Innenwinkelsummen von Dreiecken

Innenwinkelsummen von Dreiecken Übung

• Bestimme die Innenwinkel der gegebenen Dreiecke.

  Tipps

  Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks mit den Innenwinkeln $\alpha= 30^\circ$, $\beta = 60^\circ$ und $\gamma=90^\circ$ ist $180^\circ$.

  Übertrage die Innenwinkel aus dem Bild in die Lücken. Die Winkel findest du in folgenden Eckpunkten:

  • $\alpha$ bei $A$,
  • $\beta$ bei $B$ und
  • $\gamma$ bei $C$.

  Zähle alle Innenwinkel zur Innenwinkelsumme zusammen.

  Lösung

  Die Innenwinkel eines Dreiecks sind die Winkel im Inneren des Dreiecks an den drei Ecken. Die Ecken werden mit $A$, $B$ und $C$ bezeichnet. Der Innenwinkel bei der Ecke $A$ heißt $\alpha$, der Innenwinkel bei der Ecke $B$ heißt $\beta$, der bei der Ecke $C$ schließlich heißt $\gamma$.

  Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks ist die Summe der Innenwinkel des Dreiecks. Zur Berechnung der Innenwinkelsumme werden die Innenwinkel addiert.

  1. Dreieck: Die Innenwinkel des Dreiecks sind $\alpha=45^\circ$, $\beta=50^\circ$ und $\gamma=85^\circ$. Die Innenwinkelsumme ist die Summe dieser Innenwinkel, also:

  $45^\circ + 50^\circ + 85^\circ =180^\circ$.

  2. Dreieck: Hier betragen die Innenwinkel $\alpha= 30^\circ$, $\beta=120^\circ$ und $\gamma=30^\circ$. Da zwei der Innenwinkel gleich sind, der dritte aber nicht, ist das Dreieck gleichschenklig, aber nicht gleichseitig.

  Die Innenwinkelsumme dieses Dreiecks ist:

  $30^\circ + 120^\circ+ 30^\circ = 180^\circ$.

  3. Dreieck: Dieses Dreieck ist rechtwinklig, d.h., einer der Winkel ist $90^\circ$. Die beiden anderen Winkel sind $\beta= 50^\circ$ und $\gamma=40^\circ$. Die Winkelsumme dieses Dreiecks beträgt:

  $90^\circ + 50^\circ+ 40^\circ = 180^\circ$.

• Bestimme den fehlenden Innenwinkel.

  Tipps

  Ein Dreieck mit den Innenwinkeln $\alpha= 45^\circ$ und $\beta = 35^\circ$ hat als dritten Innenwinkel $\gamma=100^\circ$.

  Die Innenwinkelsumme in jedem Dreieck beträgt $180^\circ$.

  Bestimme den Innenwinkel $\gamma$ mit der Formel:

  $\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$.

  Lösung

  Philgonia hat herausgefunden, dass bei jedem Dreieck die Summe der Innenwinkel $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ immer $180^\circ$ beträgt. Also stellt sie die Gleichung für die Innenwinkelsumme nach dem fehlenden Winkel $\gamma$ wie folgt um:

  $\begin{array}{llll} \alpha + \beta + \gamma &=& 180^\circ & \vert -\alpha \\ \beta + \gamma &=& 180^\circ -\alpha & \vert -\beta \\ \gamma &=& 180^\circ - \alpha - \beta \end{array}$

  Mit dieser Formel kann Philgonia jeweils den dritten Winkel ausrechnen und erhält folgende Zuordnungen:

  • $\alpha=45^\circ$, $\beta = 50^\circ$, $\gamma=85^\circ$

  • $\alpha=30^\circ$, $\beta=120^\circ$, $\gamma=30^\circ$

  • $\alpha = 40^\circ$, $\beta=90^\circ$, $\gamma=50^\circ$

  • $\alpha = 30^\circ$, $\beta=30^\circ$, $\gamma = 120^\circ$

  • $\alpha = 30^\circ$, $\beta = 85^\circ$, $\gamma= 65^\circ$

  • $\alpha = 56^\circ$, $\beta = 44^\circ$, $\gamma=80^\circ$

• Analysiere die Aussagen über Innenwinkel.

