Exponential- und Logarithmusgleichungen

Was sind Exponentialgleichungen?

Exponentialgleichungen sind Gleichungen, in denen die Variable $x$ mindestens einmal im Exponenten einer Potenz vorkommt.

Die Gleichung $2^{x}=32$ ist beispielsweise eine Exponentialgleichung.

Hinweis: Unterscheide diese Gleichungsform unbedingt von Potenzgleichungen. Bei diesen steht die Variable $x$ in der Basis. Die Gleichung $x^{2}=25$ ist ein Beispiel für eine Potenzgleichung.

Hier siehst du weitere Beispiele für Exponentialgleichungen:

• $4^{2x+1}=2^{x+8}$
• $3^{2x}-2\cdot 3^{x}+1=0$

Lösen von Exponentialgleichungen

Es gibt verschiedene Vorgehensweisen zum Lösen von Exponentialgleichungen. Dies siehst du nun an jeweils einem Beispiel. Es ist dabei egal, welchen Logarithmus du wählst. Verwende die Logarithmusgesetze.

Lösen von Exponentialgleichungen: Logarithmieren

Du sollst die Gleichung $2^{x}=32$ lösen.

$\begin{array}{rclll} 2^{x}&=&32&|&\log(~~~)\\ \log\left(2^{x}\right)&=&\log(32)&|& \text{Verwende }\log\left(2^{x}\right)=\log(2)\cdot x\\ \log(2)\cdot x&=&\log(32)&|&:\log(2)\\ x&=&\frac{\log(32)}{\log(2)}\\ x&=&5 \end{array}$

Die Probe ergibt $2^{5}=32$. ✓

Lösen von Exponentialgleichungen: Vergleich der Exponenten

Wenn zwei Potenzen in ihren Basen übereinstimmen, so sind sie identisch, wenn auch die Exponenten übereinstimmen. Schau dir die Gleichung $4^{2x+1}=2^{x+8}$ an.

Die linke Seite der Gleichung lässt sich als Zweierpotenz ausdrücken. Es gilt $4^{2x+1}=\left(2^2\right)^{2x+1}=2^{2(2x+1)}=2^{4x+2}$.

Nun stimmen die Basen überein. Die neue Form der Gleichung ist $2^{4x+2}=2^{x+8}$.

Du kannst also folgern, dass die Exponenten übereinstimmen müssen. Es folgt $4x+2=x+8$. Dies ist eine lineare Gleichung mit der Lösung $x=2$.

Lösen von Exponentialgleichungen: Substitution

Der Begriff Substitution beschreibt das Ersetzen eines Terms durch einen anderen. Dieses Verfahren kann nicht nur im Zusammenhang mit Exponentialgleichungen angewendet werden. Schau dir die Gleichung $3^{2x}-2\cdot 3^{x}+1=0$ an. Mit Hilfe der Substitution $z = 3^{x}$ erhältst du diese quadratische Gleichung:

$z^{2}-2z+1=0$.

Diese lässt sich zu $(z-1)^{2}=0$ umformen. Es gilt also $z=1$. Nun resubstituierst du und erhältst $3^{x}=1$. Deshalb gilt $x=0$.

Was sind Logarithmusgleichungen?

In einer Logarithmusgleichung kommt die Variable als Argument eines Logarithmus vor. Um eine solche Gleichung zu lösen, musst du potenzieren. Die Basis der Potenz ist die Basis des Logarithmus.

Schau dir hierfür ein Beispiel mit dem dekadischen Logarithmus (Basis $10$) an. Löse die Gleichung $\log(2x)=3$:

$\begin{array}{rclll} \log(2x)&=&3&|&10^{(~~~)}\\ 2x&=&10^{3}\\ 2x&=&1000&|&:2\\ x&=&500 \end{array}$