Basiswinkelsatz – Erklärung und Umkehrung
Der Basiswinkelsatz in der Mathematik besagt, dass die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck immer gleich groß sind. Dies wird durch den Beweis mit der Mittelsenkrechten verdeutlicht. Im Video erfährst du mehr über den Basiswinkelsatz und kannst mit interaktiven Übungen üben. Interessiert? All dies und vieles mehr findest du im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Basiswinkelsatz – Erklärung und Umkehrung
Der Basiswinkelsatz in der Mathematik
Hast du schon einmal vom Basiswinkelsatz gehört? Dieser Satz hat etwas mit gleichschenkligen Dreiecken zu tun. Aber was sagt der Basiswinkelsatz aus? Das wollen wir uns im Folgenden anschauen!
Basiswinkelsatz – Erklärung
Wir wiederholen zunächst, was ein gleichschenkliges Dreieck ist.
Ein gleichschenkliges Dreieck hat zwei gleich lange Seiten. Die Winkel, die diesen beiden Seiten gegenüberliegen, nennt man Basiswinkel. Die Seite, die an beiden Basiswinkeln anliegt, heißt Basis. Die beiden anderen Seiten, also die beiden gleich langen Seiten, nennt man Schenkel.
Basiswinkelsatz – Definition
Der Basiswinkelsatz geht nun folgendermaßen:
In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel immer gleich groß!
Aber warum ist das so?
Basiswinkelsatz – Beweis
Wir zeichnen zunächst die Mittelsenkrechte auf der Seite $c$ des Dreiecks ein.
Diese Seite steht natürlich senkrecht auf $c$. Außerdem haben die Eckpunkte $A$ und $B$ den genau gleichen Abstand zum Schnittpunkt $M$ der Mittelsenkrechten mit der Seite $c$. Auch jeder andere Punkte $P$ auf der Mittelsenkrechten hat immer gleiche Abstände zu $A$ und $B$. Umgekehrt liegt jeder Punkt, dessen Abstände zu $A$ und $B$ gleich sind, auf der Mittelsenkrechten der Seite $c$. Auch der Punkt $C$ liegt auf der Mittelsenkrechten, denn die Abstände von $C$ zu $A$ und von $C$ zu $B$ sind ja gerade die Schenkel $a$ und $b$. Und diese Schenkel sind gleich lang.
Fällt dir schon etwas auf?
Die Mittelsenkrechte teilt das Dreieck $ABC$ in zwei Dreiecke, und zwar $AMC$ und $MBC$. Das Dreieck $AMC$ hat die Seiten $\overline{AM}$ und $\overline{MC}$ und dazwischen einen rechten Winkel. Und das Dreieck $MBC$ hat die Seiten $\overline{MB}$ und $\overline{MC}$ und dazwischen einen rechten Winkel. Die Seiten $\overline{AM}$ und $\overline{MB}$ sind genau gleich lang, denn $M$ ist der Mittelpunkt der Strecke $AB$. Die Dreiecke $AMC$ und $MBC$ haben zwei gleich lange Seiten und einen gleichen Winkel – sie sind also kongruent. Deswegen gilt immer $\alpha = \beta$.
Basiswinkelsatz – Umkehrung
Die Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt übrigens auch: Ein Dreieck mit zwei gleich großen Winkeln $\alpha$ und $\beta$ ist immer ein gleichschenkliges Dreieck.
Stell dir vor, du hast eine Strecke mit den Endpunkten $A$ und $B$. An beiden Eckpunkten zeichnest du eine Gerade, die jeweils denselben Winkel mit der Strecke $\overline{AB}$ einschließt. Diese Geraden schneiden sich in einem Punkt $C$, der auf der Mittelsenkrechten liegt. Dann ist die Mittelsenkrechte wieder die Symmetrieachse des Dreiecks – und das Dreieck ist damit gleichschenklig.
Basiswinkelsatz – Zusammenfassung
In diesem Video wird dir der Basiswinkelsatz einfach erklärt. Du findest neben Text und Video außerdem Übungen, mit denen du dein neues Wissen gleich testen kannst.
