Arithmetische und geometrische Folgen

Arithmetische und geometrische Folgen Übung

• Gib die richtigen Bildungsvorschriften der Folge an.

  Tipps

  Es gibt zwei Arten von Bildungsvorschriften: explizit und rekursiv.

  Die explizite Bildungsvorschrift ist ein allgemeiner Term für das $n$-te Folgenglied, welches durch Einsetzen der Variable $n$ berechnet werden kann.
  Die rekursive Bildungsvorschrift ist ein Term für das $n$-te Folgenglied unter Verwendung seiner Vorgänger.

  Allgemeine Form der rekursiven Bildungsvorschrift von arithmetischen Folgen:

  Allgemeine Form der expliziten Bildungsvorschrift von arithmetischen Folgen:

  Lösung

  Die Folge $(a_n) = (4,7,10,13,16,...)$ ist eine arithmetische Folge. Das bedeutet, dass das Muster der Folge eine konstante Addition ist und dass der Abstand der Folgenglieder immer gleich bleibt. Die Folge beginnt mit dem ersten Folgenglied $a_1=4$ und es werden immer $d = 3$ addiert.

  Es gibt zwei Arten, die Bildungsvorschrift von arithmetischen Folgen darzustellen:

  • Die explizite Bildungsvorschrift der Folge ist $a_n = 4 + (n-1) \cdot 3$.

  Mit der expliziten Bildungsvorschrift kann ein Folgenglied in Abhängigkeit des Index $n$ bestimmt werden.
  Wir können beispielsweise das dritte Folgenglied durch Einsetzen von $n = 3$ in die explizite Bildungsvorschrift berechnen:
  $a_3 = 4+ (3-1) \cdot 3 = 4 + 2\cdot3 = 10$

  • Die rekursive Bildungsvorschrift der Folge ist $a_{n+1}= a_n +3$, wobei das erste Folgenglied $a_1=4$ ist.

  Mit der rekursiven Bildungsvorschrift kann ein Folgenglied in Abhängigkeit seiner Vorgänger bestimmt werden. Aus diesem Grund muss immer das erste Folgenglied angegeben werden, um weitere Folgenglieder ausrechnen zu können.
  Wir bestimmen die nächsten Folgenglieder mit der rekursiven Bildungsvorschrift:
  $a_2 = 4+3 = 7$
  $a_3 = 7+3 = 10$

• Bestimme die Bildungsvorschriften der Folge.

  Tipps

  Allgemeine Form der expliziten Bildungsvorschrift von geometrischen Folgen:

  Allgemeine Form der rekursiven Bildungsvorschrift von geometrischen Folgen:

  Die Folgenglieder werden immer mit $3$ multipliziert. Das bedeutet, dass wir in der Formel für $q$ die $3$ einsetzen können.

  Lösung

  Die Folge $(a_n) = (2,6,18,54,162,...)$ ist eine geometrische Folge. Die Folgenglieder werden stets jeweils mit den gleichen Faktor $q$ multipliziert. Diese Folge beginnt mit $a_1 = 2$ und die Folgenglieder werden immer mit $q=3$ multipliziert.

  Für die Bildungsvorschrift dieser geometrischen Folge gibt es nun zwei Möglichkeiten:

  • Die explizite Bildungsvorschrift ist $a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$.

  Mit dieser Bildungsvorschrift kann ein beliebiges Folgenglied anhand des Index $n$ bestimmt werden.
  Damit können wir zum Beispiel $a_4 = 2 \cdot 3^{4-1} = 2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54$ direkt durch Einsetzen von $n=4$ berechnen.

  • Die rekursive Bildungsvorschrift ist $a_{n+1} = a_n \cdot 3$, wobei das erste Folgenglied $a_1 = 2 $ ist.

