sekunden. Eine solche Wachstumsfunktion nennt man “quadratische Wachstum”. Sie ist eine Sonderform des “potentiellen Wachstums”. Mit demselben Versuchsaufbau finden wir auch ein Beispiel für “negatives quadratisches Wachstum”. Wieder lassen wir den Stein fallen und messen in jeder Sekunde wie hoch er noch über dem Erdboden ist. Die Ergebnisse tragen wir wieder in einer Tabelle ein und stellen fest, dass dies der Funktionsgleichung 125 – 5×t² entspricht. Also handelt es sich tatsächlich um “negatives quadratisches Wachstum”. Nehmen wir uns noch einmal unser erstes Beispiel mit der Spardose vor. Wir wollen wissen wie hoch das prozentuale Wachstum vom ersten zum zweiten Monat war. Eine einfache Prozentrechnung bringt uns das Ergebnis: der Bestand wuchs also vom ersten auf den zweiten Monat um 167%. Dies ist die Wachstumsrate p. Wir können aber auch ausrechnen, um wie viel sich der Bestand des Vormonats vervielfacht hat und kommen auf einen Faktor von 2,67. Der Spardosenbestand im zweiten Monat ist also 2,67-fache des Bestands des Vormonats. Dies ist der Wachstumsfaktor q. Wachstumsfaktor und Wachstumsrate sind dabei rechnerisch eng aneinander gekoppelt. Was kein Wunder ist, sie drücken ja auch denselben Sachverhalt aus. Ein Wachstumsfaktor q größer als 1 oder, was dasselbe ist wie eine positive Wachstumsrate in Prozent, bedeuten positives Wachstum. Ein Wachstumsfaktor q zwischen 0 und 1 oder eine negative Wachstumsrate in Prozent bedeuten negatives Wachstum.