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Biquadratische Gleichungen

In biquadratischen Gleichungen stehen Potenzen wie x4x^{4} und x2x^{2}. Man lernt, sie durch Substitution zu lösen, die quadratische Gleichung mit der pqpq-Formel oder Mitternachtsformel zu lösen und danach wieder einzusetzen. Interessiert? Das und vieles andere findest du im folgenden Text.

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Lerntext zum Thema Biquadratische Gleichungen

Biquadratische Gleichungen – Definition

Biquadratische Gleichungen sind Gleichungen, in denen die xx-Potenzen x4x^{4} und x2x^{2} vorkommen. Sie unterscheiden sich von den quadratischen Gleichungen, deren höchste Potenz x2x^{2} ist.

So sieht eine biquadratische Gleichung aus:

ax4+bx2+c=0ax^{4} + bx^{2} + c = 0

Biquadratische Gleichungen sind somit Spezialfälle von allgemeinen Gleichungen vierten Grads (ax4+bx3+cx2+dx+e=0ax^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e = 0), die keine x3x^{3} und x1x^{1} Potenzen enthalten. Biquadratisch heißt frei übersetzt doppelt quadratisch. Der Name deutet also darauf hin, dass bei einer biquadratischen Gleichung die Summanden einer quadratischen Gleichung, die ein xx enthalten, gewissermaßen noch einmal quadriert werden:

ax2+bx+c=0a(x2)2+b(x)2+c=0ax4+bx2+c=0ax^{2} + bx + c = 0 \Rightarrow a(x^{2})^{2} + b(x)^{2} + c = 0 \Rightarrow ax^{4} + bx^{2} + c = 0

Beispiele für biquadratische Gleichungen

x410x2+9=0x^{4} - 10x^{2} + 9 = 0

x42x2+34=0x^{4} - 2x^{2} + 34 = 0

Biquadratische Gleichungen durch Substitution lösen

Biquadratische Gleichungen lassen sich mit dem Prinzip der Substitution in drei Schritten lösen.

Schritt 1: Substitution

Bei der Substitution wird jedes x2x^{2} in einer biquadratischen Gleichung durch eine andere Variable, beispielsweise ein zz, ersetzt. Es gilt dann also x2=zx^{2}=z.

Beispiel:

x410x2+9=0x^{4} - 10x^{2} + 9 = 0

z210z+9=0z^{2} - 10z + 9 = 0

x4x^{4} entspricht (x2)2(x^{2})^{2}, deshalb wird aus x4x^{4} bei der Substitution x2x^{2}.

Die durch die Substitution entstandene Gleichung lässt sich als quadratische Gleichung mit der pqpq-Formel oder der Mitternachtsformel lösen.

Schritt 2: pqpq-Formel oder Mitternachtsformel

Wir ermitteln an dieser Stelle die Werte pp und qq, um die pqpq-Formel anzuwenden.

z210z+9=0z^{2} – 10z + 9 = 0

p=10p = -10

q=9q = 9

Diese Werte setzen wir in die pqpq-Formel ein, um die Gleichung zu lösen.

z1,2=102±(102)29z_{1,2} = \frac{10}{2} \pm \sqrt{ \left( -\frac{10}{2} \right)^{2} -9 }

z1,2=5±(5)29z_{1,2} = 5 \pm \sqrt{ \left(-5 \right)^{2} -9 }

z1,2=5±259z_{1,2} = 5 \pm \sqrt{ 25 -9 }

z1,2=5±16z_{1,2} = 5 \pm \sqrt{ 16 }

z1,2=5±4z_{1,2} = 5 \pm 4

Du erhältst folgende Werte für zz:

z1=9z_{1} = 9

z2=1z_{2} = 1

Mit der pqpq-Formel lassen sich quadratische Gleichungen lösen, die in der Normalform stehen.

x2+px+q=0x^{2} + px + q = 0

Für eine Gleichung, die nicht in der Normalform steht, kannst du die Mitternachtsformel verwenden.