Transkript Basiswinkelsatz – Erklärung und Umkehrung
Hey Gang! Habt ihr schon alle eure Aerobic-Hosen an? Uh yeah! Let's Go! Übungen mit dem Gymnastikband! Ganz wichtig bei dieser Übung: spannt das Band über den Beinen so, dass es an den beiden Knöcheln den gleichen Winkel bildet. Warte mal, sind aber diese zwei Winkel nicht immer gleich groß? Sind sie – und das liegt am Basiswinkelsatz. Die Beine des Aerobic-Trainers und das Gummiband bilden ein Dreieck. Ohne Frage – seine Beine sind gleich lang. Demzufolge hat das Dreieck zwei gleich lange Seiten. Die zwei gleich langen Seiten des Dreiecks nennt man Schenkel. Das Dreieck ist also ein gleichschenkliges Dreieck. Die dritte Seite ist die Basis. Hier also das Gummiband. Die angrenzenden Winkel zur Basis werden als Basiswinkel bezeichnet. Die Spitze des Dreiecks liegt gegenüber der Basis. Der Basiswinkelsatz besagt: die Basiswinkel sind in gleichschenkligen Dreiecken immer gleich groß. Aber wieso ist das so? Stellen wir dieses gleichschenklige Dreieck doch mal auf seine Basis. Die Eckpunkte nennen wir A, B und C die Innenwinkel: Alpha, Beta und Gamma die Seiten a, b und c. Die Seiten a und b sind gleich lang – das sind die Schenkel. Wir wollen jetzt herausfinden, wieso die Basiswinkel gleich groß sind: also wieso alpha gleich beta ist. Dazu zeichnen wir hier die Mittelsenkrechte der Basis ein. Die Mittelsenkrechte, wie das Wort schon ahnen lässt, bildet einerseits einen rechten Winkel mit der Basis und andererseits halbiert sie die entsprechende Seite. Folglich liegt jeder Punkt, der den gleichen Abstand zu den Endpunkten der zugehörigen Seite hat, auf der Mittelsenkrechten. Der Eckpunkt C hat auch den gleichen Abstand zu den Punkten A und B, da unser Dreieck gleichschenklig ist. Somit liegt der Punkt C auf der Mittelsenkrechten. Fällt dir etwas auf, wenn du die Dreieckshälften rechts und links der Mittelsenkrechten vergleichst? Die Mittelsenkrechte ist gleichzeitig die Symmetrieachse des Dreiecks! Aha! Somit müssen die Basiswinkel alpha und beta gleich groß sein. Das ist genau das, was wir zeigen wollten! Wenn nun in allen gleichschenkligen Dreiecken die Basiswinkel gleich groß sind stimmt es dann auch umgekehrt, dass ein Dreieck gleichschenklig ist, wenn seine Basiswinkel gleich groß sind? Das ist die Umkehrung des Basiswinkelsatzes. Die gilt auch, und zwar deshalb: Das hier soll die Basis eines Dreiecks sein. Da die Basiswinkel gleich groß sein sollen, liegen hier gleiche Winkel an. Wenn wir jetzt unter dem gleichen Winkel Hilfsstrahlen an den Endpunkten der Basis einzeichnen dann treffen sich diese Hilfsstrahlen immer auf der Mittelsenkrechten der Basis. Und dort liegt demnach die Spitze des Dreiecks. Dann ist die Mittelsenkrechte aber wieder die Symmetrieachse dieser Figur! Wenn das Dreieck an dieser Achse symmetrisch ist dann müssen auch diese beiden Seiten gleich lang sein. Also handelt es sich um ein gleichschenkliges Dreieck. Wir wissen also, dass in jedem gleichschenkligen Dreieck die Basiswinkel gleich groß sind...und dass jedes Dreieck mit gleich großen Basiswinkeln gleichschenklig sein muss. Das bedeutet wiederum, dass wir gleichschenklige Dreiecke sehr leicht konstruieren können. Bei vorgegebener Basis gibt es dafür gibt es zwei Möglichkeiten. Wenn nicht die Basis, sondern einer der Schenkel gegeben ist, kannst du ganz ähnlich vorgehen – das zeigen wir jetzt aber nicht. 