Wurzeln aus rationalen Zahlen ziehen

Wurzeln aus rationalen Zahlen ziehen Übung

• Berechne die Seitenlänge eines Schokoladenstücks, indem du die Wurzel einer rationalen Zahl ziehst.

  Tipps

  Für die Wurzel von Produkten gilt:

  $\sqrt{a \cdot b}= \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

  $7^2=49$

  $11^2=121$

  Lösung

  Um die Wurzel aus $\frac{121}{49}$ zu ziehen, können wir folgende Beziehung ausnutzen:

  $\sqrt{a \cdot b}= \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

  Dazu schreiben wir den Bruch $\frac{121}{49}$ als Produkt der Form $121 \cdot \frac{1}{49}$. Damit ergibt sich für die Wurzel:

  $\sqrt{\dfrac{121}{49}}=\sqrt{121 \cdot \dfrac{1}{49}}$

  Die Wurzel aus dem Produkt können wir jetzt als Produkt zweier Wurzeln schreiben:

  $\sqrt{121 \cdot \dfrac{1}{49}}=\sqrt{121} \cdot \sqrt{\dfrac{1}{49}}$

  Die zweite Wurzel kann nun als
  $\sqrt{\dfrac{1}{49}}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{49}}=\dfrac{1}{\sqrt{49}}$
  geschrieben werden. Damit ergibt sich für die gesamte Rechung:

  $\sqrt{121} \cdot \sqrt{\dfrac{1}{49}}=\sqrt{121} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{49}}$

  Danach können wir den Faktor $\sqrt{121}$ in den Zähler des Bruchs ziehen:

  $\sqrt{121} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{49}}=\dfrac{\sqrt{121}}{\sqrt{49}} $

  Jetzt stehen unter den Wurzeln sowohl im Nenner als auch im Zähler Quadratzahlen. Daher ergibt sich als endgültiges Ergebnis:

  $\dfrac{\sqrt{121}}{\sqrt{49}}=\dfrac{11}{7}$

• Bestimme die Lösung der gegebenen Wurzeln.

  Tipps

  Um aus der Dezimalzahl $0,\!46$ einen Bruch zu machen, musst du den Quotienten $\frac{0,46}{1}$ so oft mit $10$ erweitern, bis im Zähler keine Dezimalzahl mehr steht.
  Da $0,\!46$ zwei Nachkommastellen hat, genügt dies hier zweimal. Also ergibt sich:

  $\dfrac{0,\!46}{1}=\dfrac{4,\!6}{10}=\dfrac{46}{100}$

  Es gilt:

  $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

  Eine Quadratzahl ist eine Zahl, deren Wurzel eine natürliche Zahl ist.

  Lösung

  Herr Schokowski möchte die Wurzel aus $\frac{2}{32}$ auf zwei verschiedene Arten ziehen. Einmal, indem er kürzt und Quadratzahlen übrig bleiben, und einmal, indem er auf Quadratzahlen erweitert.

  Wenn er den Bruch $\frac{2}{32}$ mit $2$ kürzt, ergibt sich:

  $\dfrac{2}{32}=\dfrac{2}{2 \cdot 16}=\dfrac{1}{16}$

  Da $16$ wegen $\sqrt{16}=4$ eine Quadratzahl ist und $1$ mit $\sqrt{1}=1$ ebenfalls, ergibt sich mithilfe der Regel
  $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:

  $\sqrt{\dfrac{2}{32}}=\sqrt{\dfrac{1}{16}}=\dfrac{1}{\sqrt{16}}=\dfrac{1}{4}$

  Wenn er den Bruch $\frac{2}{32}$ mit $2$ erweitert, folgt:

  $\dfrac{2}{32}=\dfrac{2 \cdot 2}{2 \cdot 32}=\dfrac{4}{64}$

  Nun stehen sowohl im Nenner als auch im Zähler Quadratzahlen, denn:

  $\sqrt{4}=2\quad$ und $\quad\sqrt{64}=8$

  Daher ergibt sich insgesamt nach obiger Regel:

  $\sqrt{\dfrac{2}{32}}=\sqrt{\dfrac{4}{64}}=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{64}}=\dfrac{2}{8}$