  Mit der rekursiven Bildungsvorschrift kann jedes Folgenglied mithilfe seiner Vorgänger bestimmt werden. Damit das funktioniert und wir alle Folgenglieder ausrechnen können, muss bei der rekursiven Bildungsvorschrift auch immer das erste Folgenglied $a_1$ angegeben werden.
  Demnach lassen sich beispielsweise die nächsten Folgenglieder bestimmen:
  $a_2 = a_1 \cdot 3 = 2 \cdot 3 = 6$
  $a_3 = a_2 \cdot 3 = 6 \cdot 3 = 18$

• Kennzeichne die Teile der expliziten Bildungsvorschrift.

  Tipps

  Zunächst solltest du herausfinden, ob es sich bei der Folge um eine arithmetische oder geometrische Folge handelt.

  Wenn du das Muster nicht erkennst, kann es hilfreich sein, die Folge mit den einzelnen Folgengliedern nacheinander mit der Vorschrift zu bestimmen und aufzuschreiben.

  Bei der arithmetischen Folge $(a_n) = (1,3,5,7,...)$ lässt sich zum Beispiel erkennen, dass die Folge bei $a_1=1$ beginnt und zu den Folgengliedern immer $d=2$ addiert wird. Wenn du das Muster so erkennen kannst, dann lässt sich die explizite Bildungsvorschrift beispielsweise auch schnell aufstellen: $a_n = 1 + (n-1) \cdot 2$.

  Lösung

  Mithilfe der Bildungsvorschrift lassen sich die einzelnen Folgenglieder durch Einsetzen ihres Index $n$ berechnen. Dadurch können wir herausfinden, ob die Folge arithmetisch oder geometrisch ist. Denn dann wissen wir, ob sich die Folgenglieder um einen Summanden $d$ wie bei arithmetischen Folgen oder einen Faktor $q$ wie bei geometrischen Folgen unterscheiden.

  Erste Folge: $a_n = 1 \cdot (\frac{1}{2})^{n-1}$
  Setzen wir nacheinander natürliche Zahlen für $n$ ein, dann erhalten wir die Folgenglieder der Folge $(a_n) = (1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},...)$. Anhand der Folgenglieder erkennen wir, dass diese Folge eine geometrische Folge ist, weil sich die Folgenglieder um den Faktor $q= \frac{1}{2}$ unterscheiden. Das erste Folgenglied ist hier außerdem $a_1 =1 $.

  Zweite Folge: $a_n = -9 + (n-1) \cdot 6$
  Durch Einsetzen verschiedener Werte für den Index $n$ können wir einige Folgenglieder der Folge $(a_n) = (-9,-3,3,9,15,...)$ bestimmen. Da die Differenz der Folgenglieder hier immer gleich ist, muss diese Folge eine arithmetische Folge sein. Die Folgenglieder unterscheiden sich um den gleichen Summanden $d=6$, wobei die Folge bei $a_1 = -9$ startet.

  Dritte Folge: $a_n = 12 + (n-1) \cdot (-5)$
  Setzen wir auch hier verschiedene Werte für den Index $n$ ein, dann lassen sich die ersten Folgenglieder der Folge $(a_n) = (12,7,2,-3,-8,...)$ bestimmen. Obwohl diese Folge immer kleiner wird, erkennen wir hier gut, dass der Abstand zweier Folgenglieder immer gleich ist. Diese Folge muss eine arithmetische Folge sein. Von den Folgengliedern werden stets $5$ subtrahiert. Das bedeutet, dass der Summand hier $d= -5$ ist. Außerdem können wir erkennen, dass das erste Folgenglied $a_1= 12$ ist.

  Vierte Folge: $ a_n = 2 \cdot 2^{n-1}$
  Die ersten Folgenglieder der Folge $(a_n)= (2,4,8,16,32,...)$ lassen sich durch Einsetzen der ersten natürlichen Zahlen für den Index $n$ bestimmen. Anhand der Folgenglieder erkennen wir, dass die Folge eine geometrische Folge sein muss. Denn wir sehen, dass die Folgenglieder sich stets um den Faktor $q=2$ unterscheiden. An den ersten Folgengliedern erkennen wir auch direkt: $a_1 = 2$.

