Addition von Brüchen

Addition von Brüchen Übung

• Vervollständige die Sätze zur Addition von Brüchen sinnvoll.

  Tipps

  Bruchzahlen schreiben wir für gewöhnlich in der „Zähler ($Z$)-Bruchstrich-Nenner ($N$)-Schreibweise“.

  Addieren wir Brüche mit gleichem Nenner, so addieren wir die Zähler und übernehmen den gemeinsamen Nenner. Betrachte folgendes Beispiel:

  $\dfrac{1}{6} + \dfrac{4}{6} = \dfrac{5}{6}$.

  Brüche mit unterschiedlichen Nennern müssen vor der Addition erst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Betrachte folgendes Beispiel:

  $\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3\cdot 2}{5\cdot 2} + \dfrac{1\cdot 5}{2\cdot 5} = \dfrac{6}{10} + \dfrac{5}{10} = \dfrac{11}{10}$.

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  „Im alltäglichen Leben wird das Zusammenzählen, also die Addition von Brüchen, häufig benutzt. Auch Luigi der Pizzabäcker muss wissen, wie man Brüche richtig addiert. Betrachten wir einen Bruch am Beispiel einer Pizza und teilen die Pizza zuerst in gleich große Stücke. Diese Einteilung, wir bezeichnen sie in einem Bruch mit dem Wort Nenner, befindet sich im Bruch unter dem Bruchstrich. Betrachten wir nun einen Anteil der Pizza, also eine bestimmte Anzahl von Pizzastücken. Diese Anzahl entspricht in einem Bruch dem Zähler und er steht im Bruch über dem Bruchstrich.“

  • Ein Bruch besteht aus zwei Zahlen und einem Bruchstrich. Über dem Bruchstrich steht der Zähler, darunter der Nenner.

  „Luigi hat nun zwei Pizzen, die jeweils dieselbe Einteilung, also dieselbe Anzahl an Stücken haben. Als Brüche betrachtet, haben diese den gleichen Nenner, wir nennen diese Brüche daher gleichnamig. Bei der Addition von gleichnamigen Brüchen addieren wir nur die Zähler, die Einteilung bleibt unverändert.“

  • Beim Zusammenzählen von Brüchen mit gleichem Nenner addieren wir nur die Zähler.

  „Luigi backt erneut zwei Pizzen. Eine Pizza schneidet er in $10$ Stücke, die andere in $8$ Stücke. Die Pizzen haben also unterschiedliche Einteilungen. Das heißt, wir betrachten nun zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern. Wir nennen diese Brüche dann ungleichnamig. Wollen wir ungleichnamige Brüche addieren, müssen wir sie zuerst durch Erweitern oder Kürzen auf einen gleichen Nenner bringen. Anschließend werden die Zähler addiert.“

  • Brüche mit unterschiedlichen Nennern, also ungleichnamige Brüche, müssen wir zuerst auf einen gleichen Hauptnenner bringen, bevor wir diese addieren können.

  „Einer der Gäste hat großen Hunger und isst daher mehr als eine Pizza. Brüche, bei denen der Zähler größer ist als der Nenner, nennen wir unecht. Der andere Gast hat keinen großen Appetit und isst seine Pizza nicht auf. Brüche, die kleiner als ein Ganzes sind, heißen echte Brüche. “

  • Echte Brüche sind immer kleiner oder gleich $1$, unechte Brüche sind echt größer als $1$.

• Berechne die Summe der Brüche.

  Tipps

  Berechnest du die Anzahl der Salamipizzastücke, so musst du zwei gleichnamige Brüche addieren.

  Du erweiterst einen Bruch, indem du Zähler und Nenner jeweils mit demselben Faktor multiplizierst.

  Sieh dir folgendes Beispiel an:

  $\dfrac 13 + \dfrac 25 =\dfrac{1\cdot 5}{3\cdot 5} + \dfrac{2\cdot 3}{5\cdot 3} = \dfrac 5{15} + \dfrac 6{15} = \dfrac {11}{15}$.

  Lösung

  Wir berechnen nun gemeinsam die Anzahl übrig gebliebener Pizzastücke.

  Salamipizza

  Bevor Luigi die Pizzen herunterfielen, hatte er $2$ Salamipizzen mit je $6$ Stücken. Leider sind nur $1$ Stück der einen Pizza und $4$ Stücke der anderen Pizza unversehrt geblieben. Das heißt, von der ersten Pizza sind noch $\frac{1}{6}$ übrig, von der zweiten noch $\frac{4}{6}$.

