Heron-Verfahren

Hallo. In diesem Video stelle ich dir das Heron-Verfahren zur Wurzelberechnung vor. Zunächst gebe ich dir eine kleine Einführung über den Mathematiker und Mechaniker Heron und über seine Arbeit zur Berechnung von Wurzeln. Danach erkläre ich dir, wie das Verfahren von Heron zur Berechnung von Wurzeln funktioniert. Im Anschluss betrachten wir ein Beispiel, in dem wir die Wurzel einer Zahl mit der Vorgehensweise von Heron berechnen. Zum Schluss werden wir das Gelernte zusammenfassen. Geschichtliche Einführung. Heron von Alexandria, war ein griechischer Mathematiker und Mechaniker, der in der zweiten Hälfte des ersten Jahrhunderts n. Chr. lebte. Ihm wird ein Verfahren zur Approximation von Quadratwurzeln zugeschrieben. Dabei bedeutet das Wort "Approximation" Annäherung. Heron hat also ein Verfahren entwickelt, wie man die Quadratwurzel einer Zahl annähernd genau angeben kann. Gesucht wird das Ergebnis von Wurzel a. Das Ergebnis b nennt man Quadratwurzel. Dabei wird die Zahl unter der Wurzel, hier a, als Radikand oder Wurzelbasis bezeichnet.Vorgehensweise, Algorithmus von Heron. Kommen wir nun zum Verfahren zur Berechnung der Quadratwurzel b. Bei dem Verfahren von Heron handelt es sich um ein Iterationsverfahren. Beim Iterationsverfahren, vom Lateinischen "Iterare", wiederholen, handelt es sich um eine Methode, die sich der exakten Lösung eines Rechenproblems, hier die Berechnung der Quadratwurzel, schrittweise anzunähern. Sie besteht aus der wiederholten Anwendung desselben Rechenverfahrens. Das Heron-Verfahren hat zur Berechnung von Wurzel a die folgende Vorschrift: X₀=(a+1)/2 und X_n+1=(X_n+a/X_n)/2. Das n wird hier als Index bezeichnet und steht einfach für die Häufigkeit, wie oft man das Verfahren schon durchgeführt hat. Man muss ein wenig aufpassen, wenn man bei solchen Iterationsverfahren bei der Null anfängt zu zählen. Will man jetzt die Rechenvorschrift das erste Mal benutzen, errechnet man zunächst den Wert X₀. Da der Radikand a gegeben ist, ist es ein Leichtes, ihn mit der Formel X₀=(a+1)/2 zu berechnen. Nun will man X_n+1 berechnen. Wir machen die Rechnung zum ersten Mal. Also setzen wir für das kleine n die Null ein, da wir bei null anfangen, die Durchläufe zu zählen. Die Durchläufe werden als Iterationsschritte bezeichnet. Wir erhalten X₀₊₁=X₁=(X₀+a/X₀)/2. Da der Radikand gegeben ist und wir auch X₀ schon berechnet haben, erhalten wir auf diese Weise X₁. Wir haben das Verfahren jetzt einmal durchlaufen. Aber wir können es auch noch ein zweites Mal durchlaufen. Wir setzen in die Rechenvorschrift für das kleine n die Zahl eins ein, da wir das Verfahren zum zweiten Mal durchlaufen und wir bei der Null anfangen zu zählen. Wir erhalten X₁₊₁=X₂=(X₁+a/X₁)/2. Da der Radikand gegeben ist und wir zuvor X₁ berechnet haben, erhalten wir so X₂. Wollen wir noch einen Durchlauf des Verfahrens machen, so erhalten wir X₂₊₁=X₃=(X₂+a/X₂)/2. Dies können wir jetzt unendlich oft wiederholen. Wir benötigen dafür nur den Radikanden a und die vorangegangene Rechnung. Heron behauptete, dass wenn man dieses Verfahren unendlich oft wiederholt, sich die Werte X_n der gesuchten Quadratwurzel b annähern. Diese Wiederholungen werden als Iterationsschritte bezeichnet. Wobei in jedem Schritt dieselbe Formel nur mit anderen Zahlen verwendet wird. Beispiel.Am besten versteht man das Verfahren an einem Beispiel. Es soll die Quadratwurzel von neun nach dem Heron-Verfahren berechnet werden. Der Radikand a ist also die Zahl neun. Um die Quadratwurzel berechnen zu können, schreiben wir uns zunächst die Rechenvorschrift noch einmal auf. Sie lautet X₀=(a+1)/2 und X_n+1=(X_n+a/X_n)/2. Wir müssen jetzt zuerst unseren Startwert X₀ errechnen. Wir setzen dafür in die Formel für X₀ den Radikand neun ein und erhalten X₀=9+1/2=5. Wir wollen jetzt das erste Mal die Rechenvorschrift verwenden. Wir setzen also für n die Null ein, Iterationsschritt null. Und erhalten X₀₊₁=X₁=(X₀+a/X₀)/2=(5+9/5)/2=34/5/2=34/10 =3,4. Wiederholen wir nun diese Rechenvorschrift das zweite Mal. Wir müssen also für n die Eins einsetzen, Iterationsschritt eins. Und erhalten X₁₊₁=X₂=(X₁+a/X₁)/2. Nun setzen wir in die Formel a=9 und X₁=34/10 ein. Und erhalten (34/10+9/34/10)/2=(34/10+90/34)/2=257/85. Das ist ungefähr 3,023. Lasst uns das Verfahren noch einmal wiederholen. Wir setzen also für n die Zwei ein, Iterationsschritt zwei. Und erhalten X₂₊₁=X₃=(X₂+a/X₂)/2. Nun setzen wir in die Formel a=9 und X₂=257/85 ein. Und erhalten (257/85+765/257)/2=65537/21845, das ist ungefähr 3,00009. Diese Rechnung können wir jetzt beliebig oft wiederholen. Wir würden jetzt nacheinander X₄, X₅, X₆ und so weiter berechnen. Nach Heron kämen wir jetzt dem Wert der Quadratwurzel von neun immer näher. Uns soll es an dieser Stelle genügen. X₃ ist der letzte errechnete Wert für X_n. Und damit der Näherungswert der Quadratwurzel, Wurzel neun. Geben wir Wurzel neun in den Taschenrechner ein, so erhalten wir drei. Und es stimmt. 3,00009 ist annähernd die Zahl drei. Zusammenfassung. Fassen wir das Gelernte einmal zusammen: Das Heron-Verfahren ist ein Näherungsverfahren für die Berechnung von Quadratwurzeln. Das heißt, es wird die Lösung der Aufgabe Wurzel a gesucht. Das Heron-Verfahren ist ein Iterationsverfahren. Also ein Verfahren, welches auf der Wiederholung derselben Rechenvorschriften (Iterationsschritte) beruht. Dies geschieht so lange, bis man die gewünschte Genauigkeit erhalten hat. Dabei lautet die Rechenvorschrift des Heron-Verfahrens X₀=(a+1)/2. Die weiteren n Schritte werden so berechnet: X_n+1=(X_n+a/X_n)/2. Es muss darauf geachtet werden, dass man beim Zählen der Iterationsschritte bei der Null beginnt. Der letzte berechnete Wert für X_n ist dann der Näherungswert der gesuchten Quadratwurzel. Ich hoffe, das Video hat dir geholfen. Bis zum nächsten Mal.