1. Fall: Die Basis und die Basiswinkel sind gegeben. Dann können wir vorgehen wie eben. Mithilfe der Basiswinkel zeichnen wir Hilfsstrahlen durch die Endpunkte der Basis. Bei dem Schnittpunkt der Hilfsstrahlen befindet sich der dritte Punkt des Dreiecks. Und schon haben wir das gleichschenklige Dreieck konstruiert. Wie können wir die Basiswinkel bestimmen? Die Summe der Innenwinkel einem Dreieck ist doch 180°. Und wir wissen bereits, dass die Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich groß sind. Also ist 'Alpha gleich Beta'. Eingesetzt erhalten wir folgende Gleichung: 'Zwei Alpha plus Gamma ist gleich 180°' Jetzt ziehen wir auf beiden Seiten Gamma ab und erhalten: 'zwei Alpha ist gleich 180° minus Gamma'. Wenn wir jetzt noch durch 2 teilen, haben wir den Basiswinkel alpha bestimmt – Gamma ist ja vorgegeben! Da die beiden Basiswinkel gleich groß sind, müssen wir nur wie zuvor von den Enden der Basis aus Hilfsstrahlen unter dem Basiswinkel alpha einzeichnen. Am Schnittpunkt dieser Hilfsstrahlen liegt dann die Spitze des gleichschenkligen Dreiecks. Lass uns das nochmal kurz zusammenfassen. In allen gleichschenkligen Dreiecken sind die Basiswinkel gleich groß. Und es gilt auch umgekehrt: Sind die beiden Basiswinkel eines Dreiecks gleich groß dann muss es sich zwingend um ein gleichschenkliges Dreieck handeln. Um ein gleichschenkliges Dreieck zu konstruieren, brauchen wir nur einen Winkel und eine Seite. Die anderen beiden Winkel können wir bestimmen, weil die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks 180° beträgt und die Basiswinkel gleich groß sein müssen. Okay Gang, jetzt der One-Eighty-Nutcracker-Split! Besser bekannt als Spagat! Dieser Basiswinkel war wohl zu krass für das Band.
Basiswinkelsatz – Erklärung und Umkehrung Übung
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Bestimme die korrekten Aussagen zu gleichschenkligen Dreiecken.
TippsDas ist ein gleichschenkliges Dreieck. Die Länge $c$ heißt Basis des Dreiecks.
Winkel und Längen bleiben bei einer Achsenspiegelung erhalten. Entsprechende Winkel und Längen auf unterschiedlichen Seiten einer Symmetrieachse sind also gleich groß.
LösungFolgende Aussagen sind falsch:
„Die Basiswinkel liegen dort, wo sich zwei Schenkel des Dreiecks schneiden."
- Die Basiswinkel eines Dreiecks liegen an der Basis an. Sie sind dort, wo sich Basis und Schenkel schneiden.
- Sind zwei Schenkel eines Dreiecks gleich lang, wird die Mittelsenkrechte der Basis zur Symmetrieachse. Per Definition ist das Dreieck gleichschenklig.
„In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß.“
„Alle Punkte auf der Mittelsenkrechten der Basis haben den gleichen Abstand zu den beiden Eckpunkten der Basis.“
- Diese Eigenschaften folgen aus der Achsensymmetrie des gleichschenkligen Dreiecks.
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Schildere die Konstruktion von gleichschenkligen Dreiecken.
TippsWerden die Strahlen im gleichen Winkel von den Eckpunkten der Basis gezeichnet, treffen sie sich genau auf der Mittelsenkrechten der Basis.
Alle Innenwinkel eines Dreiecks addieren sich zu $180^{\circ}$.
