Gradmaß und Bogenmaß – Umrechnung

Winkel und Winkelmaße

Winkel sind ein wichtiges Thema in der Geometrie. Du kennst bestimmt schon verschiedene Winkel wie den rechten Winkel oder den Vollwinkel. Um die Größe eines Winkels anzugeben, werden sogenannte Winkelmaße verwendet. Wahrscheinlich kennst du schon das häufig verwendete Gradmaß, in dem du zum Beispiel auch mit einem Geodreieck Winkel abmessen kannst.

Hier siehst du einige Beispiele von Winkeln, deren Größe im Gradmaß gegeben ist. Wir wollen uns im Folgenden ein anderes Winkelmaß genauer anschauen, das sogenannte Bogenmaß.

Bogenlänge und Winkel

Um das Bogenmaß zu verstehen, betrachten wir einen beliebigen Kreisausschnitt. Dieser ist durch den Winkel $\alpha$ und den Kreisbogen $b$ gekennzeichnet.

Die Länge des Kreisbogens $b$, also die Bogenlänge, ist eine Teilstrecke des gesamten Umfangs $U$ des Kreises. Wie groß diese Teilstrecke ist, hängt von der Größe des Winkels $\alpha$ ab.

Die Bogenlänge ist also derjenige Anteil des Kreisumfangs $U$, der zum Kreisausschnitt gehört. Wir bezeichnen die Bogenlänge mit $b$. Dabei hat die Bogenlänge $b$ den gleichen Anteil am Umfang $U$ wie der zugehörige Winkel $\alpha$ am Vollwinkel $360^\circ$.
Es gilt also folgende Verhältnisgleichung:

$\quad \dfrac{b}{U} = \dfrac{\alpha}{360^\circ}$

Bogenlänge und Winkel – Beispiele

Sehen wir uns anhand zweier Beispiele an, wie die Bogenlänge $b$ oder der Winkel $\alpha$ mithilfe der Verhältnisgleichung berechnet werden können.

Beispiel 1 – Bogenlänge berechnen

Wir wollen die Bogenlänge $b$ eines Kreisausschnitts mit Winkel $\alpha = 130^\circ$ bei einem Kreisumfang von $U=21~\text{cm}$ berechnen. Setzen wir diese Werte in die Formel für die Bogenlänge ein, erhalten wir:

$b = \dfrac{130^\circ \cdot 21~\text{cm}}{360^\circ} \approx 7{,}58~\text{cm}$

Die Länge des Kreisbogens $b$ am Kreisausschnitt beträgt also $7{,}58~\text{cm}$.

Beispiel 2 – Winkel berechnen

Sind der Umfang $U = 18~\text{cm}$ eines Kreises und die Bogenlänge $b = 12~\text{cm}$ eines Kreisausschnitts bekannt, können wir durch Umstellen der Formel nach $\alpha$ auch den Mittelpunktwinkel $\alpha$ des Kreisausschnitts berechnen:

$\alpha = \dfrac{b \cdot 360^\circ}{U} = \dfrac{12~\text{cm} \cdot 360^\circ}{18~\text{cm}} = 240^\circ$

Der Winkel $\alpha$ beträgt in diesem Fall also $240^\circ$.

Bogenmaß – Definition

Um nun die Bedeutung des Bogenmaßes zu erklären, betrachten wir einen Kreis vom Radius $r=1$. Man nennt einen solchen Kreis auch Einheitskreis.

Betrachten wir den Umfang des Einheitskreises:

$U_{\text{Einheitskreis}} = 2 \cdot r \cdot \pi = 2 \cdot 1 \cdot \pi = 2\,\pi$

Der gesamte Umfang des Einheitskreises entspricht also einer Bogenlänge $b = 2\,\pi$. In diesem Fall ist der Mittelpunktwinkel $\alpha$ der Vollwinkel, also $\alpha = 360^\circ$.
Im Bogenmaß wird nun einfach der Winkel in Form einer Bogenlänge am Einheitskreis angegeben, das heißt:

$\alpha \text{~im~Bogenmaß} = b \text{~am~Einheitskreis}$

Für $\alpha = 360^\circ$ gilt also $b = 2\,\pi$. Demnach können wir schreiben:

$360^\circ = 2\,\pi~\text{rad}$

Die Abkürzung $\text{rad}$ steht für radiant. Dieser Zusatz wird manchmal ergänzt, um anzuzeigen, dass es sich um eine Winkelangabe im Bogenmaß handelt. Oft wird dieser Zusatz aber auch einfach weggelassen, denn sobald die Kreiszahl $\pi$ auftaucht, ist meist klar, dass im Bogenmaß gerechnet werden muss.

