Flächeninhalt von Dreiecken berechnen

Flächeninhalt von Dreiecken berechnen Übung

• Bestimme den Flächeninhalt der Dreiecke.

  Tipps

  Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt die Formel:

  $A = \frac{\text{Grundseite}\ \cdot\ \text{Höhe}}{2}$

  Die Grundseite ist eine Seite des Dreiecks und die Höhe steht senkrecht auf der Grundseite.

  Der Flächeninhalt dieses Dreiecks beträgt:

  $A = \frac{1}{2} \cdot 12~\text{cm} \cdot 4~\text{cm} = 24~\text{cm}^2$

  Lösung

  Zur Berechnung des Flächeninhalts von Dreiecken kannst du folgende Formel verwenden:

  $A = \frac{\text{Grundseite}\ \cdot \ \text{Höhe}}{2}$

  Meistens bezeichnet man die Grundseite mit $g$ und die Höhe mit $h$. Dann sieht die Formel so aus:

  $A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$

  Als Grundseite kannst du jede beliebige Seite des Dreiecks einsetzen. Die Höhe ist dann der senkrechte Abstand der Grundseite zum gegenüberliegenden Eckpunkt. Das heißt, die Höhe steht senkrecht auf der Grundseite und verläuft durch den gegenüberliegenden Eckpunkt.

  Für die Dreiecke im Bild findest du dann folgende Rechnungen:

  1. Dreieck

  Das Dreieck ist rechtwinklig. Die aufeinander senkrechten Seiten können wir als Grundseite und Höhe verwenden und erhalten:

  $A = \frac{1}{2} \cdot 20~\text{m} \cdot 10~\text{m} = 100~\text{m}^2$

  2. Dreieck

  Dieses Dreieck ist ebenfalls rechtwinklig. Wir erhalten daher für den Flächeninhalt:

  $A = \frac{1}{2} \cdot 4~\text{m} \cdot 10~\text{m} = 20~\text{m}^2$

  3. Dreieck

  Dieses Dreieck ist nicht rechtwinklig. Seine Grundseite ist $24~\text{m}$ lang, die zugehörige Höhe $10~\text{m}$. Der Flächeninhalt ist daher:

  $A = \frac{1}{2} \cdot 24~\text{m} \cdot 10~\text{m} = 120~\text{m}^2$

  4. Dreieck

  Das rechtwinklige Dreieck hat die Grundseite $18~\text{m}$ und die Höhe $24~\text{m}$ (oder umgekehrt). Der Flächeninhalt beträgt daher:

  $A = \frac{1}{2} \cdot 18~\text{m} \cdot 24~\text{m} = 216~\text{m}^2$

  5. Dreieck

  Dieses Dreieck ist nicht rechtwinklig. Von den bezeichneten Strecken stehen nur zwei aufeinander senkrecht. Die Grundseite beträgt $40~\text{m}$, die Höhe $24~\text{m}$. Daher ist der Flächeninhalt:

  $A = \frac{1}{2} \cdot 40~\text{m} \cdot 24~\text{m} = 480~\text{m}^2$

• Beschreibe die Bestimmung des Flächeninhalts von Dreiecken.

  Tipps

  Teilst du ein Rechteck längs einer Diagonalen, so sind die beiden Hälften deckungsleich.

  Deckungsgleiche Dreiecke haben denselben Flächeninhalt.

  Zeichnest du in einem Dreieck eine Höhe ein, heißt die Seite, auf der die Höhe senkrecht steht, Grundseite.

  Lösung

  Beate überlegt sich, wie sie den Flächeninhalt von Dreiecken bestimmen kann. Sie beginnt mit einem Dreieck, das einen rechten Winkel enthält. Solche Dreiecke heißen rechtwinklige Dreiecke. Beate überlegt sich, dass ein rechtwinkliges Dreieck genau einen rechten Winkel besitzt. Denn die Summe der Innenwinkel in einem Dreieck beträgt $180^\circ$. Da bei einem Dreieck kein Winkel $0^\circ$ oder kleiner ist, kann höchstens ein Winkel $90^\circ$ betragen, die beiden anderen Winkel müssen kleiner (also „spitz“) sein.

  Beate fällt auf, dass jedes rechtwinklige Dreieck aus einem Rechteck entsteht, indem man das Rechteck längs einer Diagonalen halbiert. Um das Rechteck zu finden, kann Beate das Dreieck verdoppeln und eine Kopie um $180^\circ$ drehen. Die beiden Dreiecke ergeben dann zusammen das Rechteck. Der Flächeninhalt des Dreiecks ist dann genau halb so groß wie der Flächeninhalt des Rechtecks.

  Beate hat eine Idee, wie sie ein beliebiges Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegen kann: Sie zeichnet dazu von einem Eckpunkt des Dreiecks aus eine Senkrechte auf die gegenüberliegende Seite. Eine solche Senkrechte heißt Höhe des Dreiecks. Ist das Dreieck nicht stumpfwinklig, so teilt jede Höhe das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Bei einem stumpfwinkligen Dreieck teilt die Höhe auf die längste Seite ebenfalls das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Die beiden anderen Höhen verlaufen außerhalb des Dreiecks.