LösungDen Lückentext kannst du so vervollständigen:
„Sind Basis und Basiswinkel $\alpha$ gegeben, kannst du ein gleichschenkliges Dreieck konstruieren, indem du Strahlen von den Eckpunkten der Basis aus zeichnest, die mit der Basis den Winkel $\alpha$ einschließen. An deren Schnittpunkt befindet sich der letzte Punkt des Dreiecks.“
- Werden die Strahlen im gleichen Winkel von den Eckpunkten der Basis gezeichnet, treffen sie sich genau auf der Mittelsenkrechten der Basis. Die Schenkel werden also gleich lang.
$\alpha + \alpha + \gamma =180^{\circ}$
Damit erhältst du für die Basiswinkel:
$\alpha=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\gamma)$“
- Alle Innenwinkel eines Dreiecks addieren sich zu $180^{\circ}$. Das macht man sich hier zunutze.
- Hast du die Basiswinkel bestimmt, kannst du das Dreieck wie oben konstruieren.
-
Entscheide, ob das Dreieck gleichschenklig ist.
TippsSind die Basiswinkel eines Dreiecks gleich groß, müssen auch die Schenkel des Dreiecks gleich lang sein.
Eine notwendige Bedingung für ein gleichschenkliges Dreieck ist, dass die Basiswinkel gleich groß sind.
LösungFolgendes Dreieck ist nicht gleichschenklig:
„Die Winkel $\alpha=30^{\circ}$, $\beta=60^{\circ}$ und $\gamma=90^{\circ}$ sind die Innenwinkel eines Dreiecks.“
- Dieses Dreieck hat keine zwei gleich großen Winkel. Das ist eine notwendige Bedingung für ein gleichschenkliges Dreieck.
“Ein Dreieck hat die Winkel $\alpha=30^{\circ}$, $\beta=120^{\circ}$ und $\gamma=30^{\circ}$.“
„Ein Dreieck hat die Winkel $\alpha=80^{\circ}$, $\beta=80^{\circ}$ und eine Basis von $c=10~\text{cm}$.“
- Diese Dreiecke haben zwei gleich große Winkel. Damit müssen sie gleichschenklig sein.
- Dieses Dreieck hat zwei gleich lange Seitenlängen. Damit muss es gleichschenklig sein.
- In einem gleichschenkligen Dreieck liegen die Schenkel immer am Spitzenwinkel an.
-
Erschließe, welche Größe das Dreieck gleichschenklig macht.
TippsGleichschenklige Dreiecke haben zwei gleich große Winkel.
Alle Winkel eines Dreiecks summieren sich zu $180^{\circ}$.
LösungGleichschenklige Dreiecke haben jeweils zwei gleich lange Seitenlängen und zwei gleich große Winkel. Allerdings musst du darauf achten, dass sich alle Winkel zu $180^{\circ}$ addieren. Nur dann handelt es sich nämlich um ein Dreieck. Damit kannst du die Größen der Dreiecke zuordnen:
- Die Winkel $\alpha=70^{\circ}$, $\beta=40^{\circ}$ und $\gamma=70^{\circ}$ gehören zu einem gleichschenkligen Dreieck, denn zwei der Winkel sind gleich groß und alle Winkel zusammen ergeben $180^{\circ}$.
- Die Seitenlängen $a=6~\text{cm}$, $b=9~\text{cm}$ und $c=6~\text{cm}$ bilden ein gleichschenkliges Dreieck, denn zwei der Längen sind gleich lang.
- Die Längen $a=10~\text{cm}$, $b=13~\text{cm}$ und $c=10~\text{cm}$ bilden ein gleichschenkliges Dreieck, denn zwei der Längen sind gleich lang.
- Die Winkel $\alpha=40^{\circ}$, $\beta=40^{\circ}$ und $\gamma=100^{\circ}$ gehören zu einem gleichschenkligen Dreieck, denn zwei der Winkel sind gleich groß. Mit der anderen Auswahlmöglichkeit ($\gamma=70^{\circ}$) wären zwar zwei der Winkel gleich groß, sie ergäben aber kein Dreieck, da sich die Winkel nicht zu $180^{\circ}$ addieren.
