Lösungsmöglichkeiten quadratischer Gleichungen – Zusammenfassung
Hast du schon einmal von der p-q-Formel gehört? Diese verwendest du, um eine quadratische Gleichung zu lösen. Es gibt aber auch Beispiele von quadratischen Gleichungen, in welchen du diese Formel nicht benötigst.
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- Was ist eine quadratische Gleichung?
- Lösen von quadratischen Gleichungen
- Quadratische Gleichungen in allgemeiner Form
- Quadratische Gleichungen in Normalform
- Quadratische Gleichungen in reinquadratischer Form
- Quadratische Gleichungen in der Produktform
- Flächenberechnung mit quadratischen Gleichungen
- Wie viele Lösungen kann eine quadratische Gleichung besitzen?
Was ist eine quadratische Gleichung?
In einer quadratischen Gleichung ist der höchste Exponent der Variable (meist ) eine (also ). Man spricht dies entweder als „ hoch “ oder als „ zum Quadrat“ aus.
Verschiedene Formen quadratischer Gleichungen
Die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung lautet . Dabei muss sein.
Abhängig von den Werten der Variablen , und kann man nun verschiedene Formen quadratischer Gleichungen unterscheiden.
Eine quadratische Gleichung mit wird Normalform genannt. Durch Umbenennung der Variablen und wird diese Form oft so angegeben:
.
Hier siehst du weitere Spezialfälle:
- Wenn ist lautet die quadratische Gleichung . Eine solche Gleichung wird reinquadratisch genannt.
- Wenn ist lautet die quadratische Gleichung .
Eine weitere Möglichkeit eine quadratische Gleichung anzugeben, ist die Produktform. Bei dieser lautet die Gleichung .
Welche Lösungswege für quadratische Gleichungen gibt es? Je nachdem, in welcher Form eine quadratische Gleichung gegeben ist, gibt es verschiedene Lösungswege, um diese zu lösen.
Lösen von quadratischen Gleichungen
Quadratische Gleichungen in allgemeiner Form
Um eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form zu lösen, verwendest du die Mitternachtsformel (auch abc-Formel genannt):
.
Du kannst nun die entsprechenden Werte für , sowie einsetzen.
Beispiel 1:
Hier ist , und . Achte unbedingt auf die Vorzeichen. Du erhältst dann die folgenden Lösungen:
Quadratische Gleichungen in Normalform
Wenn die quadratische Gleichung in Normalform gegeben ist, kannst du die p-q-Formel anwenden:
.
Beispiel 2:
Diese Gleichung erhältst du, wenn du die Gleichung aus Beispiel 1 durch teilst. Dann ist und .
Wie du siehst, erhältst du die gleichen Lösungen wie bei der Mitternachtsformel.
Quadratische Gleichungen in reinquadratischer Form
Eine reinquadratische Gleichung hat die Form . Wie du vorgehst, um eine solche Gleichung zu lösen, siehst du bei dem folgenden Beispiel:
Beispiel 3:
- Addiere auf beiden Seiten . Du erhältst .
- Dividiere nun durch . Das führt zu .
- Schließlich kannst du die Wurzel ziehen. Denke daran, dass auch das Quadrieren einer negativen Zahl zu einem positiven Ergebnis führt. Die gesuchten Lösungen sind dann und .
Quadratische Gleichungen in der Produktform
Auch diese Form schauen wir uns an einem Beispiel an. Du sollst die Gleichung lösen. Da auf der linken Seite ein Produkt steht gilt:
Entweder ist oder . Die erste Gleichung führt zu und die zweite zu .
Flächenberechnung mit quadratischen Gleichungen
Hier siehst du ein Quadrat mit der Seitenlänge und dem Flächeninhalt . Außerdem siehst du ein Rechteck, bei dem die längere Seite doppelt so lang und die kürzere um (Längeneinheiten) kürzer ist als die Seite des Quadrates. Wie muss gewählt werden, damit die beiden Flächen den gleichen Inhalt haben?
Du musst die Gleichung lösen:
Das ergibt die Lösungen und . Die erste Lösung ist im Aufgabenkontext nicht sinnvoll. Die Seite des Quadrates ist also .
Hier siehst du noch die Probe:
Auf der einen Seite der Gleichung steht und auf der anderen . Du hast richtig gerechnet. Super!
Wie viele Lösungen kann eine quadratische Gleichung besitzen?
Hier siehst du einen Überblick über das Lösungsverhalten quadratischer Gleichungen. Dazu kommen wir noch einmal zu der p-q-Formel:
Der Term unter der Wurzel wird Diskriminante genannt. Es gibt drei Fälle:
- Wenn gilt, dann gibt es zwei Lösungen.
- Wenn gilt, dann gibt es nur eine Lösung.
- Wenn gilt, dann gibt es keine Lösung.
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