• Ermittle die expliziten Bildungsvorschriften der Folgen.

  Tipps

  Überlege zunächst, um welche Art von Folge es sich handelt.

  Beispiel einer expliziten Bildungsvorschrift für eine arithmetische Folge:

  Beispiel einer expliziten Bildungsvorschrift für eine geometrische Folge:

  Lösung

  Sowohl arithmetische als auch geometrische Folgen lassen sich mithilfe einer Bildungsvorschrift explizit darstellen.
  Die explizite Bildungsvorschrift für arithmetische Folgen lautet im Allgemeinen: $a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$.
  Für geometrische Folgen schreiben wir allgemein: $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$.
  Mit expliziten Bildungsvorschriften lässt sich jedes Folgenglied direkt aus dem Index $n$ bestimmen. Die Bildungsvorschriften für die Folgen lauten:

  Erste Folge: $(a_n)= (3,6,12,24,48,...)$
  Hier handelt es sich um eine geometrische Folge, da sich der Wert der Folgenglieder stets um den Faktor $2$ verändert. Das erste Folgenglied ist $a_1 = 3$. Mit $q = 2$ erhalten wir die explizite Bildungsvorschrift:
  $a_n=3\cdot 2^{n-1}$
  Damit können wir zum Beispiel $a_4 = 3 \cdot 2^{4-1} = 3 \cdot 2^3 = 3 \cdot 8 = 24$ berechnen.

  Zweite Folge: $(a_n)= (6,10,14,18,22,...)$
  Diese Folge ist eine arithmetische Folge, da zu den Folgengliedern immer die gleiche Zahl $4$ addiert wird. Durch Einsetzen des ersten Folgengliedes $a_1=6$ und dem Summanden $d=4$ erhalten wir die explizite Bildungsvorschrift:
  $a_n=6+ (n-1) \cdot 4$
  Mit dieser Vorschrift lässt sich zum Beispiel das fünfte Folgenglied $a_5 = 6 + (5-1) \cdot 4 = 6 + 4\cdot 4 =$
  $6+16 = 22 $ direkt bestimmen.

  Dritte Folge: $(a_n)= (2,-6,18,-52,162,...)$
  Bei dieser Folge handelt es sich um eine geometrische Folge, da die Folgenglieder stets mit $-3$ multipliziert werden. Mit $q=-3$ und dem ersten Folgenglied $a_1 = 2$ ergibt sich die explizite Bildungsvorschrift:
  $a_n=2\cdot (-3)^{n-1}$
  Mithilfe dieser Vorschrift können wir beispielsweise das dritte Folgenglied $a_3 = 2 \cdot (-3)^{3-1} = 2 \cdot (-3)^2 =$
  $2 \cdot 9 = 18 $ einfach durch Einsetzen des Index $3$ des Folgengliedes bestimmen.

  Vierte Folge: $(a_n)= (2,8,14,20,26,...)$
  Die letzte Folge ist eine arithmetische Folge, da zu den Folgengliedern stets die gleiche Zahl $6$ addiert wird. Zusammen mit dem ersten Folgenglied $a_1 = 2$ und dem Summanden $d=6$ ergibt sich für die explizite Bildungsvorschrift:
  $a_n=2+ (n-1) \cdot 6$
  Damit lässt sich beispielsweise das vierte Folgenglied $a_4 = 2 + (4-1) \cdot 6 = 2+ 3\cdot 6 = 2+ 18 = 20$ einfach berechnen.

• Vervollständige den Text zu arithmetischen und geometrischen Folgen.

  Tipps

  Um zwischen arithmetischen und geometrischen Folgen zu unterscheiden, solltest du überlegen, ob zwischen den Folgengliedern addiert oder multipliziert wird.

  Wenn du weißt, ob es eine arithmetische oder geometrische Folge ist, musst du im nächsten Schritt herausfinden, welche Zahl konstant addiert wird, bzw. mit welchem konstanten Faktor multipliziert wird.

