Ableitungen

Steigung und Differenzenquotient

Eine Gerade ist eindeutig durch zwei Punkte festgelegt. Mit Hilfe der sogenannten Steigungsformel kannst du die Steigung einer Geraden, die durch zwei Punkte geht, berechnen. Die Steigungsformel lautet:

$m = \dfrac{y_{2} - y_{1}} {x_{1} - x_{0}}$

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Dabei ist $m$ die Steigung der Geraden.

Betrachten wir nun zwei beliebige Punkte einer nicht-linearen Funktion. Die Koordinaten dieser Punkte sind $(x_{1} \vert f(x_{1}))$ und $(x_{2} \vert f(x_{2}))$. Wenn man die obige Formel auf diese beiden allgemeinen Punkten anwendet, ergibt sich der sogenannte Differenzenquotient. Dieser lautet:

$m = \dfrac{f(x_{2}) - f(x_{1})}{x_{2} - x_{1}}$

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Dieser Quotient liefert die Steigung der Geraden, die durch die Punkte $(x_{1} \vert f(x_{1}))$ und $(x_{2} \vert f(x_{2}))$ verläuft.

Der Differentialquotient

Wenn man allerdings an der Steigung der Tangente interessiert ist, die den Graphen einer Funktion in einem Punkt berührt, muss man den Differentialquotienten nutzen. Dieser hat große Ähnlichkeit zum Differenzenquotienten. Der Unterschied ist der, dass man zwei Punkte betrachtet die „unendlich nah“ aneinander liegen. Mathematisch wird dies mit Hilfe eines Grenzwertes $(\lim)$ ausgedrückt:

$m = \lim\limits_{x_{2}\rightarrow x_{1}} \dfrac{f(x_{2}) - f(x_{1}) } {x_{2} - x_{1}}$

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Mit Hilfe des Differentialquotienten kann man die Steigung einer beliebigen Funktion an einem beliebigen Punkt bestimmen.

Ableitungen

Die erste Ableitung $f'(x)$ einer Funktion $f(x)$ gibt die Steigung einer Funktion an der Stelle $x_{0}$ an. Die erste Ableitung einer Funktion entspricht somit der Tangentensteigung. Es kann zu jedem $x$-Wert eine Tangente an den Funktionsgraphen gelegt werden, deren Steigung identisch mit der Ableitung der Funktion an dieser Stelle ist. Mit Hilfe der ersten Ableitung lässt sich neben der Steigung auch die Monotonie einer Funktion bestimmen. Die zweite Ableitung hingegen beschreibt das Krümmungsverhalten. Im nächsten Abschnitt lernst du nun, wie du ableitest.

Hinweis: Oft werden Ableitungen in der Schule rechnerisch durchgeführt. Du kannst allerdings auch graphisch ableiten.

Ableitungsregeln

Die Ableitungsregeln sind nützliche Regeln, die dir dabei helfen, Funktionen schnell abzuleiten. Als erstes schauen wir uns die Potenz-, Faktor- und Summenregeln an.

Potenzregel

Die Potenzregel besagt, dass für eine Funktion $f(x)=x^{n}$ die Ableitung $f'(x)=n\cdot x^{n-1}$ ist. Das bedeutet, dass du bei der Ableitung einer Potenzfunktion den Exponenten als Faktor vorziehst und den Exponenten der Ableitung um 1 verringerst.

Faktorregel

Bei der Faktorregel gilt, dass eine Funktion $f(x)=c\cdot g(x)$ so abgeleitet wird, dass der Faktor $c$ erhalten bleibt. Es gilt $f'(x)=c\cdot g'(x)$.

Summenregel

Die Summenregel hilft dir, Summen oder Differenzen von zwei oder mehr Funktionen abzuleiten. Dabei gilt, dass du jeden einzelnen Term ableiten kannst und die Ableitungen anschließend addieren (subtrahieren) darfst. Eine Funktion $h(x) = f(x) ±g(x)$ wird abgeleitet durch:

$h'(x) = f'(x) ±g'(x)$.

Produktregel

Die nächste wichtige Regel ist die Produktregel. Diese wird angewendet, wenn die abzuleitende Funktion $f(x)$ ein Produkt aus zwei Funktionen ist, welche beide von $x$ abhängen. So wird die Funktion $f(x)=u(x)\cdot v(x)$ wie folgt abgeleitet:

$f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)$.

Kettenregel

Die Kettenregel kommt bei verketteten Funktionen wie $f(x)=u(v(x))$ zum Einsatz. Ihre Ableitung sieht dann so aus:

$f'(x)=u'(v(x))\cdot v'(x)$.

Quotientenregel

Abschließend siehst du hier noch die Quotientenregel. Diese setzt du ein, wenn die abzuleitende Funktion ein Bruch ist, wo sowohl Zähler als auch Nenner von $x$ abhängen. Allgemein haben diese Funktionen die Form $f(x)= \frac{u(x)}{v(x)}$. Die erste Ableitung lautet dann wie folgt:

$f'(x)= \dfrac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{(v(x))^{2}}$

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Besondere Funktionen

Nun kennst du alle wichtigen Ableitungsregeln. Allerdings gibt es besondere Funktionen bei denen diese Regeln nicht genauso anwendbar sind. Beispielsweise ist die Ableitung der Sinusfunktion die Cosinusfunktion, während die e-Funktion abgeleitet die e-Funktion ergibt.