Biquadratische Gleichungen
In biquadratischen Gleichungen stehen Potenzen wie und . Man lernt, sie durch Substitution zu lösen, die quadratische Gleichung mit der -Formel oder Mitternachtsformel zu lösen und danach wieder einzusetzen. Interessiert? Das und vieles andere findest du im folgenden Text.
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Lerntext zum Thema Biquadratische Gleichungen
Biquadratische Gleichungen – Definition
Biquadratische Gleichungen sind Gleichungen, in denen die -Potenzen und vorkommen. Sie unterscheiden sich von den quadratischen Gleichungen, deren höchste Potenz ist.
So sieht eine biquadratische Gleichung aus:
Biquadratische Gleichungen sind somit Spezialfälle von allgemeinen Gleichungen vierten Grads (), die keine und Potenzen enthalten. Biquadratisch heißt frei übersetzt doppelt quadratisch. Der Name deutet also darauf hin, dass bei einer biquadratischen Gleichung die Summanden einer quadratischen Gleichung, die ein enthalten, gewissermaßen noch einmal quadriert werden:
Beispiele für biquadratische Gleichungen
Biquadratische Gleichungen durch Substitution lösen
Biquadratische Gleichungen lassen sich mit dem Prinzip der Substitution in drei Schritten lösen.
Schritt 1: Substitution
Bei der Substitution wird jedes in einer biquadratischen Gleichung durch eine andere Variable, beispielsweise ein , ersetzt. Es gilt dann also .
Beispiel:
entspricht , deshalb wird aus bei der Substitution .
Die durch die Substitution entstandene Gleichung lässt sich als quadratische Gleichung mit der -Formel oder der Mitternachtsformel lösen.
Schritt 2: -Formel oder Mitternachtsformel
Wir ermitteln an dieser Stelle die Werte und , um die -Formel anzuwenden.
Diese Werte setzen wir in die -Formel ein, um die Gleichung zu lösen.
Du erhältst folgende Werte für :
Mit der -Formel lassen sich quadratische Gleichungen lösen, die in der Normalform stehen.
Für eine Gleichung, die nicht in der Normalform steht, kannst du die Mitternachtsformel verwenden.
Schritt 3: Resubstitution
Um die biquadratische Gleichung zu lösen, wird im dritten Schritt die Substitution durch eine Resubstitution rückgängig gemacht. Aus wird wieder .
Du erhältst folgende Lösungen für :
und
und
Diese biquadratische Gleichung hat vier Lösungen. Das trifft jedoch nicht auf alle biquadratischen Gleichungen zu.
Biquadratische Gleichungen – Beispiele und Sonderfälle
Es gibt Sonderfälle, bei denen eine biquadratische Gleichung weniger als vier Lösungen hat.
Biquadratische Gleichungen mit zwei Lösungen
Eine biquadratische Gleichung hat zwei Lösungen, wenn einer der Werte für negativ ist.
Beispiel:
Durch die Substitution erhältst du:
Jetzt wendest du die -Formel an:
Du erhältst folgende Werte für :
Daraus ergeben sich nach der Resubstitution folgende -Werte für :
Da aus einer negativen Zahl keine Wurzel gezogen werden kann, kannst du allerdings für keine Werte erhalten. Die biquadratische Gleichung hat deshalb nur zwei Lösungen.
Biquadratische Gleichungen mit keiner Lösung
Eine biquadratische Gleichung hat keine Lösung, wenn bereits in der -Formel unter der Wurzel eine negative Zahl steht.
Beispiel:
Substitution:
-Formel:
Die Gleichung hat keine Lösung, da aus einer negativen Zahl im Bereich der reellen Zahlen keine Wurzel gezogen werden kann.
Biquadratische Gleichungen – Zusammenfassung
In biquadratischen Gleichungen kommen die -Potenzen und vor.
Du kannst biquadratische Gleichungen mithilfe der Substitution in drei Schritten lösen:
- Substitution
- Lösen der Gleichung mit der -Formel oder der Mitternachtsformel
- Resubstitution
Biquadratische Gleichungen können bis zu vier Lösungen haben. Wenn beim Lösen der substituierten Gleichung unter der Wurzel eine negative Zahl steht, hat die biquadratische Gleichung keine Lösung.
Häufig gestellte Fragen zum Thema Biquadratische Gleichungen
Biquadratische Gleichungen Übung
-
Bei welchen Gleichungen handelt es sich um biquadratischen Gleichungen?
-
Welche Aussagen über biquadratische Gleichungen sind richtig?
-
Bringe die Schritte zur Lösung der biquadratischen Gleichung in die richtige Reihenfolge.
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Verbinde die biquadratische Gleichung mit der passenden substituierten Gleichung.
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Löse die biquadratische Gleichung.
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Treffen die Elemente auf biquadratische Gleichungen mit keiner, mit zwei oder mit vier Lösungen zu?
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