Brüche subtrahieren – ausführliche Erklärung

Brüche subtrahieren – ausführliche Erklärung Übung

• Beschreibe, wie du Brüche subtrahierst.

  Tipps

  Hier siehst du ein Beispiel.

  Durch das Kürzen oder Erweitern eines Bruches ändern sich lediglich die Werte in Zähler und Nenner. Der Wert des Bruches bleibt gleich.

  Lösung

  Zwei Brüche sind gleichnamig, wenn sie denselben Nenner haben. Wir können sie direkt subtrahieren.
  Die Differenz aus zwei gleichnamigen Brüchen bilden wir, indem wir die Zähler subtrahieren und den Nenner beibehalten.

  Beispiel:

  $\dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{3 - 1}{5} = \dfrac{2}{5}$

  Wenn wir zwei Brüche mit unterschiedlichem Nenner subtrahieren wollen, dann müssen wir diese zunächst gleichnamig machen. Dazu können wir beide Brüche kürzen oder erweitern.
  Durch das Kürzen oder Erweitern eines Bruches ändern sich lediglich die Werte in Zähler und Nenner. Der Wert des Bruches bleibt gleich.

  Beispiel:

  $\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4} - \dfrac{1}{4} =\dfrac{2 - 1}{4} = \dfrac{1}{4}$

• Gib an, wie du Brüche, gemischte Zahlen und ganze Zahlen subtrahieren kannst.

  Tipps

  Bei einem unechten Bruch ist der Zähler größer oder gleich dem Nenner.

  Beispiel:

  $2 \frac{1}{3} - \frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} - \frac{3}{5} = \frac{7}{3} - \frac{3}{5} = \frac{7 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{35}{15} - \frac{9}{15} = \frac{26}{15} = 1 \frac{11}{15}$

  Lösung

  Um Brüche zu subtrahieren, müssen wir sie zunächst auf denselben Nenner bringen bzw. gleichnamig machen. Dazu können wir folgendermaßen vorgehen:

  • Wir können jeden Bruch mit dem Nenner des jeweils anderen Bruches erweitern:

  $\frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6}{3 \cdot 6} - \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{6}{18} - \frac{3}{18} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$

  • Wir können das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner bilden und die Brüche auf diesen Hauptnenner erweitern:

  $\frac{1}{3} - \frac{1}{6}$ mit $\text{kgV}(3 , 6) = 6 \rightarrow \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$

  Wollen wir die Differenz eines Bruches und einer gemischten oder ganzen Zahl bilden, so müssen wir die gemischte oder ganze Zahl zunächst als unechten Bruch schreiben.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • Wir dürfen immer nur einen Bruch der Differenz erweitern oder kürzen.

  Wir können beide Brüche beliebig kürzen oder erweitern, da sich der Wert der Brüche dabei nicht verändert.

  • Um eine ganze Zahl in einen Bruch umzuwandeln, schreiben wir die Zahl in Zähler und Nenner, zum Beispiel $3 = \dfrac{3}{3}$.

  Bei einer ganzen Zahl schreiben wir die Zahl in den Zähler und eine $1$ in den Nenner, zum Beispiel $3 = \dfrac{3}{1}$.

• Ermittle den Hauptnenner der Brüche.

  Tipps

  Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner.

  Du kannst das $\text{kgV}$ bestimmen, indem du die Vielfachenmengen der Zahlen notierst oder eine Primfaktorzerlegung durchführst.

  Beispiel Primfaktorzerlegung:

  $12 = 3 \cdot 2 \cdot 2$
  $15 = 5 \cdot 3$

  $\text{kgV}(12, 15) = 5 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 60$

  Lösung

  Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache ($\text{kgV}$) der Nenner zweier oder mehrerer Brüche. Er ist der kleinste gemeinsame Nenner, auf den wir die Brüche erweitern können.

  Ermittlung $\text{kgV}$

  Möglichkeit 1:

  Wir bestimmen kleinste gemeinsame Vielfache, indem wir die Primfaktorzerlegung der Zahlen bilden. Das $\text{kgV}$ ist das Produkt aller vorkommenden Primfaktoren. Faktoren, die in mehreren Zerlegungen vorhanden sind, werden nur einmal gewertet.

