Binomische Formeln

Was sind die binomischen Formeln?

Es gibt drei binomische Formeln. Diese helfen dir dabei Produkte zu berechnen, bei denen die Faktoren eine bestimmte Form haben.

Die 1. binomische Formel

Die 1. binomische Formel beschäftigt sich mit dem Quadrat der Summe $a+b$. Die Formel besagt, dass $(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ gilt. Diese allgemeine Formel kann dir helfen, wenn du konkrete Terme ausmultiplizieren willst. Schau dir das Beispiel $(3x+1)^{2}$ an.

Hier ist $a=3x$ und $b=1$. Wende nun die 1. binomische Formel an:

$\begin{array}{rclll} (3x+1)^{2}&=&(3x)^2+2\cdot (3x)\cdot 1+1^2\\ &=&9x^2+6x+1 \end{array}$

Oft ist es sinnvoll, eine binomische Formel auch andersrum anwenden zu können. Schau dir beispielsweise den Term $4x^{2}+12x+9$ an. Es gilt:

$4x^{2}+12x+9 = (2x)^{2}+2\cdot (2x)\cdot 3+3^{2}$

Erkennst du nun die 1. binomische Formel? Hier ist $a=2x$ und $b=3$.

Insgesamt gilt also $4x^{2}+12x+9=(2x+3)^{2}$.

Die 2. binomische Formel

Die 2. binomische Formel behandelt das Quadrat von Differenzen. Die Formel besagt, dass $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ gilt. Diese Gleichung erinnert stark an die 1. binomische Formel. Das Minuszeichen aus der Differenz taucht auf der rechten Seite vor dem gemischten Term $-2ab$ auf.

Schau dir beispielsweise den Term $(2-2x)^{2}$ an.

Hier ist $a=2$ und $b=2x$. Wende nun die 2. binomische Formel an:

$\begin{array}{rclll} (2-2x)^{2}&=&2^2-2\cdot 2\cdot (2x)+(2x)^2\\ &=&4-8x+4x^2 \end{array}$

Auch hier ist es in manchen Situationen notwendig, dass du die 2. binomische Formel in beide Richtungen anwenden kannst. Schau dir den Term $9x^{2}-6x+1$ an. Schreibe diesen Term um zu $(3x)^{2}-2\cdot (3x)\cdot 1+1^{2}$. Es ist also $a=3x$ und $b=1$.

Du kannst den quadratischen Term nun mit Hilfe der 2. binomischen Formel umformen. Insgesamt gilt $9x^{2}-6x+1=(3x-1)^{2}$.

Die 3. binomische Formel

Während die ersten beiden binomischen Formeln das Quadrat einer Summe bzw. einer Differenz betrachtet haben, taucht in der 3. binomische Formel sowohl eine Summe als auch eine Differenz auf. Die Formel besagt, dass die Gleichung $(a+b)\cdot (a-b)=a^{2}-b^{2}$ gilt.

An einem Beispiel kannst du dies nun üben. Betrachte den Term $(3x+2)\cdot (3x-2)$. Es ist $a=3x$ und $b=2$ und damit $(3x+2)\cdot (3x-2)=(3x)^{2}-2^{2}=9x^{2}-4$.

Wenn umgekehrt die Differenz zweier Quadrate vorliegt, kannst du die 3. binomische Formel verwenden, um diese Differenz als Produkt zu schreiben. Schau dir dazu den Term $16x^2-25$ an. Diesen kann man, um die Quadrate besser sehen zu können, auch so schreiben:

$(4x)^{2}-5^{2}$.

Dieses Mal ist $a=4x$ und $b=5$. Schließlich kannst du das Produkt aufschreiben. Es gilt $16x^2-25=(4x+5)\cdot (4x-5)$.

Eine praktische Anwendung der 3. binomischen Formel siehst du nun. Stell dir vor du willst das Produkt von $102$ und $98$ ohne Taschenrechner ausrechnen. Es gilt $102\cdot 98=(100+2)\cdot (100-2)=100^{2}-2^{2}=10000-4=9996$.