Beweise mit den Additionssätzen führen (2)

Beweise mit den Additionssätzen führen (2) Übung

• Berechne die Identität $\sin(3\alpha)=3\sin(\alpha)-4\sin^3(\alpha)$ für $\alpha=30^\circ$.

  Tipps

  $\sin(3\cdot30^\circ)=\sin(90^\circ)$.

  Spezielle Werte der Sinusfunktion kannst du in der Formelsammlung finden.

  Für den Winkel $\alpha=30^\circ$ gilt $\sin(30^\circ)=\frac12$.

  Lösung

  Es gilt $\sin(90^\circ)=1$.

  Auf der anderen Seite ist $\sin(90^\circ)=\sin(3\cdot 30^\circ)$.

  Nun kann die Formel $\sin(3\alpha)=3\sin(\alpha)-4\sin^3(\alpha)$ verwendet werden:

  $\begin{align*} \sin(3\cdot 30^\circ)&=3\sin(30^\circ)-4\sin^3(30^\circ)&|&~\sin(30^\circ)=\frac12\\ &=3\cdot\frac12-4\cdot\left(\frac12\right)^3\\ &=\frac32-\frac48\\ &=1. \end{align*}$

  Somit ist diese Identität für den Winkel $30^\circ$ gezeigt.

• Beschreibe, wie $\sin(3\alpha)=3\sin(\alpha)-4\sin^3(\alpha)$ nachgewiesen werden kann.

  Tipps

  Für die Berechnung des Sinus der Summe zweier Winkel wird der folgende Additionssatz verwendet:

  $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$.

  Der Winkel $3\alpha$ kann als Summe $2\alpha+\alpha$ geschrieben werden, um den Additionssatz anwenden zu können.

  Lösung

  Der Winkel $3\alpha$ kann als Summe $2\alpha+\alpha$ geschrieben werden, um den Additionssatz anwenden zu können:

  $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$.

  $\begin{align*} \sin(3\alpha)&=\sin(2\alpha+\alpha)\\ &=\sin(2\alpha)\cdot\cos(\alpha)+\cos(2\alpha)\cdot\sin(\alpha). \end{align*}$

  Im Folgenden werden die Identitäten

  • $\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)$
  • $\cos(2\alpha)=1-2\sin^2(\alpha)$
  • $\cos^2(\alpha)=1-\sin^2(\alpha)$

  verwendet:

  $\begin{align*} \sin(2\alpha)\cdot\cos(\alpha)+\cos(2\alpha)\cdot\sin(\alpha)&=2\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)\cdot\cos(\alpha)+\left(1-2\sin^2(\alpha)\right)\cdot\sin(\alpha)\\ &=2\sin(\alpha)\cdot\cos^2(\alpha)+\sin(\alpha)-2\sin^3(\alpha)\\ &=2\sin(\alpha)\cdot\left(1-\sin^2(\alpha)\right)+\sin(\alpha)-2\sin^3(\alpha)\\ &=2\sin(\alpha)-2\sin^3(\alpha)+\sin(\alpha)-2\sin^3(\alpha)\\ &=3\sin(\alpha)-4\sin^3(\alpha). \end{align*}$

  Und damit ist diese Aussage bewiesen.

• Berechne $\sin(270^\circ)$ mithilfe der Gleichung $\sin(3\alpha)=3\sin(\alpha)-4\sin^3(\alpha) $.

  Tipps

  Es gilt $\sin(90^\circ)=1$.

  Auch hier lässt sich der Funktionswert für $\alpha=90^\circ$ ablesen. Kannst du den Funktionswert für $\sin(270^\circ)$ erahnen, wenn du an die Symmetrieeigenschaften der Sinus-Funktion denkst?

  Lösung

  Da $270^\circ=3\cdot90^\circ$ ist und $\sin(90^\circ)=1$ kann wie folgt gerechnet werden:

  $\begin{align*} \sin(270^\circ)&=\sin(3\cdot90^\circ)\\ &=3\sin(90^\circ)-4\sin^3(90^\circ)\\ &=3\cdot1-4 \cdot 1^3\\ &=3-4\\ &=-1 \end{align*}$

  Dass der Sinuswert für $\alpha=270^\circ$ den Funktionswert $y=-1$ annimmt, lässt sich im Bild schon erahnen.

• Setze $\sin(\alpha+90^\circ)$ in Beziehung zu der Kosinusfunktion.

  Tipps

  Verwende den Additionssatz:

  $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$.

  Dies ist der Graph der Kosinusfunktion.

  Dies ist der Graph der Sinusfunktion.

  Lösung

  Mit dem Additionssatz

  $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$

  und $\beta=90^\circ$ erhält man

  $\sin(\alpha+90^\circ)=\sin(\alpha)\cdot\cos(90^\circ)+\cos(\alpha)\cdot\sin(90^\circ)$.

  Es gilt

  • $\sin(90^\circ)=1$ sowie
  • $\cos(90^\circ)=0$.

  Damit gilt:

  $\sin(\alpha+90^\circ)=\sin(\alpha)\cdot0+\cos(\alpha)\cdot1=\cos(\alpha)$.

  Da der Kosinus achsensymmetrisch zur y-Achse ist, gilt auch

  $\sin(\alpha+90^\circ)=\cos(\alpha)=\cos(-\alpha)$.

• Gib an, welcher Additionssatz zur Berechnung von $\sin(3\alpha)$ verwendet werden kann.

  Tipps

  Der bereits bewiesenen Gleichung $\sin(2\alpha+\alpha)=\sin(2\alpha)\cdot\cos(\alpha)+\cos(2\alpha)\cdot\sin(\alpha)$ liegt der gesuchte Additionssatz zugrunde.

  Lösung

  Der verwendete Additionssatz ist der erste Additionssatz:

  $\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cdot\cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot\sin(\beta)$

• Weise nach, dass $\frac12(1+\cos(2\alpha))=\cos^2(\alpha)$ ist.

  Tipps

  Die folgenden Identitäten können verwendet werden:

  • $\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)$
  • $\cos(2\alpha)=1-2\sin^2(\alpha)$
  • $\cos^2(\alpha)=1-\sin^2(\alpha)$

  Es gilt der trigonometrische Pythagoras

  $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$.

  Lösung

  Wir wollen zum einen $\cos(2\alpha)=1-2\cdot \sin^2(\alpha)$ verwenden, zum anderen den trigonometrischen Satz des Pythagoras. Dieser besagt, dass $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)=1$ ist. Wir können somit $\cos^2(\alpha)$ durch $1-\sin(\alpha)$ ersetzen. Durch diese beiden Identitäten ergibt sich diese Gleichung:

  $\begin{align} \frac12 \cdot \left(1+\cos(2\alpha) \right) & = \frac12 \cdot \left(1+1-2\cdot \sin^2(\alpha) \right)\\ & = \frac12 \cdot \left( 2 - 2\cdot \sin^2(\alpha) \right)\\ & = 1 - \sin^2(\alpha) = \cos^2(\alpha)\\ \end{align}$