  Jetzt kann Jürgen Schokowski noch einmal mit $2$ kürzen und erhält:

  $\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$

  Durch Erweitern lässt sich auch die Wurzel aus Dezimalzahlen ziehen. Um die Wurzel aus $0,\!36$ zu ziehen, erweitert er den Bruch $\frac{0,36}{1}$ mit $100$:

  $\dfrac{0,\!36}{1}=\dfrac{100 \cdot 0,\!36}{100 \cdot 1}=\dfrac{36}{100}$

  Damit ergibt sich insgesamt für die Wurzel:

  $\sqrt{0,\!36}=\sqrt{\dfrac{36}{100}}=\dfrac{\sqrt{36}}{\sqrt{100}}=\dfrac{6}{10}$

  Der Bruch $\dfrac{6}{10}$ lässt sich wiederum als die Dezimalzahl $0,\!6$ schreiben.

• Ermittle die Lösung der gegebenen Wurzeln.

  Tipps

  Wenn im Zähler und Nenner des Bruchs Quadratzahlen stehen, kann die Wurzel aus Zähler und Nenner direkt separiert gezogen werden.

  Stehen im Zähler und Nenner keine Quadratzahlen, solltest du den Bruch so kürzen oder erweitern, dass du Quadratzahlen in Zähler und Nenner erhältst.

  Lösung

  Erste Aufgabe

  Um die Wurzel aus $\frac{8}{32}$ zu ziehen, müssen wir entweder kürzen oder erweitern, da weder $8$ noch $32$ Quadratzahlen sind.

  Wenn wir mit $2$ kürzen, ergibt sich:

  $\sqrt{\dfrac{8}{32}}=\sqrt{\dfrac{4}{16}}=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{16}}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$

  Und wenn wir mit $2$ erweitern, erhalten wir dasselbe Ergebnis (zum Glück!):

  $\sqrt{\dfrac{8}{32}}=\sqrt{\dfrac{16}{64}}=\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{64}}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$

  Zweite Aufgabe

  Um die Wurzel aus $\frac{2}{18}$ zu ziehen, müssen wir ebenfalls kürzen oder erweitern, da weder $2$ noch $18$ Quadratzahlen sind.

  Wenn wir mit $2$ kürzen, ergibt sich:

  $\sqrt{\dfrac{2}{18}}=\sqrt{\dfrac{1}{9}}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}=\dfrac{1}{3}$

  Und wenn wir mit $2$ erweitern:

  $\sqrt{\dfrac{2}{18}}=\sqrt{\dfrac{4}{36}}=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{36}}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$

  Dritte Aufgabe

  Da sowohl $1$ als auch $25$ Quadratzahlen sind, müssen wir hier weder kürzen noch erweitern, um die Wurzel zu ziehen.

  Es folgt:

  $\sqrt{\dfrac{1}{25}}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}=\dfrac{1}{5}$

  Vierte Aufgabe

  Und weil sowohl $49$ als auch $16$ Quadratzahlen sind, müssen wir hier ebenfalls nicht kürzen oder erweitern, sondern können direkt die Wurzel ziehen:

  $\sqrt{\dfrac{49}{16}}=\dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}}=\dfrac{7}{4}$

• Bestimme die Wurzel der gegebenen Terme.

  Tipps

  Um zwei Brüche zu addieren (oder zu subtrahieren), musst du sie zunächst gleichnamig machen. Das heißt, du erweiterst beide Brüche so, dass sie denselben Nenner haben.

  Werden zwei gleichnamige Brüche addiert, bleibt der Nenner gleich und die Zähler addieren sich.

