Winkelfunktionen

Grundlagen für Winkelfunktionen

Ein rechtwinkliges Dreieck, besitzt immer einen rechten Winkel ($90^\circ$). Dem rechten Winkel gegenüber liegt die längste Seite im Dreieck, die Hypotenuse genannt wird. Die anderen beiden Seiten werden Katheten genannt. Ausgehend vom Winkel $\alpha$ in der Abbildung kann man diese beiden Katheten noch genauer benennen. Die Kathete, die gegenüber von $\alpha$ liegt, ist die Gegenkathete von $\alpha$. Die Kathete, die an $\alpha$ anliegt, ist die Ankathete von $\alpha$.

Was sind Winkelfunktionen?

Der mathematische Fachbegriff für Winkelfunktionen ist trigonometrische Funktionen. Diese Funktionen werden mit Hilfe der Seiten, die zu Beginn des Textes benannt wurden, definiert. Dabei ist jede Winkelfunktion das Verhältnis von zwei Längen. Dies schauen wir uns nun etwas genauer bei der Sinusfunktion an.

Der Sinus ist definiert als das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse. Mathematisch ausgedrückt schreiben wir:

$\sin(x) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$.

Wenn du dir ein bestimmtes Dreieck anschaust, ergibt dieses Verhältnis einen bestimmten Wert. Veränderst du den Winkel $\alpha$, verändert sich auch der Wert des Verhältnisses. Dieser Zusammenhang wird durch die Sinusfunktion dargestellt.

Weitere Winkelfunktionen, die in der Schule wichtig sind, sind die Cosinusfunktion und die Tangensfunktion.

Mithilfe der Verhältnisse verschiedener Seiten lassen sich über die Seitenlängen die Winkel eines Dreiecks berechnen. Außerdem kann man diesen Schritt rückwärts durchführen und mithilfe eines Winkels und einer Seitenlänge die anderen Seitenlängen des Dreiecks berechnen. Dabei werden Winkel, wie du es bisher kennst, im Winkelmaß angegeben (z.B. $30^\circ$, sprich $30$ Grad).

Besonderheiten von Winkelfunktionen

Auch bei trigonometrischen Funktionen kann man Funktionsgraphen zeichnen und eine Kurvendiskussion durchführen. Dabei verwendet man das Bogenmaß. Du musst daran denken den Taschenrechner von DEG (Winkelmaß) auf RAD (Bogenmaß) zu stellen. Dabei kann das Bogenmaß als Vielfaches von $\pi$ angegeben werden.

Die Umrechnung dieser beiden Maße kannst du dir mithilfe des Einheitskreises einfacher vorstellen. Merken kannst du dir, dass der Vollwinkel beim Gradmaß $360^\circ$ groß ist, welches $2\pi$ beim Bogenmaß entspricht. Wenn du beide Werte durch $4$ teilst, erkennst du den Grund dafür, dass $90^\circ$ im Gradmaß dem Wert $\frac{1}{2}\pi$ im Bogenmaß entspricht.

Eine Besonderheit trigonometrischer Funktionen ist, dass sie periodisch sind. Das bedeutet, dass sie sich in gleichen Abständen immer wieder wiederholen. Bei der normalen Sinus- und Cosinusfunktion ist die Periode $2\pi$ groß, bei der Tangensfunktion ist die Periode $\pi$. Dabei besitzen die normale Sinus- und Cosinusfunktionen einen Hoch- und einen Tiefpunkt innerhalb jeder dieser Perioden. Zusätzlich kann man diese Winkelfunktionen auch verschieben, sowie die Periode und die Amplitude beeinflussen.

Verwendung von Winkelfunktionen

Du findest Winkelfunktionen in vielen Bereichen deines Lebens. Dadurch, dass sie periodisch sind, beschreiben sie Dinge, die immer wieder in gleicher Weise passieren. Beispiele dafür finden sich in der Physik (harmonische Schwingung) oder in der Musik, da Töne auch Schwingungen und somit Winkelfunktionen sind. Die Gezeiten sind auch periodisch und lassen sich mithilfe einer Sinusfunktion modellieren. Du hattest somit schon oft Kontakt mit Winkelfunktionen, ohne es zu wissen.