  Luigi kann jetzt berechnen, wie viele Stücke der Salamipizza noch für den Verkauf vorhanden sind:

  • $\frac{1}{6} + \frac{4}{6}$.

  Nun müssen wir die gleichnamigen Brüche addieren, indem wir die Zähler addieren und den gemeinsamen Nenner beibehalten:

  • $\frac{1}{6} + \frac{4}{6} = \frac{5}{6}$.

  Spinatpizza

  Hier hat er von der einen Spinatpizza noch genau die Hälfte. Von der anderen sind leider nur $3$ von insgesamt $5$ Stücken übrig. Hier muss Luigi also folgende ungleichnamige Brüche addieren:

  • $\frac{1}{2} + \frac{3}{5}$.

  Wir erweitern nun $\frac{1}{2}$ mit $5$ und $\frac{3}{5}$ mit $2$, um die Brüche auf den gemeinsamen Nenner $10$ zu bringen. Wir erhalten dann:

  • $\frac 12 + \frac 35 =\frac{1\cdot 5}{2\cdot 5} + \frac{3\cdot 2}{5\cdot 2} = \frac 5{10} + \frac 6{10} = \frac {11}{10}$.

• Prüfe, ob richtig gerechnet wird.

  Tipps

  Wenn du einen gemeinsamen Nenner suchst, so betrachtest du die Vielfachenmengen der jeweiligen Nenner und suchst ein gemeinsames Vielfaches. Sieh dir folgendes Beispiel an:

  $\dfrac 14+\dfrac 17$.

  Die Vielfachenmengen der Nenner sind:

  • $V_4=\{ 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; \dots \}$ und
  • $V_7=\{ 7; 14; 21; 28; \dots \}$.

  Also ist ein gemeinsames Vielfaches die $28$. Es gibt aber auch noch unendlich viele andere gemeinsame Vielfache, die als ein gemeinsamer Nenner in Frage kommen.

  Ein gemeinsamer Nenner der Brüche $\frac{4}{7}$ und $\frac{1}{3}$ ist $42$.

  Lösung

  Diese Aussagen sind richtig:

  „Ein gemeinsamer Nenner der Brüche $\frac{4}{7}$ und $\frac{1}{3}$ ist $21$.“

  • Der schnellste Weg, einen gemeinsamen Nenner zu finden, funktioniert über die Multiplikation der beiden Nenner. Da ${7}\cdot{3} = 21$ gilt, kann dieser als gemeinsamer Nenner bestimmt werden. Nun muss der Bruch $\frac{4}{7}$ nur noch mit $3$ erweitert werden und der Bruch $\frac{1}{3}$ mit $7$. Anschließend können beide Brüche miteinander addiert werden:

  • $\frac{4}{7} + \frac{1}{3} =\frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{12}{21} + \frac{7}{21} = \frac{19}{21}$.

  „$\frac{1}{5} + \frac{8}{15} = \frac{3}{15} + \frac{8}{15} = \frac{11}{15}$“

  • Dieses Ergebnis erhältst du, indem du $\frac{1}{5}$ mit $3$ erweiterst. Dann haben beide Brüche bereits einen gleichen Nenner und du kannst die beiden gleichnamigen Brüche addieren.

  „$\frac{1}{3} + \frac{8}{7} = \frac{14}{42} + \frac{48}{42} = \frac{62}{42}$.“

  • Dieses Ergebnis erhältst du, indem du zuerst $\frac{1}{3}$ mit $14$ und $\frac{8}{7}$ mit $6$ erweiterst und dann die gleichnamigen Brüche addierst. Anschließend könntest du den Bruch hier noch mit $2$ kürzen, so dass dein Ergebnis $\frac{31}{21}$ wäre. Du könntest dich bei der Rechnung auch gleich für den gemeinsamen Nenner $21$ entscheiden. Dann würde die Rechnung wie folgt aussehen und du müsstest nicht mehr kürzen:

  • $\frac{1}{3} + \frac{8}{7} = \frac{7}{21} + \frac{24}{21} = \frac{31}{21}$.

  Diese Aussagen sind falsch:

  „Da die Brüche $\frac{4}{7}$ und $\frac{8}{7}$ gleichnamig sind, kannst du wie folgt rechnen: $\frac{4}{7} + \frac{8}{7} = \frac{14}{7}$.“

  • Hier werden die Zähler falsch addiert, denn $4 + 8 = 12$. Demnach ergibt sich $\frac{4}{7} + \frac{8}{7} = \frac{12}{7}$.