  Lösung

  Die Folge $(a_n)=(2,6,10,14,18, ... )$ ist eine arithmetische Folge, weil zu den Folgengliedern konstant die gleiche Zahl addiert wird. Anders als bei geometrischen Folgen werden die Folgenglieder nicht mit einem konstanten Faktor multipliziert.
  Die Zahl, die bei dieser Folge zu jedem Folgenglied addiert wird, ist die $4$. Das heißt, nach dem fünften Folgenglied $a_5 = 18$ kommt das Folgenglied $a_6 = 22$.

• Stelle die Bildungsvorschriften der Folge auf und ergänze das nächste Folgenglied.

  Tipps

  Um die explizite Bildungsvorschrift zu ermitteln, betrachten wir die Folge und versuchen, das gesamte Muster der Folge zu verstehen. Erkennen wir wie im Bild zum Beispiel, dass die Folgenglieder immer mit $2$ addiert werden, dann können wir die explizite Bildungsvorschrift mit $d=2$ notieren.

  Für die rekursive Bildungsvorschrift reicht es, zu betrachten, wie sich die Folgenglieder zueinander verändern. Erkennen wir, wie hier, eine Multiplikation mit dem Faktor $q = -\frac{1}{2}$, dann ergibt sich als rekursive Bildungsvorschrift für das nächste Folgenglied $a_{n+1} = a_n \cdot (-\frac{1}{2})$. Dabei ist $a_n$ der Vorgänger und wir geben das erste Folgenglied $a_1=1$ immer mit an.

  Lösung

  Um die Folgen zu ergänzen und die beiden Bildungsvorschriften zu bestimmen, muss erst untersucht werden, ob es sich um eine arithmetische oder geometrische Folge handelt. Dann können wir die explizite und rekursive Bildungsvorschrift aufstellen, indem wir das erste Folgenglied $a_1$ und den Summanden $d$ für arithmetische Folgen bzw. den Faktor $q$ für geometrische Folgen identifizieren.

  Erste Folge: $(a_n)= (1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{8}, \frac{1}{16},\mathbf{-\frac{1}{32}},...)$
  Bei dieser Folge handelt es sich um eine geometrische Folge, da sich die Folgenglieder stets um den Faktor
  $q = -\frac{1}{2}$ unterscheiden. Mit dem ersten Folgenglied $a_1 = 1$ ergeben sich die beiden Bildungsvorschriften:

  • explizit: $a_n=1 \cdot (\mathbf{-\frac{1}{2}})^{n-1}$
  • rekursiv: $a_{n+1} = a_n \cdot (-\frac{1}{2})$ mit $a_1=\mathbf{1}$

  
  

  Zweite Folge: $(b_n)= (16,11,6,1,-4,\mathbf{-9},...)$
  Diese Folge ist eine arithmetische Folge, weil der Wert der Folgenglieder im gleichen Abstand kleiner wird. Von den Folgengliedern wird immer $5$ abgezogen, sodass wir hier den Summanden $d=-5$ einsetzen können. Für die Bildungsvorschriften ergibt das:

  • explizit: $b_n=\mathbf{16} + (n-1) \cdot \mathbf{(-5)}$
  • rekursiv: $b_{n+1} = b_n - 5$ mit $b_1=16$

  
  

  Dritte Folge: $(c_n)= (9,-3,1, -\frac{1}{3}, \frac{1}{9},\mathbf{-\frac{1}{27}},...)$
  Die letzte Folge ist eine geometrische Folge, weil sich die Folgenglieder hier um den konstanten Faktor $q = - \frac{1}{3}$ verändern.

  • explizit: $c_n=\mathbf{9} \cdot (-\frac{1}{3})^{n-1}$
  • rekursiv: $c_{n+1} = c_n \cdot(\mathbf{-\frac{1}{3}})$ mit $c_1=9$