Umfang von Dreiecken

Umfang von Dreiecken Übung

• Bestimme die korrekten Aussagen zum Umfang von Dreiecken.

  Tipps

  Der Umfang eines Dreiecks ist die Länge seiner Begrenzungslinie.

  Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang.

  Lösung

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Bei rechtwinkligen Dreiecken berechnet man den Umfang, indem man alle Seitenlängen multipliziert.“

  • Es ist egal, um welche Art von Dreieck es sich handelt. Du bestimmst den Umfang immer, indem du alle drei Seitenlängen des Dreiecks addierst.

  „Bei gleichschenkligen Dreiecken sind alle drei Seiten gleich lang.“

  • Bei dieser Art von Dreiecken sind zwei Seiten gleich lang.

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Die Eckpunkte eines Dreiecks werden mit Großbuchstaben, zum Beispiel $A$, $B$ und $C$, beschriftet. “

  • So werden die Eckpunkte eines Dreiecks üblicherweise bezeichnet.

  „Der Umfang eines Dreiecks ist die Summe aller drei Seitenlängen $a$, $b$ und $c$.“

  „Bei einem gleichseitigen Dreieck muss nur eine Seitenlänge bekannt sein, um den Umfang zu bestimmen.“

  • Da bei einem gleichseitigen Dreieck alle Seitenlängen gleich lang sind, muss nur eine der Seitenlängen bekannt sein. Die anderen Seiten sind gleich lang.

• Beschreibe das Vorgehen beim Berechnen eines Umfangs.

  Tipps

  Der Umfang einer Fläche ist die Länge der Begrenzungslinie. Ein Dreieck wird durch drei Seitenlängen begrenzt.

  In dem hier gezeigten gleichschenkligen Dreieck gilt $a=b$.

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  „Die Seiten eines Dreiecks bezeichnen wir mit Großbuchstaben, hier mit $a$, $b$ und $c$. Den Umfang bestimmen wir wie folgt:

  $U=a+b+c$“.

  • Der Umfang einer Fläche ist die Länge der Begrenzungslinie. Da ein Dreieck durch seine drei Seitenlängen begrenzt wird, addieren wir alle drei Längen.

  „Auch bei diesem rechtwinkligen Dreieck bestimmen wir den Umfang, indem wir alle Seitenlängen wie folgt addieren:

  $U=a+b+c$“.

  • Ob das Dreieck rechtwinklig ist oder nicht, ändert nichts an der Berechnung des Umfangs.

  „Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang. Hier können wir den Umfang wie folgt berechnen:

  $U=2a+c$“.

  • In diesem Dreieck gilt $a=b$. Deshalb können wir den Umfang so berechnen.

  „Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang. Den Umfang können wir also folgendermaßen bestimmen:

  $U=3a$“.

  • Bei diesem Dreieck gilt: $a=b=c$. Damit können wir die bekannte Formel vereinfachen.

• Ermittle den Umfang der Dreiecke.

  Tipps

  Die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Dreiecks lautet:

  $U=a+b+c$.

  Lösung

  Den Umfang eines Dreiecks bestimmst du, indem du alle drei Seitenlängen $a$, $b$ und $c$ addierst. Es gilt also:

  • $U=a+b+c$.

  Du erhältst folgende Ergebnisse:

  • $U=4~\text{cm}+5~\text{cm}+6,4~\text{cm}=15,4~\text{cm}$

  • $U=7~\text{cm}+8~\text{cm}+10,6~\text{cm}=25,6~\text{cm}$

  • $U=3~\text{cm}+7~\text{cm}+7,6~\text{cm}=17,6~\text{cm}$

  • $U=8~\text{cm}+12~\text{cm}+14,4~\text{cm}=34,4~\text{cm}$

• Ermittle den Umfang der Dreiecke.

  Tipps

  Gleichschenklige Dreiecke haben zwei Seiten, die gleich lang sind. Auch wenn nur eine dieser Seiten beschriftet ist, kannst du deshalb den Umfang bestimmen.

  Gleichseitige Dreiecke haben drei gleiche Seitenlängen. Hier kannst du mit nur einer beschrifteten Seite den Umfang angeben.

  Lösung

  Den Umfang eines Dreiecks bestimmst du immer durch Addition aller Seitenlängen. Also:

  $U=a+b+c$.

  Für die ersten beiden Dreiecke erhältst du so:

  • $U=13~\text{cm}+12~\text{cm}+10~\text{cm}=35~\text{cm}$

  • $U=10~\text{cm}+14~\text{cm}+17,2~\text{cm}=41,2~\text{cm}$

  Gleichschenklige Dreiecke haben zwei Seitenlängen, die gleich lang sind. Auch wenn nur eine dieser Seiten beschriftet ist, kannst du deshalb den Umfang bestimmen.

  • $U=2 \cdot 10~\text{cm}+15~\text{cm}=35~\text{cm}$

  Gleichseitige Dreiecke haben drei gleiche Seitenlängen. Hier kannst du mit nur einer beschrifteten Seite den Umfang angeben.

  • $U=3 \cdot 17~\text{cm}=51~\text{cm}$

• Gib den Umfang an.

  Tipps

  Den Umfang eines Dreiecks bestimmst du, indem du alle drei Seitenlängen $a$, $b$ und $c$ addierst.

  Lösung

  Den Umfang eines Dreiecks bestimmst du, indem du alle drei Seitenlängen $a$, $b$ und $c$ addierst. Es gilt also:

  • $U=a+b+c$.

  So erhältst du folgende Lösungen:

  • Das erste Dreieck hat einen Umfang von: $U=45~\text{m}+25~\text{m}+60~\text{m}=130~\text{m}$

  • Das zweite Dreieck hat einen Umfang von: $U=3~\text{cm}+4~\text{cm}+5~\text{cm}=12~\text{cm}$

  • Das dritte Dreieck hat einen Umfang von: $U=2 \cdot 9~\text{cm}+12~\text{cm}=30~\text{cm}$

• Erschließe den Umfang dieser Figur.

  Tipps

  Der Umfang einer Figur ist die Länge seiner Begrenzungslinie. Hier musst du also überlegen, welche der Längen die Figur nach außen begrenzen. Daraus kannst du die Formel für den Umfang zusammensetzen.

  Hast du die Formel aufgestellt, kannst du die gegebenen Längen einsetzen, um die Länge des Umfangs zu bestimmen.

  Lösung

  Der Umfang einer Figur ist die Länge seiner Begrenzungslinie. Hier musst du also überlegen, welche der Längen die Figur nach außen begrenzen. Das sind die Längen $a$ und $b$ (diese kommen jeweils zweimal vor), sowie die Längen $c$ und $d$. Deshalb setzt sich die Formel wie folgt zusammen:

  $U=2 \cdot a+ 2 \cdot b + c + d$.

  Jetzt können wir die gegebenen Längen einsetzen, um den Umfang zu bestimmen:

  $U=2 \cdot 4~\text{cm}+ 2 \cdot 6~\text{cm} + 7~\text{cm} + 8~\text{cm}=35~\text{cm}$