  Bei der Multiplikation von Brüchen kannst du Zähler und Nenner getrennt multiplizieren:

  $\dfrac{a}{c}\cdot\dfrac{b}{d}=\dfrac{a\cdot b}{c \cdot d}$

  Lösung

  Erste Aufgabe

  Um $\sqrt{\frac{1}{32} + \frac{2}{64}}$ auszurechnen, müssen wir die beiden Brüche unter der Wurzel zunächst gleichnamig machen. Dafür erweitern wir den Bruch $\frac{1}{32}$ mit $2$. Es ergibt sich:

  $\sqrt{\dfrac{1}{32} + \dfrac{2}{64}}=\sqrt{\dfrac{2}{64} + \dfrac{2}{64}}=\sqrt{\dfrac{4}{64}}$

  Nun stehen Quadratzahlen in Zähler und Nenner. Damit folgt:

  $\sqrt{\dfrac{4}{64}}=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{64}}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$

  Alternativ können wir den Bruch $\frac{2}{64}$ auch mit $2$ kürzen. In diesem Fall ergibt sich:

  $\sqrt{\dfrac{1}{32} + \dfrac{2}{64}}=\sqrt{\dfrac{1}{32} + \dfrac{1}{32}}=\sqrt{\dfrac{2}{32}}$

  Jetzt muss der Bruch mit $2$ auf $\sqrt{\frac{4}{64}}$ erweitert werden, damit in Zähler und Nenner Quadratzahlen stehen. Der letzte Rechenschritt ist dann der gleiche wie oben.

  Zweite Aufgabe

  Um $\sqrt{\frac{1}{6} + \frac{5}{18}}$ auszurechnen, müssen wir erst einmal wieder beide Brüche gleichnamig machen. Dafür erweitern wir den Bruch $\frac{1}{6}$ mit $3$:

  $\sqrt{\dfrac{1}{6} + \dfrac{5}{18}}=\sqrt{\dfrac{3}{18} + \dfrac{5}{18}}=\sqrt{\dfrac{8}{18}}$

  Nun stehen noch keine Quadratzahlen in Zähler und Nenner. Wir erweitern den Bruch also mit $2$ und erhalten:

  $\sqrt{\dfrac{8}{18}}=\sqrt{\dfrac{16}{36}}$

  Hier sind beide Zahlen Quadratzahlen. Also folgt:

  $\sqrt{\dfrac{16}{36}}=\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{36}}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$

  Dritte Aufgabe

  Um $\sqrt{\frac{1}{5} - \frac{4}{25}}$ auszurechnen, müssen die beiden Brüche $\frac{1}{5}$ und $\frac{4}{25}$ zunächst gleichnamig gemacht werden. Dafür erweitern wir den Bruch $\frac{1}{5}$ mit $5$:

  $\sqrt{\dfrac{1}{5} - \dfrac{4}{25}}=\sqrt{\dfrac{5}{25} - \dfrac{4}{25}}=\sqrt{\dfrac{1}{25}}$

  Jetzt stehen Quadratzahlen in Zähler und Nenner. Es folgt:

  $\sqrt{\dfrac{1}{25}}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{25}}=\dfrac{1}{5}$

  Vierte Aufgabe

  Für die Multiplikation zweier Brüche müssen wir diese nicht gleichnamig machen. Daher folgt direkt:

  $\sqrt{\dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{5}{18}}=\sqrt{\dfrac{25}{36}}$

  Es stehen Quadratzahlen in Zähler und Nenner und daher gilt:

  $\sqrt{\dfrac{25}{36}}=\dfrac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}}=\dfrac{5}{6}$

• Beschreibe das Vorgehen beim Ziehen der Wurzel rationaler Zahlen.

  Tipps

  $0,\!36=\dfrac{100 \cdot 0,\!36}{100 \cdot 1}=\dfrac{36}{100}$

  Das gleichzeitige Multiplizieren von Zähler und Nenner eines Bruchs mit der gleichen Zahl nennt man Erweitern des Bruchs.

  Die Zahlen $10$, $100$ und $1\,000$ sind Beispiele für Zehnerpotenzen.

  Lösung

  Um die Wurzel aus einer Dezimalzahl zu ziehen, kannst du eine Dezimalzahl als Bruch auffassen, beispielsweise:
  $0,\!36=\dfrac{0,\!36}{1}$.

  Nun möchtest du die Kommazahl im Zähler loswerden. Dafür multiplizierst du Zähler und Nenner mit einer geeigneten Zehnerpotenz. Du erweitert in diesem Fall mit $100$, da $0,\!36$ zwei Stellen hinter dem Komma hat.

  • Daher ist Aussage A richtig: Um die Wurzel aus einer Dezimalzahl zu ziehen, muss man einen Bruch erweitern.
  • Genauso ist daher Aussage B falsch: Um die Wurzel aus einer Dezimalzahl zu ziehen, muss man einen Bruch kürzen.