  Tipps

  Addiert man bei einem Dreieck die verdoppelten Innenwinkel, so erhält man $360^\circ$.

  Ist ein Innenwinkel eines Dreiecks kleiner als $90^\circ$, so ist die Summe der beiden anderen Innenwinkel größer als $90^\circ$.

  Es gibt kein Dreieck mit den Innenwinkeln $\alpha = 70^\circ$, $\beta = 80^\circ$ und $\gamma=90^\circ$.

  Lösung

  Die Summe der Innenwinkel beträgt in jedem Dreieck $180^\circ$. Aus dieser Tatsache lassen sich viele Aussagen über die Innenwinkel folgern. Z.B. kann man die Formel $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ nach $\gamma$ auflösen und erhält:

  $\gamma= 180^\circ - \alpha - \beta$.

  So kann man den dritten Innenwinkel $\gamma$ aus den gegebenen Innenwinkeln $\alpha$ und $\beta$ ausrechnen. Nun zu den Aussagen im Einzelnen:

  Richtig sind folgende Aussagen:

  • „In einem rechtwinkligen Dreieck sind die beiden anderen Winkel kleiner als $90^\circ$.“ Denn die Summe der beiden anderen Winkel ist $180^\circ-90^\circ$. Da die beiden fehlenden Winkel in der Summe $90^\circ$ ergeben, muss jeder der beiden Winkel kleiner als $90^\circ$ sein.

  • „In einem stumpfwinkligen Dreieck ist die Summe der beiden anderen Winkel kleiner als $90^\circ$.“ Ein stumpfer Winkel $\alpha$ ist größer als $90^\circ$. Die Summe $\beta + \gamma$ muss dann kleiner als $90^\circ$ sein, damit $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ gilt.

  • „Kennt man die Winkel $\alpha$ und $\beta$ eines Dreiecks, so kann man den Winkel $\gamma$ ausrechnen.“ Die Formel lautet: $\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$.

  • „Sind die Innenwinkel eines Dreiecks $\alpha = 40^\circ$ und $\beta=50^\circ$, so ist das Dreieck rechtwinklig.“ Nach der Formel für den dritten Innenwinkel gilt $\gamma = 180^\circ - 40^\circ - 50^\circ = 90^\circ$.

  Folgende Aussagen dagegen sind falsch:

  • „Die Innenwinkelsumme eines rechtwinkligen Dreiecks ist $90^\circ$.“ Die Innenwinkelsumme jedes Dreiecks beträgt $180^\circ$.

  • „In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der beiden anderen Winkel kleiner als $90^\circ$.“ Ist $\alpha = 90^\circ$, so ist $\beta + \gamma = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Die Summe ist also nicht kleiner als $90^\circ$, sondern gleich $90^\circ$.

  • „Es gibt ein Dreieck mit Innenwinkeln $30^\circ$, $40^\circ$ und $70^\circ$.“ Die Summe dieser drei Winkel beträgt $30^\circ + 40^\circ + 70^\circ = 140^\circ \neq 180^\circ$. Daher gibt es kein Dreieck mit diesen drei Innenwinkeln.

• Erschließe die Innenwinkel.

  Tipps

  In jedem Dreieck ist die Summe der Innenwinkel $180^\circ$.

  Ein Dreieck mit dem Winkel $\alpha = 90^\circ$ kann z.B. die weiteren Innenwinkel $\beta = 20^\circ$ und $\gamma = 70^\circ$ haben.

  Es gibt kein Dreieck mit den Innenwinkeln $\alpha = 100^\circ$, $\beta = 10^\circ$ und $\gamma=60^\circ$.

