Lösungsverhalten quadratischer Gleichungen – die Diskriminante

Lösungsverhalten quadratischer Gleichungen – benötigtes Vorwissen

Du kennst vermutlich schon diverse Lösungswege für quadratische Gleichungen. Doch es gibt eine Möglichkeit, die Anzahl der Lösungen schon vor dem Berechnen dieser zu bestimmen. Das geht über die Diskriminante.

Für das Verstehen dieser Thematik musst du wissen, was eine quadratische Gleichung ist. Diese werden im Folgenden in ihrer Normalform zusammen mit der $pq$-Formel betrachtet. In diesem Text werden also Beispiele der Form $0 = x^{2} + px + q$ verwendet, um die Einbindung in die $pq$-Formel zu vereinfachen.

Was ist die Diskriminante einer quadratischen Gleichung?

Schauen wir uns zunächst den allgemeinen Fall (ohne konkrete Zahlenwerte) mit der $pq$-Formel an. Wir haben die quadratische Gleichung $0 = x^{2} + px + q$. Um diese zu lösen, können wir die $pq$-Formel anwenden:

Anzahl der Lösungen über die Diskriminante bestimmen

Die Diskriminante ($\left(\frac{p}{2}\right)^{2}~–~q$) beschreibt den Term unterhalb der Wurzel in der $pq$-Formel. Weil das Wurzelziehen bestimmte mathematische Einschränkungen mit sich bringt, hat die Diskriminante einen direkten Einfluss auf die Anzahl an Lösungen für die quadratische Gleichung. Zum einen steht der Wurzelterm hinter dem $\pm$ und sorgt so dafür, dass es zwei Lösungen der Gleichung gibt, wenn der Wert der Diskriminante größer null ist. Zum anderen stellt die Wurzel aber auch die Ursache dar, wenn es für die quadratische Gleichung keine Lösung gibt. Wie das konkret aussieht, wird im Folgenden mithilfe von Beispielen gezeigt.

Zwei Lösungen – Diskriminante > 0

Wir betrachten die quadratische Gleichung $0 = x^{2} + 4x~–~5$. Damit ist $p = 4$ und $q = –5$. Die Werte werden in die $pq$-Formel eingesetzt:

$x_{1{,}2} = –\frac{4}{2} \pm \sqrt{(\frac{4}{2})^{2} + 5}$

Die Diskriminante ist damit der Term $(\frac{4}{2})^{2} + 5$. Dieser Term ist die Summe aus zwei positiven Zahlen und somit auf jeden Fall größer als $0$. Wir lösen die obige Gleichung.

$\begin{array}{rcccl} x_{1{,}2} & = & –\frac{4}{2} & \pm & \sqrt{(\frac{4}{2})^{2} + 5} \\ & = & –2 & \pm & \sqrt{2^{2} + 5} \\ & = & –2 \pm & \sqrt{9} \\ & = & –2 \pm & 3 \\ \end{array}$

$\Rightarrow x_1 = –2 + 3 = 1~\text{und}~x_2 = –2~–~3 = –5$

Diese Gleichung hat also zwei Lösungen. Woran liegt das? Wie oben beschrieben ist die Wurzel entscheidend. Da der Term unter der Wurzel positiv ist, erhalten wir bedingt durch das $\pm$ zwei unterschiedliche Lösungen. Die Wurzel wird zum $–\frac{p}{2}$ addiert und subtrahiert. Wir halten also fest:

Eine Lösung – Diskriminante = 0

Wir betrachten die quadratische Gleichung $0 = x^{2} + 2x + 1$. Damit ist $p = 2$ und $q = 1$. Die Werte werden in die $pq$-Formel eingesetzt:

$x_{1{,}2} = –\frac{2}{2} \pm \sqrt{(\frac{2}{2})^{2}~–~1}$

Für die Diskriminante gilt damit: $(\frac{2}{2})^{2}~–~1 = 1~–~1 = 0$. Wir lösen die obige Gleichung.

$\begin{array}{rcccl} x_{1{,}2} & = & –\frac{2}{2} & \pm & \sqrt{(\frac{2}{2})^{2}~–~1} \\ & = & –1 & \pm & \sqrt{0} \\ & = & –1 & \pm & 0\\ \end{array}$

$\Rightarrow x_1 = –1 + 0 = –1~\text{und}~x_2 = –1~–~0 = –1$

Diese Gleichung hat also eine Lösung. Erneut ist die Wurzel und damit die Diskriminante verantwortlich dafür. Da der Term unter der Wurzel $0$ ist, wird zum Term $–\frac{p}{2}$ weder etwas addiert noch subtrahiert. Wir halten also fest:

Keine Lösung – Diskriminante < 0

Wir betrachten die quadratische Gleichung $0 = x^{2} + 4x + 5$. Damit ist $p = 4$ und $q = 5$. Die Werte werden in die $pq$-Formel eingesetzt:

$x_{1{,}2} = –\frac{4}{2} \pm \sqrt{(\frac{4}{2})^{2}~–~5}$

Die Diskriminante ist damit der Term $(\frac{4}{2})^{2}~–~5 = 4~–~5$. Dieser Term ist auf jeden Fall kleiner als $0$. Wir lösen die obige Gleichung.