  Da die beiden so entstandenen Teildreiecke einander nicht überlappen und zusammen das ursprüngliche Dreieck ergeben, ist dessen Flächeninhalt die Summe der Flächeninhalte der beiden rechtwinkligen Dreiecke.

  Die rechtwinkligen Dreiecke kann Beate wieder zu Rechtecken ergänzen. Diese beiden Rechtecke ergeben zusammen ein neues Rechteck – du siehst es hier im Bild. Eine Seite dieses größeren Rechtecks ist die Grundseite des Dreiecks. Die andere Seite ist parallel zu der Höhe des Dreiecks. Daher ist der Flächeninhalt des Dreiecks genau die Hälfte des Flächeninhalts des großen Rechtecks.

• Bestimme die Flächeninhalte.

  Tipps

  Zur Flächenberechnung eines Dreiecks müssen immer eine Höhe sowie die Seite, auf der die Höhe senkrecht steht, berücksichtigt werden.

  $A= \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$

  Lösung

  • $\frac{1}{2} \cdot 2,\!5~\text{cm} \cdot 14\text{ cm} = 17,\!5~\text{cm}^2 $

  Die Höhe steht hier senkrecht auf der Seite, die $14\text{ cm}$ lang ist. Daher sind nur diese beiden Größen zu beachten.

  • $\frac{1}{2} \cdot 7~\text{cm} \cdot 5,\!5\text{ cm} = 19,\!25~\text{cm}^2$
  • $\frac{1}{2} \cdot 7,\!5~\text{cm} \cdot 6\text{ cm} = 22,\!5~\text{cm}^2$
  • $\frac{1}{2} \cdot 4~\text{cm} \cdot 7,\!75\text{ cm} = 15,\!5~\text{cm}^2$

• Berechne den Flächeninhalt.

  Tipps

  Verwendest du als Grundseite des Dreiecks die Seite $b$, so lautet die Formel für den Flächeninhalt:

  $A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b$

  Bei einem rechtwinkligen Dreieck kannst du die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, als Grundseite und Höhe verwenden.

  Der von den Seiten $a$ und $b$ gebildete Winkel ist $\gamma$. Ist $\gamma = 90^\circ$ und $a= b = 3$, so ist der Flächeninhalt:

  $A = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = 4,\!5$

  Lösung

  Den Flächeninhalt eines Dreiecks kannst du mit der folgenden Formel berechnen:

  $A = \dfrac{\text{Grundseite}\ \cdot \ \text{Höhe}}{2}$

  Als Grundseite kannst du eine beliebige Seite $a$, $b$ oder $c$ des Dreiecks einsetzen. Als Höhe musst du dann die dazu passende Höhe verwenden.

  Für den Flächeninhalt erhältst du also die Formel:

  $A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$

  Ist das Dreieck rechtwinklig, kannst du die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, als Grundseite und Höhe verwenden, egal in welcher Reihenfolge.

  So erhältst du folgende Zuordnungen:

  Flächeninhalt $A = 16$:

  • $b=2;~c=16;~\alpha = 90^\circ$

  Denn $A = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 16 = 16$.

  • $a = 4;~h_a = 8$

  Denn $A = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 8 = 16$.

  • $c = 5;~h_c = 6,\!4$

  Denn $A = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6,\!4 = 16$.

  Flächeninhalt $A = 48$:

  • $a = 5\frac{1}{3};~h_a = 18$

  Denn $A = \frac{1}{2} \cdot 5\frac{1}{3} \cdot 18 = 48$.

  • $c = 3,\!2;~h_c = 30$

  Denn $A = \frac{1}{2} \cdot 3,\!2 \cdot 30 = 48$.

  • $a = 8;~b = 12;~\gamma = 90^\circ$

  Denn $A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 = 48$.

  Flächeninhalt $A = 12,\!5$:

  • $c =5;~h_c = 5$

  Denn $A = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12,\!5$.

  • $a=c=5;~\beta = 90^\circ$

  Denn $A = \frac{1}{2} a \cdot c = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = 12,\!5$.

  • $b = 10;~h_b = 2,\!5$

  Denn $A = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2,\!5 = 12,\!5$.

  Flächeninhalt $A = 27$:

  • $c = 12;~h_c = 4,\!5$

  Denn $A = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 4,\!5 = 27$.

  • $b=13,\!5;~h_b = 4$

  Denn $A = \frac{1}{2} \cdot 13,\!5 \cdot 4 = 27$.

  • $c=9;~h_c = 6$

  Denn $A = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 6 = 27$.

• Bestimme die Grundseite, die Höhe und alle rechten Winkel.

  Tipps

  Jedes Dreieck besitzt höchstens einen rechten Winkel.

  Die Grundseite ist diejenige Seite des Dreiecks, auf der die Höhe senkrecht steht.

  Spitze Winkel sind keine rechten Winkel.