  Möglichkeit 2:

  Du kannst das kleinste gemeinsame Vielfache auch bestimmen, indem du die Vielfachenmengen der Zahlen notierst. Das $\text{kgV}$ ist dann die kleinste Zahl, die in allen Vielfachenmengen vorkommt.

  $V(4) = \lbrace 4, 8, \mathbf{12}, 16, ...\rbrace$
  $V(6) = \lbrace 6, \mathbf{12}, 18, ... \rbrace$
  $\Rightarrow \text{kgV}(4, 6) = 12$

  Beispiel 1:

  $\dfrac{1}{7}$ und $\dfrac{3}{5}$

  Die Nenner $7$ und $5$ sind bereits Primzahlen, der Hauptnenner ist das Produkt $7 \cdot 5 = \bf{35}$.

  Beispiel 2:

  $\dfrac{3}{4}$ und $\dfrac{1}{6}$

  $4 = 2 \cdot 2$
  $6 = 3 \cdot 2$
  $\text{kgV}(4, 6) = 3 \cdot 2 \cdot 2 = \bf{12}$

  Beispiel 3:

  $\dfrac{13}{21}$ und $\dfrac{5}{14}$

  $21 = 7 \cdot 3$
  $14 = 7 \cdot 2$
  $\text{kgV}(21, 14) = 7 \cdot 3 \cdot 2 = \bf{42}$

  Beispiel 4:

  $\dfrac{1}{3}$ und $\dfrac{2}{5}$ und $\dfrac{3}{10}$

  $3$ und $5$ sind Primzahlen.

  $10 = 5 \cdot 2$
  $\text{kgV}(3, 5, 10) = 5 \cdot 3 \cdot 2 = \bf{30}$

  Beispiel 5:

  $\dfrac{7}{8}$ und $\dfrac{1}{6}$ und $\dfrac{5}{18}$

  $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2$
  $6 = 3 \cdot 2$
  $18 = 3 \cdot 3 \cdot 2$
  $\text{kgV}(8, 6, 18) = 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = \bf{72}$

• Überprüfe, ob richtig subtrahiert wurde.

  Tipps

  Gleichnamige Brüche können wir direkt subtrahieren. Dabei behalten wir den Nenner und subtrahieren die Zähler.

  Ungleichnamige Brüche müssen wir zunächst durch Kürzen und Erweitern auf denselben Nenner bringen.

  Beispiel:

  $2 - \frac{2}{3} = \frac{2}{1} - \frac{2}{3} = \frac{6}{3} - \frac{2}{3} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$

  Enthält eine Differenz eine ganze oder eine gemischte Zahl, müssen wir diese zuerst in einen unechten Bruch umwandeln.

  Lösung

  Um Brüche zu subtrahieren, müssen wir diese zunächst gleichnamig machen. Haben zwei Brüche denselben Nenner, können wir die Differenz bestimmen, indem wir die Zähler subtrahieren und den Nenner beibehalten.
  Enthält die Differenz eine ganze oder eine gemischte Zahl, wandeln wir diese zuerst in einen unechten Bruch um.

  Beispiel 1:

  $\frac{1}{5} - \frac{2}{6} = \frac{1}{5} - \frac{1}{3} = \bf{\frac{1}{2}}$

  Hier wurde der zweite Bruch richtig gekürzt, die Brüche haben dann aber denselben Zähler, nicht denselben Nenner. So ist es korrekt:

  $\frac{1}{5} - \frac{2}{6} = \frac{1}{5} - \frac{1}{3} = \frac{3}{15} - \frac{5}{15} = -\frac{2}{15}$

  Beispiel 2:

  $\frac{2}{5} - \frac{1}{6} = \frac{12}{30} - \frac{5}{30} = \frac{7}{30}$

  Hier wurde richtig subtrahiert.

  Beispiel 3:

  $5 - \frac{3}{7} = \frac{5}{1} - \frac{3}{7} = \frac{35}{7} - \frac{3}{7} = \frac{32}{7} = 4\frac{4}{7}$

  Hier wurde richtig subtrahiert.