  Lösung

  Die Innenwinkelsumme eines jeden Dreiecks beträgt $180^\circ$. Aus folgender Formel kann Philgonia die zusammengehörigen Winkel bestimmen:

  $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

  Es ergeben sich genau die folgenden Zuordnungen:

  $\alpha=90^\circ$, $\beta=40^\circ$, $\gamma=50^\circ$

  $\alpha=35^\circ$, $\beta=90^\circ$, $\gamma=55^\circ$

  $\alpha=75^\circ$, $\beta=28^\circ$, $\gamma=77^\circ$

  $\alpha=99^\circ$, $\beta=16^\circ$, $\gamma=65^\circ$

• Bestimme die Art der Dreiecke.

  Tipps

  Ein rechtwinkliges Dreieck entsteht aus der Teilung eines Rechtecks längs der Diagonalen.

  In einem spitzwinkligen Dreieck ist jeder Winkel kleiner als $90^\circ$, also „spitz“.

  Stumpfwinklig heißt ein Dreieck mit einem Winkel größer als $90^\circ$, d.h. mit einem „stumpfen“ Winkel.

  Lösung

  Spitzwinklige Dreiecke erkennt man daran, dass alle drei Winkel spitz sind, d.h. kleiner als ein rechter Winkel.

  Rechtwinklige Dreiecke haben genau einen rechten Winkel, die beiden anderen Winkel sind spitz, d.h. kleiner als $90^\circ$.

  Stumpfwinklige Dreiecke haben genau einen stumpfen Winkel, d.h. einen Winkel, der größer ist als ein rechter Winkel; die anderen beiden Winkel sind spitz.

  Aus dieser Überlegung ergibt sich die richtige Zuordnung.

• Analysiere die Beweisschritte.

  Tipps

  Der Innenwinkel $\beta$ des Vierecks ist die Summe der Innenwinkel $\beta_1$ und $\beta_2$ der beiden verschiedenen Dreiecke.

  Ein Fünfeck kann man in drei Dreiecke aufteilen. Die Innenwinkelsumme eines Fünfecks beträgt daher $3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$.

  Lösung

  Die Aufteilung des Vierecks mit den Ecken $A$, $B$, $C$ und $D$ längs der Diagonalen $\overline{BD}$ ergibt die zwei Dreiecke $\Delta_{ABD}$ und $\Delta_{BCD}$. Bei dieser Aufteilung werden die Innenwinkel $\beta$ und $\delta$ des Vierecks zerteilt. Es entstehen die neuen Innenwinkel $\beta_1$ und $\delta_2$ in dem Dreieck $\Delta_{ABD}$ sowie $\beta_2$ und $\delta_1$ in dem Dreieck $\Delta_{BCD}$.

  Die Winkel des Vierecks setzen sich aus den beiden durch die Teilung entstandenen Dreieckswinkeln zusammen, d. h.

  $\beta= \beta_1 + \beta_2$ und $\delta = \delta_1 + \delta_2$.

  Die Innenwinkelsumme des Dreiecks $\Delta_{ABD}$ beträgt dann:

  $\alpha + \beta_1 + \delta_2 = 180^\circ$.

  In dem Dreieck $\Delta_{BCD}$ finden wir die Winkelsumme:

  $\gamma + \delta_1 + \beta_2 = 180^\circ$.

  Nun können wir die Innenwinkelsumme des Vierecks ausrechnen:

  $ \alpha + \underbrace{\beta_1 + \beta_2}_{=\beta} + \gamma + \underbrace{\delta_1 + \delta_2}_{=\delta}=360^\circ $.

  Analog kannst Du auch die Innenwinkelsumme eines Fünfecks ausrechnen: Du zerlegst das Fünfeck mit geeigneten „Diagonalen“ in drei Dreiecke. Jedes Dreieck hat die Innenwinkelsumme $180^\circ$. Aus drei Dreiecken ergibt sich daher die Innenwinkelsumme des Fünfecks zu $3 \cdot 180^\circ = 540^\circ$.