Binomialkoeffizient

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Binomialkoeffizient

Mithilfe des Binomialkoeffizienten kannst du eine der Grundaufgaben in der Kombinatorik lösen. Er gibt nämlich die Anzahl der Möglichkeiten (Kombinationen) an, aus einer Menge von insgesamt $n$ Elementen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge genau $k$ Elemente zu ziehen.

Der Binomialkoeffizient wird geschrieben als “$n$ über $k$” und ist wie folgt definiert:

$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Als spezielle Formen sind zu beachten:

$\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1$

$\binom{n}{1} = \binom{n}{n-1} = n$

$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} = 1$

Das bekannteste Beispiel für das Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge ist Lotto ($6$~ aus ~$49$). Beim Ziehen der ersten Kugel hat man $49$ Ergebnisse, bei der zweiten Kugel $48$ Möglichkeiten usw. Da es ja nicht auf die Reihenfolge der gezogenen Kugeln ankommt, wird anschließend noch durch $6!$ (Anzahl der Permutationen) geteilt. Beim Lotto ergibt sich demnach folgende Anzahl möglicher Kombinationen:

$\frac{49\cdot 48\cdot 47\cdot 46\cdot 45\cdot 44}{6!} = 13983816$

Den Binomialkoeffizienten kannst du also wie folgt schreiben:

$\binom{n}{k} = \frac{n(n-1)(n-2) ... (n-k+1)}{k(k-1)(k-2) … 2\cdot 1} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Eine einfache Möglichkeit, Binomialkoeffizienten mit kleinen Zahlen zu berechnen, ist das Pascalsche Dreieck.