$\begin{array}{rcccl} x_{1{,}2} & = & –\frac{4}{2} & \pm & \sqrt{(\frac{4}{2})^{2}~–~5} \\ & = & –2 & \pm & \sqrt{4~–~5} \\ & = & –2 \pm & \sqrt{–1} \\ \end{array}$

Die Wurzel $\sqrt{–1}$ können wir nicht ziehen, da es innerhalb der reellen Zahlen nicht möglich ist, die Wurzel aus negativen Zahlen zu ziehen. Diese Gleichung hat also keine Lösungen. Da der Term unter der Wurzel negativ ist, lässt sich die Wurzel nicht ziehen. Wir halten also fest:

Quadratische Gleichungen mit Parametern

Im Zusammenhang mit der Anzahl der möglichen Lösungen von quadratischen Gleichungen können dir auch Aufgaben mit Parametern begegnen. Deswegen wollen wir dies im Folgenden an einem Beispiel erläutern.

Wir betrachten die quadratische Gleichung $0 = x^{2}~–~2ax + 2a + 3$. Um nun bestimmen zu können, für welche Werte des Parameters $a$ die Gleichung zwei Lösungen, eine oder keine Lösung besitzt, schauen wir uns die Diskriminante der Gleichung an. Dazu stellen wir die $pq$-Formel mit $p = –2a$ und $q = 2a + 3$ auf.

$x_{1{,}2} = –\frac{–2a}{2} \pm \sqrt{(\frac{–2a}{2})^{2}~–~(2a + 3)}$

Um herauszufinden, für welche Werte von $a$ die Gleichung zwei Lösungen, eine oder keine Lösung hat, brauchen wir uns nun nur die Diskriminante $(\frac{–2a}{2})^{2}~–~(2a + 3)$ anzuschauen. Also vereinfachen wir:

$(\frac{–2a}{2})^{2}~–~(2a + 3) = (–a)^{2}~–~2a~–~3 = a^{2}~–~2a~–~3$

Diese Diskriminante muss für zwei Lösungen $> 0$, für eine Lösung $= 0$ und für keine Lösung $< 0$ sein. Ungleichungen sind immer etwas schwierig, also schauen wir uns an, für welche Werte von $a$ die Gleichung $= 0$ wird. Wir wollen also die Gleichung $0 = a^{2}~–~2a~–~3$ lösen, was wiederum eine quadratische Gleichung ist, die wir mit der $pq$-Formel lösen können:

$\begin{array}{rcccl} a_{1{,}2} & = & –\frac{–2}{2} & \pm & \sqrt{(\frac{–2}{2})^{2} + 3} \\ & = & 1 & \pm & \sqrt{1 + 3} \\ & = & 1 \pm & \sqrt{4} \\ & = & 1 \pm & 2 \end{array}$

$\Rightarrow a_1 = 1 + 2 = 3 \text{ und } a_2 = 1~–~2 = –1$

Also wird die Diskriminante unserer quadratischen Gleichung für $a_1 = 3$ und $a_2 = –1$ zu $0$. Das bedeutet auch, dass für diese Werte die quadratische Gleichung $0 = x^{2} –2ax + 2a + 3$ nur eine Lösung hat.

Um nun noch herauszufinden, für welche Werte von $a$ die Gleichung keine oder zwei Lösungen hat, müssen wir uns die Intervalle anschauen, die sich um die Nullstellen ergeben. Diese lauten anhand der obigen Werte:

• $a < –1$
• $–1 < a < 3$
• $a > 3$

Dafür setzen wir entsprechende Werte aus diesen Intervallen für $a$ in unsere Diskriminante $a^{2}~–~2a~–~3$ ein. Innerhalb eines Intervalls ist die Diskriminante für alle Werte von $a$ positiv ($>0$) oder für alle Werte von $a$ negativ ($<0$). Daher reicht es, einen beliebigen Wert pro Intervall für $a$ einzusetzen.

• $a = –2 \Rightarrow (–2)^{2}~–~2 \cdot (–2)~–~3 = 4 + 4~–~3 = 5 > 0$

Für $a < –1$ hat die quadratische Gleichung also zwei Lösungen, da die Diskriminante in diesem Intervall positiv ist.

• $a = 0 \Rightarrow (0)^{2}~–~2 \cdot (0)~–~3 = –3 < 0$

Also hat die Gleichung für $–1 < a < 3$ keine Lösungen, da die Diskriminante in diesem Intervall negativ ist.

• $a = 4 \Rightarrow 4^{2}~–~2 \cdot 4~–~3 = 16~–~8~–~3 > 0$

Und zuletzt hat die Gleichung auch für $a > 3$ zwei Lösungen, da die Diskriminante in diesem Intervall positiv ist.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Lösungsverhalten von quadratischen Gleichungen