  „Durch Erweiterung der folgenden Brüche erhältst du $\frac{4}{7} = \frac{4}{21}$ und $\frac{1}{3} = \frac{7}{21}$.“

  • Hier ist die Erweiterung des Bruchs $\frac{4}{7}$ falsch. Erweiterst du $\frac{4}{7}$ mit $3$, so erhältst du $\frac{12}{21}$. Der zweite Bruch wurde hier richtig mit $7$ erweitert. Nach der korrekten Erweiterung der beiden Brüche kannst du nun ganz leicht diese addieren, indem du nur noch die Zähler addierst:

  $\frac{12}{21} + \frac{7}{21} = \frac{19}{21}$.

  „Durch Erweitern mit $6$ erhältst du $\frac{8}{7} = \frac{45}{42}$.“

  • Du erhältst den erweiterten Bruch $\frac{48}{42}$.

• Ordne den Rechnungen die richtigen Ergebnisse zu.

  Tipps

  Einen gemeinsamen Nenner findet man immer, indem man die vorherigen Nenner multipliziert. Beispielsweise ist ein gemeinsamer Nenner von $2$ und $3$ die $6$.

  Ein gemeinsamer Nenner von $2$, $3$ und $8$ ist beispielsweise $24$.

  Lösung

  So kannst du die Aufgaben lösen:

  • Die Brüche $\dfrac{21}{7}$ und $\dfrac{4}{5}$ sind ungleichnamig, daher müssen wir diese zunächst so erweitern, dass sie einen gemeinsamen Nenner haben. Anschließend können wir die Zähler einfach addieren.

  $\begin{array}{lll} \\ \dfrac{21}{7} + \dfrac{4}{5} &=& \dfrac{21 \cdot 5}{7 \cdot 5} + \dfrac{4 \cdot 7}{5 \cdot 7} \\ & =& \dfrac{105}{35} + \dfrac{28}{35} \\ &=& \dfrac{133}{35} \\ \end{array}$

  • Die Brüche $\dfrac{9}{8}, \dfrac{1}{2}$ und $\dfrac{2}{3}$ sind ebenfalls ungleichnamig. Ein gemeinsamer Nenner ist beispielsweise $24$.

  $\begin{array}{lll}\\ \dfrac{9}{8} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} &=& \dfrac{9 \cdot 3}{8 \cdot 3} + \dfrac{1 \cdot 12}{2 \cdot 12} + \dfrac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} \\ &=& \dfrac{27}{24} + \dfrac{12}{24} + \dfrac{16}{24} \\ &=& \dfrac{55}{24}\\ \end{array}$

  • Ebenso sind die Brüche $\dfrac{3}{4}$ und $\dfrac{7}{8}$ ungleichnamig. Wir erweitern $\dfrac{3}{4}$ mit $2$, damit die Brüche gleichnamig sind.

  $\begin{array}{lll}\\ \dfrac{3}{4} +\dfrac{7}{8} &=& \dfrac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \dfrac{7}{8} \\ &=& \dfrac{6}{8} + \dfrac{7}{8}\\ &=& \dfrac{13}{8}\\ \end{array}$

  • Die Brüche $\dfrac{4}{3}$ und $\dfrac{9}{2}$ sind nicht gleichnamig. Daher erweitern wir $\dfrac{4}{3}$ mit $2$ und $\dfrac{9}{2}$ mit $3$. Anschließend können wir die daraus resultierenden gleichnamigen Brüche ganz einfach addieren.

  $\begin{array}{lll}\\ \dfrac{4}{3} +\dfrac{9}{2} &=& \dfrac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \dfrac{9 \cdot 3}{2 \cdot 3} \\ &=& \dfrac{8}{6} + \dfrac{27}{6}\\ &=& \dfrac{35}{6}\\ \end{array}$

• Gib die Summe an.

  Tipps

  Möchtest du beispielsweise $\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$ addieren, so musst du zuerst einen gemeinsamen Nenner finden, sodass du die Brüche zu gleichnamigen Brüchen umformen kannst.

  Anschließend erweiterst du $\frac{1}{2}$ mit $3$ und $\frac{1}{3}$ mit $2$.

  Dann erhältst du die gleichnamigen Brüche $\frac{3}{6}$ und $\frac{2}{6}$. Diese kannst du nun addieren, indem du die Zähler addierst und den Nenner beibehältst.