  Es ergibt sich:

  $\dfrac{0,\!36}{1}=\dfrac{100 \cdot 0,\!36}{100 \cdot 1}=\dfrac{36}{100}$

  Nun erhältst du einen Bruch, bei dem die Zehnerpotenz im Nenner steht.

  • Deshalb ist Aussage E richtig: Um die Wurzel aus einer Dezimalzahl zu ziehen, wandelt man diese in einen Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner um.
  • Ebenso ist Aussage F falsch: Um die Wurzel aus einer Dezimalzahl zu ziehen, wandelt man diese in einen Bruch mit einer Zehnerpotenz im Zähler um.

  Es gilt $\sqrt{\frac{a}{b}}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{\frac{1}{b}}$, denn du kannst den Bruch $\frac{a}{b}$ als Produkt der Form $a \cdot \frac{1}{b}$ auffassen und die Regel $\sqrt{a \cdot b}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ anwenden.

  • Darum ist Aussage C falsch:

  $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\sqrt{b} \cdot \sqrt{\dfrac{1}{a}}$

  Wenn du die Regel $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ auf einen Bruch anwendet, ist es wichtig, dass du die Wurzel auf Zähler und Nenner überträgt.
  Daher gilt zum Beispiel:

  $\sqrt{\dfrac{4}{64}}=\dfrac{\sqrt{4}}{\sqrt{64}}$

  • Deswegen ist Aussage D falsch:

  $\sqrt{\dfrac{2}{32}}=\sqrt{\dfrac{4}{64}}=\dfrac{4}{\sqrt{64}}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$

  • Darum ist Aussage G richtig:

  $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

  • Daher ist Aussage H richtig:

  $\sqrt{\dfrac{2}{32}}=\sqrt{\dfrac{1}{16}}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}=\dfrac{1}{4}$

• Erschließe die Lösung der gegebenen Wurzel.

  Tipps

  Es gilt:

  $\sqrt{a \cdot b}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

  Der Bruch $\frac{\sqrt{3} ~\cdot~ 3}{\sqrt{3} ~\cdot~ 2}$ lässt sich mit $\sqrt{3}$ kürzen.

  Lösung

  Um den Term $\sqrt{\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{12}}\cdot \frac{1}{24}}$ zu vereinfachen, vereinfachen wir zunächst den ersten Bruch unter der Wurzel, der gegeben ist durch:

  $\dfrac{\sqrt{27}}{\sqrt{12}}$

  Für die Multiplikation von Wurzeln gilt:

  $\sqrt{a \cdot b}=\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

  Damit gilt für den Zähler:

  $\sqrt{27}=\sqrt{3 \cdot 9}=\sqrt{3} \cdot \sqrt{9}= \sqrt{3} \cdot 3$, da $3 \cdot 3 =9$

  Für den Nenner gilt ebenso:

  $\sqrt{12}=\sqrt{3 \cdot 4}= \sqrt{3} \cdot \sqrt{4} =\sqrt{3} \cdot 2$, da die Wurzel aus $4$ gerade $2$

  Setzen wir dies in den ursprünglichen Term ein, erhalten wir:

  $\sqrt{\dfrac{\sqrt{3} \cdot 3}{\sqrt{3} \cdot 2 }\cdot \dfrac{1}{24}}$

  Nun kann man mit $\sqrt{3}$ im ersten Bruch kürzen und erhält insgesamt:

  $\sqrt{\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{24}}$

  In einem Produkt von Brüchen kann man Zähler und Nenner verschiedener Brüche miteinander kürzen. Kürzt man in unserem Fall mit $3$, erhält man:

  $\sqrt{\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{8}}$

  Multipliziert man die beiden Brüche unter der Wurzel miteinander, ergibt sich:

  $\sqrt{\dfrac{1}{16}}$

  Sowohl Nenner als auch Zähler sind Quadratzahlen. Daher müssen wir zum Ziehen der Wurzel weder kürzen noch erweitern. Es gilt also:

  $\sqrt{\dfrac{1}{16}}=\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}=\dfrac{1}{4}$