Schritt 3: Resubstitution

Um die biquadratische Gleichung zu lösen, wird im dritten Schritt die Substitution durch eine Resubstitution rückgängig gemacht. Aus zz wird wieder x2x^{2}.

z1=9x2=9z_{1} = 9 \Rightarrow x^{2} = 9

z2=1x2=1z_{2} = 1 \Rightarrow x^{2} = 1

Du erhältst folgende Lösungen für xx:

x2=9x1=3 x^{2} = 9 \Rightarrow x_{1} = 3 und x2=3x_{2} = -3

x2=1x3=1 x^{2} = 1 \Rightarrow x_{3} = 1 und x4=1x_{4} = -1

Diese biquadratische Gleichung hat vier Lösungen. Das trifft jedoch nicht auf alle biquadratischen Gleichungen zu.

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Biquadratische Gleichungen – Beispiele und Sonderfälle

Es gibt Sonderfälle, bei denen eine biquadratische Gleichung weniger als vier Lösungen hat.

Biquadratische Gleichungen mit zwei Lösungen

Eine biquadratische Gleichung hat zwei Lösungen, wenn einer der Werte für zz negativ ist.

Beispiel:

x410x211=0x^{4} - 10x^{2} - 11 = 0

Durch die Substitution x2=zx^{2}=z erhältst du:

z210z11=0z^{2} - 10z - 11 = 0

Jetzt wendest du die pqpq-Formel an:

z1,2=102±(102)2(11)z_{1,2} = \frac{10}{2} \pm \sqrt{ \left( -\frac{10}{2} \right)^{2} - (-11) }

z1,2=5±25+11z_{1,2} = 5 \pm \sqrt{ 25 + 11 }

z1,2=5±36z_{1,2} = 5 \pm \sqrt{ 36 }

Du erhältst folgende Werte für zz:

z1=11x2=11z_{1} = 11 \Rightarrow x^{2} = 11

z2=1x2=1z_{2} = -1 \Rightarrow x^{2} = -1

Daraus ergeben sich nach der Resubstitution folgende xx-Werte für z1z_{1}:

x1=11 und x2=11x_{1} = \sqrt{11} \text{ und } x_{2} = -\sqrt{11}

Da aus einer negativen Zahl keine Wurzel gezogen werden kann, kannst du allerdings für z2=1z_{2}=-1 keine Werte erhalten. Die biquadratische Gleichung x410x211=0x^{4} - 10x^{2} - 11 = 0 hat deshalb nur zwei Lösungen.

Biquadratische Gleichungen mit keiner Lösung

Eine biquadratische Gleichung hat keine Lösung, wenn bereits in der pqpq-Formel unter der Wurzel eine negative Zahl steht.

Beispiel:

x42x2+34=0x^{4} - 2x^{2} + 34 = 0

Substitution:

z22z+34=0z^{2} - 2z + 34 = 0

pqpq-Formel:

z1,2=22±(22)234z_{1,2} = \frac{2}{2} \pm \sqrt{ \left( -\frac{2}{2} \right)^{2} -34 }

z1,2=1±434z_{1,2} = 1 \pm \sqrt{ 4 -34 }

z1,2=1±30z_{1,2} = 1 \pm \sqrt{ -30 }

Die Gleichung hat keine Lösung, da aus einer negativen Zahl im Bereich der reellen Zahlen keine Wurzel gezogen werden kann.

Biquadratische Gleichungen – Zusammenfassung

In biquadratischen Gleichungen kommen die xx-Potenzen x4x^{4} und x2x^{2} vor.

ax4+bx2+c=0ax^{4} + bx^{2} + c = 0

Du kannst biquadratische Gleichungen mithilfe der Substitution in drei Schritten lösen:

  1. Substitution
  2. Lösen der Gleichung mit der pqpq-Formel oder der Mitternachtsformel
  3. Resubstitution

Biquadratische Gleichungen können bis zu vier Lösungen haben. Wenn beim Lösen der substituierten Gleichung z2+pz+q=0z^{2} + pz + q = 0 unter der Wurzel eine negative Zahl steht, hat die biquadratische Gleichung keine Lösung.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Biquadratische Gleichungen

Biquadratische Gleichungen Übung

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