  Lösung

  Möchtest du ungleichnamige Brüche addieren, so musst du diese zunächst einmal gleichnamig machen. Hierzu erweiterst du die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. Also gehen wir bei der Addition ungleichnamiger Brüche wie folgt vor:

  1. Willst du ungleichnamige Brüche addieren, so musst du zunächst einen gemeinsamen Nenner bestimmen.
  2. Ein gemeinsamer Nenner von $\frac{2}{3}$ und $\frac{5}{4}$ ist beispielsweise $12$.
  3. Du erhältst den gemeinsamen Nenner $12$, indem du $\frac{2}{3}$ mit $4$ und $\frac{5}{4}$ mit $3$ erweiterst.
  4. Durch die Erweiterung werden aus den ungleichnamigen Brüchen die gleichnamigen Brüche $\frac{8}{12}$ und $\frac{15}{12}$.
  5. Nun kannst du die gleichnamigen Brüche einfach miteinander addieren, indem du nur noch die Zähler addierst: $\frac{8}{12} + \frac{15}{12} = \frac{23}{12}$.

• Ordne den Brüchen die passenden Ergebnisse zu.

  Tipps

  Berechne zunächst die Ergebnisse.

  Wollen wir beispielsweise $\frac{1}{2} + \frac{2}{3}$ berechnen, so müssen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, hier z. B. $6$.

  $\begin{array}{lll} \\ \frac{1}{2} + \frac{2}{3} &=& \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} \\ &=& \frac{3}{6} + \frac{4}{6} \\ &=& \frac{7}{6} \\ \end{array}$

  Lösung

  Folgende Brüche entsprechen dem echten Bruch $\dfrac{9}{16}$:

  • $\dfrac{18}{32} = \dfrac{18 ~:~ 2}{32 ~:~ 2} = \dfrac{9}{16}$

  Hier wurde mit $2$ gekürzt.

  • $\dfrac{5}{16} + \dfrac{2}{8} = \dfrac{5}{16} + \dfrac{2 \cdot 2}{8 \cdot 2} = \dfrac{5}{16} + \dfrac{4}{16} = \dfrac{9}{16}$

  Hier haben wir den Bruch $\dfrac{2}{8}$ zunächst mit $2$ erweitert.

  • $\dfrac{9+8+10+2+7}{30+34} = \dfrac{36}{64}=\dfrac{36~:~4}{64~:~4} = \dfrac{9}{16}$

  Zunächst werden die Summen im Zähler und Nenner berechnet, anschließend kann mit $4$ gekürzt werden.

  Folgende Brüche entsprechen dem unechten Bruch $\dfrac{35}{10}$:

  • $3 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{1} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3 \cdot 2}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{6}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2} = \dfrac{7 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \dfrac{35}{10}$

  Hier können wir als Erstes die $3$ als Bruch schreiben, anschließend erweitern und dann mit $\dfrac{1}{2}$ addieren. Durch Erweiterung des Ergebnisses mit $5$ kommen wir auf $\dfrac{35}{10}$.

  • $\dfrac{20+15}{{2}\cdot{5}} = \dfrac{35}{10}$

  Zähler und Nenner berechnen wir jeweils einzeln.

  • $\dfrac{9}{10} + \dfrac{13}{5} = \dfrac{9}{10} + \dfrac{13 \cdot 2}{5 \cdot 2} =\dfrac{9}{10} + \dfrac{26}{10} = \dfrac{35}{10}$

  Zuerst muss der Bruch $\dfrac{13}{5}$ mit $2$ erweitert werden und anschließend können die nun gleichnamigen Brüche einfach addiert werden.

  Folgende Brüche entsprechen $1$:

  • $\dfrac{79}{79} = \dfrac{79~: ~79}{79~:~79} = \dfrac{1}{1}=1$

  Hier wurde zuerst mit $79$ gekürzt. Dies ist jedoch nicht zwangsläufig notwendig, denn eine Zahl, geteilt durch sich selbst, ergibt immer $1$. Daraus folgt, dass, wenn ein Bruch im Nenner und im Zähler jeweils denselben Wert hat, er $1$ entspricht.

  Beispiele: $\dfrac{2}{2} = 1$, $\dfrac{50}{50} = 1$, $\dfrac{100~000}{100~000} = 1$.

  • $\dfrac{7}{8} + \dfrac{5}{40} = \dfrac{7}{8} +\dfrac{5~:~5}{40~:~5} = \dfrac{7}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{8}{8} = 1$
  • $\dfrac{4+3+9+12+37}{44+6+15} = \dfrac{65}{65} = 1$
  • $\dfrac{3+2}{9+2} + \dfrac{{3}\cdot{2}}{5+6} = \dfrac{5}{11} + \dfrac{6}{11} = \dfrac{11}{11} = 1$