Gradmaß und Bogenmaß

Aus der Tatsache, dass $360^\circ = 2\,\pi~\text{rad}$ ist, ergeben sich weitere einfache Umrechnungen typischer Winkel ins Bogenmaß:

Das Gradmaß und das Bogenmaß sind zwei verschiedene Maße für die Winkelgröße eines Kreisausschnitts.
In der letzten Zeile der Tabelle siehst du die Größe eines rechten Winkels im Gradmaß $\left( 90^\circ \right)$ und im Bogenmaß $\left( \frac{\pi}{2} \right)$. Da es sich dabei um ein Viertel des Vollwinkels handelt, gilt:

$360^\circ : 4 = 90^\circ \quad$ bzw. $\quad 2\,\pi : 4 = \dfrac{\pi}{2}$

Am Einheitskreis sieht das folgendermaßen aus:

Aus dem immer gleichen Verhältnis zum Vollwinkel ergibt sich wieder die Verhältnisgleichung, die wir schon kennen, nur dass eben $U = 2\,\pi$ ist. Demnach können wir einen Winkel im Gradmaß $\left( \alpha \right)$ ins Bogenmaß umrechnen, indem wir die Verhältnisgleichung nach $b$ auflösen:

$\begin{array}{lcccl} & \dfrac{b}{2\pi} &=& \dfrac{\alpha}{360^\circ} & \Big\vert \cdot 2\,\pi \\ \\ \Leftrightarrow & b &=& \alpha \cdot \dfrac{\pi}{180^\circ} \end{array}$

Wenn wir die Verhältnisgleichung nach dem Winkel im Grad‑ oder Bogenmaß umstellen, erhalten wir eine Gleichung zur Umrechnung zwischen den beiden Winkelmaßen.
Hier siehst du eine Übersicht der wichtigsten Winkel im Grad‑ und Bogenmaß und die Formeln zur Umrechnung zwischen beiden Maßen.

Gradmaß und Bogenmaß – Umrechnung

Wir können Winkelgrößen vom Gradmaß ins Bogenmaß umrechnen – und umgekehrt. Dazu verwenden wir die aus der Verhältnisgleichung abgeleiteten Formeln. Sehen wir uns zwei Beispiele an.

Beispiel 1 – ins Gradmaß umrechnen

Wir betrachten einen Winkel mit der Winkelgröße $b=2$ im Bogenmaß. Um das zugehörige Gradmaß zu bestimmen, setzen wir den Wert $b=2$ in die nach $\alpha$ aufgelöste Gleichung ein:

$\alpha = \dfrac{b \cdot 180^\circ}{\pi} = \dfrac{2 \cdot 180^\circ}{\pi} \approx 114{,}59^\circ$

Die Winkelgröße $b=2~\left(\text{rad}\right)$ entspricht also im Gradmaß einem Winkel von $114{,}59^\circ$.

Beispiel 2 – ins Bogenmaß umrechnen

Umgekehrt können wir eine Winkelgröße auch vom Gradmaß ins Bogenmaß umrechnen. Dazu setzen wir die Winkelgröße $\alpha = 45^\circ$ im Gradmaß in die nach $b$ aufgelöste Formel ein:

$b = \dfrac{\alpha \cdot \pi}{180^\circ} = \dfrac{45^\circ \cdot \pi}{180^\circ} = \dfrac{\pi}{4} \approx 0{,}79$

Der Winkel $\alpha = 45^\circ$ hat also im Bogenmaß einen Wert von $0{,}79~\left(\text{rad}\right)$.

Ausblick – das lernst du nach Gradmaß und Bogenmaß – Umrechnung

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Gradmaß und Bogenmaß