  Lösung

  Zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks verwendet man eine Grundseite und die zugehörige Höhe. Der Ausdruck „Grundseite“ ist nur ein Platzhalter, in den du jede beliebige Seite des Dreiecks einsetzen kannst. Eine Höhe ist eine Strecke von einem Eckpunkt des Dreiecks senkrecht auf die gegenüberliegende Seite, welche dann als Grundseite bezeichnet wird. Jedes Dreieck hat drei Höhen.

  Mit folgender Formel kannst du den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen:

  $A = \frac{\text{Grundseite}\ \cdot \ \text{Höhe}}{2}$

  In diese Formel kannst du jede beliebige Seite und die dazugehörige Höhe einsetzen. Ist nur eine Höhe bekannt wie hier im Bild, ist die Grundseite also nicht beliebig, sondern die einzige Seite des Dreiecks, auf der die Höhe senkrecht steht.

  Rechte Winkel kennst du von Fenstern, Türen, Hauswänden, Schulheften usw. Jedes Dreieck hat höchstens einen rechten Winkel.
  Zeichnest du in ein Dreieck, das weder rechtwinklig noch stumpfwinklig ist, eine beliebige Höhe ein, so teilt sie das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Im Bild sind daher die beiden Winkel am Fußpunkt der Höhe die einzigen rechten Winkel.
  Bei rechtwinkligen Dreiecken gilt das nur, wenn du die Höhe wählst, die durch den rechten Winkel verläuft. Denn die beiden anderen Höhen sind Seiten des Dreiecks und teilen das Dreieck nicht in zwei Hälften.
  Ist das Dreieck stumpfwinklig, teilt nur die Höhe durch den stumpfen Winkel das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Die beiden anderen Höhen verlaufen außerhalb des Dreiecks.

• Leite die Formel für den Flächeninhalt her.

  Tipps

  Ein Dreieck mit den Seiten $a$, $b$ und $c$ und den zugehörigen Höhen $h_a$, $h_b$ und $h_c$ hat den Flächeninhalt:

  $A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h_b = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$

  Die Seite $c$ ist die Differenz der Seiten $e$ und $f$, also:

  $c = e-f$

  Lösung

  Beate denkt über die Berechnung des Flächeninhalts von Dreiecken nach. Sie verwendet dafür diese allgemeine Formel:

  $A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h$

  In die Formel kann sie als Grundseite $g$ eine beliebige Seite des Dreiecks einsetzen. Sie muss dann aber zu dieser Grundseite die zugehörige Höhe einsetzen. Diese Höhe ist durch die Wahl der Grundseite eindeutig festgelegt. Entscheidet sich Beate, den Flächeninhalt mit der Grundseite $g = c$ zu berechnen, so ist die zugehörige Höhe $h_c$.

  Da Beate in die Formel für den Flächeninhalt jede beliebige Seite und die dazu passende Höhe einsetzen kann, ist der Flächeninhalt unabhängig von der Wahl der Grundseite. Mit den im Bild gegebenen Seiten und Höhen ist die Berechnung des Flächeninhalts mit der Seite $a$ und der Höhe $h_a$ oder der Seite $c$ und der Höhe $h_c$ möglich. Es gilt also:

  $A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$

  Beate hat ein stumpfwinkliges Dreieck gezeichnet. Sie will sich durch ein geometrisches Argument überzeugen, dass die Formel auch in diesem Fall für jede beliebige Seite anwendbar ist. Sie wählt als Grundseite die Seite $c$. Die Höhe vom gegenüberliegenden Eckpunkt trifft nicht die Seite $c$, sondern nur ihre Verlängerung. Der Höhenfußpunkt $S$ ist der Schnittpunkt der Höhe mit der Verlängerung der Seite $c$. Mit diesem Punkt $S$ erhält Beate die beiden neuen Dreiecke $\Delta_{SAC}$ und $\Delta_{SBC}$. Beide sind rechtwinklig.
  Um in beiden Dreiecken die Strecke $\overline{SC}$ als Höhe verwenden zu können, muss Beate in $\Delta_{SBC}$ die Seite $e=\overline{SB}$ als Grundseite wählen und im Dreieck $\Delta_{SAC}$ die Seite $f=\overline{SA}$. Nun ist der Flächeninhalt des Dreiecks $\Delta_{ABC}$ die Differenz der Flächeninhalte der rechtwinkligen Dreiecke $\Delta_{SBC}$ und $\Delta_{SAC}$. Für diese Flächeninhalte verwendet Beate folgende Formeln:

  $A(\Delta_{SBC}) = \frac{1}{2} \cdot e \cdot h_c$

  $A(\Delta_{SAC}) = \frac{1}{2} \cdot f \cdot h_c$

  Der Flächeninhalt des Dreiecks $\Delta_{ABC}$ ist daher:

  $A(\Delta_{ABC}) = A(\Delta_{SBC}) - A(\Delta_{SAC}) = \frac{1}{2} \cdot e \cdot h_c - \frac{1}{2} \cdot f \cdot h_c$

  Beate kann den Faktor $\frac{1}{2}$ und die Höhe $h_c$ ausklammern und die Gleichung $c = e-f$ einsetzen und erhält:

  • $A(\Delta_{ABC}) = \frac{1}{2} \cdot (e-f) \cdot h_c = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_c$