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Beschrifte das gleichschenklige Dreieck.
TippsDie Eckpunkte eines Dreiecks benennst du der Reihe nach mit großen Buchstaben. Die zu den Ecken gehörigen Winkel benennst du mit den gleichen Buchstaben aus dem griechischen Alphabet. Sind zwei Winkel oder Längen gleich groß, kannst du sie mit dem gleichen Buchstaben bezeichnen.
LösungSo kannst du das Bild beschriften. Normalerweise benennst du die Eckpunkte eines Dreiecks der Reihe nach mit großen Buchstaben. Die zu den Ecken gehörigen Winkel benennst du mit den gleichen Buchstaben aus dem griechischen Alphabet. Allerdings kannst du gleich große Winkel oder Längen auch mit dem gleichen Buchstaben bezeichnen.
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Entscheide, ob die Größen ein gleichschenkliges Dreieck bilden können.
TippsIn einem Dreieck müssen sich alle Winkel zu $180^{\circ}$ addieren, also:
$\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$
Für gleichschenklige Dreiecke muss zusätzlich gelten, dass zwei der Winkel und zwei der Seitenlängen gleich groß sein müssen.
LösungDie Dreiecksungleichung besagt, dass die Summe der beiden kürzeren Längen eines Dreiecks $a$ und $b$ größer oder gleich der größten Seite eines Dreiecks $c$ sein muss, also:
$a+b \geq c$
Außerdem müssen sich in einem Dreieck alle Winkel zu $180^{\circ}$ addieren, also:
$\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$
Für gleichschenklige Dreiecke muss zusätzlich gelten, dass zwei der Winkel und zwei der Seitenlängen gleich groß sein müssen.
Mit den angegebenen Größen, die eine dieser Voraussetzungen verletzen, können keine Dreiecke konstruiert werden. Dies sind:
„$\alpha=80^{\circ}$, $\beta=80^{\circ}$, $\gamma=30^{\circ}$“
- Hier beträgt die Winkelsumme $190^{\circ}$.
- Hier ist die Dreiecksungleichung nicht erfüllt. Denn es gilt: $a+b =9~\text{cm}+9~\text{cm}=18~\text{cm} <20~\text{cm} =c $
- Hier ist die Dreiecksungleichung ebenfalls nicht erfüllt. Zudem existieren nicht zwei gleich lange Seiten.
„$a=3~\text{cm}$, $b=5~\text{cm}$ und $c=2~\text{cm}$“
- Hier gibt es keine zwei gleich langen Seitenlängen.
„$\alpha=35^{\circ}$, $\beta=110^{\circ}$, $\gamma=35^{\circ}$“
- Die Winkelsumme beträgt $180^{\circ}$ und es existieren zwei gleich große Winkel.
- Es existieren zwei gleich lange Seiten und die Bedingung der Dreiecksungleichung ist erfüllt.
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Hallo F. Jeon, strenggenommen hast du natürlich Recht! Das Beispiel soll aber nur als Veranschaulichung dienen und wir gehen dafür davon aus, dass beide Beine auf der gleichen Höhe, also auf einer Ebene sind, z.B. einfach auf dem Boden. Danke für deine Anmerkung und liebe Grüße aus der Redaktion!
Nein, bei diesen Beinübungen müssen die Winkel nicht immer gleich groß sein. Z.B. Wenn dieser Trainer, oder was auch immer der war, sein linkes Bein, senkrecht zu Boden hält, sind die Winkel nicht gleich groß. Also reicht es quasi auch schon aus, dass die Winkel verschieden werden, wenn man schon nur den einen Bein etwas mehr in der Luft hat, als das andere, auch wenn es jetzt nicht unbedingt senkrecht zum Boden ist.
Hey das Video war sehr hilfreich schreibe morgen eine Arbeit hab alles gelernt
jedes euerer videos ist echt gut ich danke euch ich habe es in mathe von einer 4 zu einer 2 auf dem zeugnis geschafft :)
Hahahhahahahahahhaha🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣🤣