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Lösungsmöglichkeiten quadratischer Gleichungen – Zusammenfassung

Hast du schon einmal von der p-q-Formel gehört? Diese verwendest du, um eine quadratische Gleichung zu lösen. Es gibt aber auch Beispiele von quadratischen Gleichungen, in welchen du diese Formel nicht benötigst.

Inhaltsverzeichnis zum Thema

Was ist eine quadratische Gleichung?

In einer quadratischen Gleichung ist der höchste Exponent der Variable (meist xx) eine 22 (also x2x^{2}). Man spricht dies entweder als „xx hoch 22“ oder als „xx zum Quadrat“ aus.

Verschiedene Formen quadratischer Gleichungen

Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet ax2+bx+c=0ax^{2}+bx+c=0. Dabei muss a0a\neq 0 sein.

Abhängig von den Werten der Variablen aa, bb und cc kann man nun verschiedene Formen quadratischer Gleichungen unterscheiden.

Eine quadratische Gleichung mit a=1a=1 wird Normalform genannt. Durch Umbenennung der Variablen bb und cc wird diese Form oft so angegeben:

x2+px+q=0x^{2}+px+q=0.

Hier siehst du weitere Spezialfälle:

  • Wenn b=0b=0 ist lautet die quadratische Gleichung ax2+c=0ax^{2}+c=0. Eine solche Gleichung wird reinquadratisch genannt.
  • Wenn c=0c=0 ist lautet die quadratische Gleichung ax2+bx=0ax^{2}+bx=0.

Eine weitere Möglichkeit eine quadratische Gleichung anzugeben, ist die Produktform. Bei dieser lautet die Gleichung (xd)(xe)=0(x-d)\cdot (x-e)=0.

Welche Lösungswege für quadratische Gleichungen gibt es? Je nachdem, in welcher Form eine quadratische Gleichung gegeben ist, gibt es verschiedene Lösungswege, um diese zu lösen.

Lösen von quadratischen Gleichungen

Quadratische Gleichungen in allgemeiner Form

Um eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form (ax2+bx+c=0)(ax^{2}+bx+c=0) zu lösen, verwendest du die Mitternachtsformel (auch abc-Formel genannt):

x1,2=b±b24ac2ax_{1, 2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

Du kannst nun die entsprechenden Werte für aa, bb sowie cc einsetzen.

Beispiel 1: 2x24x6=02x^{2}-4x-6=0

Hier ist a=2a=2, b=4b=-4 und c=6c=-6. Achte unbedingt auf die Vorzeichen. Du erhältst dann die folgenden Lösungen:

x1,2=(4)±(4)242(6)22=4±644x1=4+644=124=3x2=4644=44=1\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&\frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^{2}-4\cdot 2\cdot (-6)}}{2\cdot 2}\\ &=&\frac{4\pm\sqrt{64}}{4}\\ x_1&=&\frac{4+\sqrt{64}}{4}=\frac{12}4=3\\ x_2&=&\frac{4-\sqrt{64}}{4}=\frac{-4}4=-1 \end{array}

Quadratische Gleichungen in Normalform

Wenn die quadratische Gleichung in Normalform x2+px+q=0x^{2}+px+q=0 gegeben ist, kannst du die p-q-Formel anwenden:

x1,2=p2±(p2)2qx_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^{2}-q}.

Beispiel 2: x22x3=0x^{2}-2x-3=0

Diese Gleichung erhältst du, wenn du die Gleichung aus Beispiel 1 durch 22 teilst. Dann ist p=2p=-2 und q=3q=-3.

x1,2=22±(22)2(3)=1±1+3x1=1+4=1+2=3x2=14=12=1\begin{array}{rcl} x_{1,2}&=&-\frac{-2}2 \pm \sqrt{\left(\frac{-2}2\right)^2-(-3)}\\ &=&1\pm\sqrt{1+3}\\ x_1&=&1+\sqrt{4}=1+2=3\\ x_2&=&1-\sqrt{4}=1-2=-1 \end{array}

Wie du siehst, erhältst du die gleichen Lösungen wie bei der Mitternachtsformel.

Quadratische Gleichungen in reinquadratischer Form

Eine reinquadratische Gleichung hat die Form ax2+c=0ax^{2}+c=0. Wie du vorgehst, um eine solche Gleichung zu lösen, siehst du bei dem folgenden Beispiel:

Beispiel 3: 2x28=02x^{2}-8=0

  • Addiere auf beiden Seiten 88. Du erhältst 2x2=82x^{2}=8.
  • Dividiere nun durch 22. Das führt zu x2=4x^{2}=4.
  • Schließlich kannst du die Wurzel ziehen. Denke daran, dass auch das Quadrieren einer negativen Zahl zu einem positiven Ergebnis führt. Die gesuchten Lösungen sind dann x1=4=2x_{1} = -\sqrt{4}=-2 und x2=4=2x_{2}=\sqrt{4}=2.

Quadratische Gleichungen in der Produktform

Auch diese Form schauen wir uns an einem Beispiel an. Du sollst die Gleichung (x+2)(2x3)=0(x+2)\cdot (2x-3)=0 lösen. Da auf der linken Seite ein Produkt steht gilt:

Entweder ist x+2=0x+2=0 oder 2x3=02x-3=0. Die erste Gleichung führt zu x1=2x_1=-2 und die zweite zu x2=32x_2=\frac32.

Flächenberechnung mit quadratischen Gleichungen

Hier siehst du ein Quadrat mit der Seitenlänge xx und dem Flächeninhalt A=x2A=x^{2}. Außerdem siehst du ein Rechteck, bei dem die längere Seite doppelt so lang und die kürzere um 33 (Längeneinheiten) kürzer ist als die Seite des Quadrates. Wie muss xx gewählt werden, damit die beiden Flächen den gleichen Inhalt haben?

3054_Quadrat_Rechteck.jpg

Du musst die Gleichung 2x(x3)=x22x(x-3)=x^{2} lösen:

2x(x3)=x2 ausmultiplizieren2x26x=x2x2x26x=0 ausklammernx(x6)=0 Nullproduktregel\begin{array}{rcll} 2x(x-3) & = & x^{2} & \vert \text{ ausmultiplizieren} \\ 2x^{2}-6x & = & x^{2} & \vert -x^{2} \\ x^{2}-6x & = & 0 & \vert \text{ ausklammern} \\ x(x-6) & = & 0 & \vert \text{ Nullproduktregel} \end{array}

Das ergibt die Lösungen x1=0x_1=0 und x2=6x_2=6. Die erste Lösung ist im Aufgabenkontext nicht sinnvoll. Die Seite des Quadrates ist also x=6x=6.

Hier siehst du noch die Probe:

Auf der einen Seite der Gleichung steht 26(63)=123=362\cdot 6\cdot(6-3)=12\cdot 3=36 und auf der anderen 62=366^{2}=36. Du hast richtig gerechnet. Super!

Wie viele Lösungen kann eine quadratische Gleichung besitzen?

Hier siehst du einen Überblick über das Lösungsverhalten quadratischer Gleichungen. Dazu kommen wir noch einmal zu der p-q-Formel:

x1,2=p2±(p2)2qx_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^{2}-q}

Der Term unter der Wurzel D=(p2)2qD=\left(\frac p2\right)^{2}-q wird Diskriminante genannt. Es gibt drei Fälle:

  1. Wenn D>0D>0 gilt, dann gibt es zwei Lösungen.
  2. Wenn D=0D=0 gilt, dann gibt es nur eine Lösung.
  3. Wenn D<0D<0 gilt, dann gibt es keine Lösung.