  Beispiel 4:

  $1\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{2} - \frac{1}{3} = \bf{\frac{2}{2}} = 1$

  Hier wurde die gemischte Zahl korrekt in einen unechten Bruch umgewandelt. Bevor wir subtrahieren, müssen wir die beiden Brüche aber noch gleichnamig machen. So ist es korrekt:

  $1\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{2} - \frac{1}{3} = \frac{9}{6} - \frac{2}{6} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$

• Bestimme Schritt für Schritt die Differenz von $\frac{2}{3}$ und $\frac{2}{5}$.

  Tipps

  Bevor du die Brüche subtrahieren kannst, musst du sie gleichnamig machen. Gleichnamige Brüche sind Brüche, bei denen im Nenner dieselbe Zahl steht.

  Wenn du zwei gleichnamige Brüche subtrahierst, musst du nur die Zähler subtrahieren. Den gemeinsamen Nenner kannst du übernehmen.

  Beispiel:

  $\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2 - 1}{3} = \dfrac{1}{3}$

  Lösung

  Haben zwei Brüche denselben Nenner, können wir sie direkt subtrahieren: Wir behalten den Nenner bei und subtrahieren die beiden Zähler. Sind die Brüche ungleichnamig, müssen wir sie zuerst auf einen gemeinsamen Hauptnenner bringen.

  Damit ergibt sich der folgende Rechenweg:

  Für die Differenz von $\frac{2}{3}$ und $\frac{2}{5}$ schreiben wir:

  $\dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{5}$

  Da die beiden Brüche ungleichnamig sind, erweitern wir sie zunächst jeweils um den Nenner des anderen Bruches:

  $\dfrac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \dfrac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3}$

  Wir multiplizieren aus und erhalten:

  $\dfrac{10}{15} - \dfrac{6}{15}$

  Nun haben beide Brüche denselben Nenner $15$. Diesen schreiben wir ab. Im Zähler steht die Differenz:

  $\dfrac{10 - 6}{15}$

  Als Ergebnis erhalten wir:

  $\dfrac{4}{15}$

• Berechne die Differenzen der Brüche.

  Tipps

  Wandle zunächst die ganzen und gemischten Zahlen in Brüche um.

  Beispiele:

  $5 = \frac{5}{1}$
  $1\frac{2}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 2}{9} = \frac{11}{9}$
  $4\frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{19}{4}$

  Ist das Ergebnis ein unechter Bruch, so kannst du diesen wieder als gemischte Zahl schreiben.

  Mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) kannst du einen möglichst einfachen Hauptnenner für zwei oder mehr Brüche finden.

  Beispiel:

  $15 = 5 \cdot 3$
  $21 = 7 \cdot 3$

  $\text{kgV}(15, 21) = 7 \cdot 5 \cdot 3 = 105$

  Lösung

  Um Brüche zu subtrahieren, müssen wir diese zunächst gleichnamig machen. Haben zwei oder mehr Brüche denselben Nenner, können wir die Differenz bestimmen, indem wir die Zähler subtrahieren und den Nenner beibehalten.
  Enthält die Differenz eine ganze oder eine gemischte Zahl, so wandeln wir diese zuerst in einen unechten Bruch um.

  Beispiel 1:

  $\frac{5}{6} - \frac{4}{12} = \frac{5}{6} - \frac{2}{6} = \frac {3}{6} = \bf{\frac{1}{2}}$

  Beispiel 2:

  $\frac{4}{8} - \frac{3}{12} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \bf{\frac{1}{4}}$

  Beispiel 3:

  $3 - \frac{3}{5} - \frac{5}{6} = \frac{3}{1} - \frac{3}{5} - \frac{5}{6} = \frac{90}{30} - \frac{18}{30} - \frac{25}{30} = \frac{47}{30} = \bf{1\frac{17}{30}}$

  Beispiel 4:

  $2 \frac{1}{12} - \frac{3}{8} - \frac{4}{9} = \frac{25}{12} - \frac{3}{8} - \frac{4}{9} = \frac{150}{72} - \frac{27}{72} - \frac{32}{72} = \frac{91}{72} = \bf{1\frac{19}{72}}$