Eigenschaften verschiedener Funktionstypen

Eigenschaften verschiedener Funktionstypen Übung

• Gib die Definitions- und Wertebereiche der gegebenen Funktionen an.

  Tipps

  So sieht der Graph der Funktion $f(x)=|x|$ aus.

  Du darfst niemals durch null teilen.

  Setzt man eine negative Zahl in die Wurzelfunktion des Taschenrechners ein, dann erhält man einen Fehler.

  Bewegst du dich in eine Richtung auf der $x$-Achse entlang, dann wiederholt sich die Tangensfunktion in Schritten von $\pi$.

  Lösung

  Um den Definitionsbereich einer Funktion zu bestimmen, muss man sich überlegen, welche Werte in die Funktion eingesetzt werden können. Oft sind das alle reellen Zahlen $\mathbb{R}$. Achtung! Manche Funktionen bilden Ausnahmen.

  Den Wertebereich einer Funktion bestimmt man, indem man sich überlegt, welche Werte die Funktion annehmen kann. In vielen Fällen sind das ebenfalls alle reellen Zahlen. Hier gibt es allerdings mehr Ausnahmen.

  Erste Funktion: $\textbf{f(x)=|x|}$

  Diese Funktion hat für den Definitionsbereich keine Ausnahmen. Alle reellen Zahlen können eingesetzt werden. Also gilt:

  $D=\mathbb{R}$.

  Da der Betrag jedoch alle negativen Zahlen positiv macht, kann die Funktion nur positive Werte annehmen. Damit gilt:

  $W=\mathbb{R}^{\geq{0}}$.

  Zweite Funktion: $\textbf{ f(x)=} \frac{\textbf{1}}{\textbf{x}} $

  Bei dieser Funktion hat der Definitonsbereich eine Besonderheit: In dieser Funktion wird durch die eingesetzte Zahl geteilt. Eine der wichtigsten Regeln der Mathematik ist jedoch, dass nicht durch null geteilt werden darf. Deshalb muss diese Zahl vom Definitionsbereich ausgeschlossen werden.

  $D=\mathbb{R} \backslash \{0\}$

  Ein Blick auf den Funktionsgraphen zeigt, dass die Funktion fast alle reellen Zahlen annehmen kann. Sie hat jedoch eine waagerechte Asymptote bei $y=0$. Das bedeutet, dass sich der Funktionswert immer weiter der Null annähert, diese jedoch nie erreichen wird. Also gilt für den Wertebereich:

  $W=\mathbb{R} \backslash \{0\}$.

  Dritte Funktion: $\textbf{f(x)=}\sqrt{\textbf{x}}$

  Die Wurzelfunktion ist nur für positive Zahlen definiert. Man kann also keine negativen Zahlen einsetzen. Damit ergibt sich für den Definitionsbereich:

  $D=\mathbb{R}^{\geq{0}}$.

  Da man nur positive Werte einsetzt und das Vorzeichen unverändert bleibt, kann die Funktion auch nur positive Werte ausgeben.

  $W=\mathbb{R}^{\geq{0}}$

  Vierte Funktion: $\textbf{f(x)=sin(x)}$

  In die Sinusfunktion können alle reellen Zahlen eingesetzt werden. Damit ergibt sich:

  $D=\mathbb{R}$.

  Allerdings kann sie nur Werte zwischen $-1$ und $1$ annehmen. Somit erhält man einen Wertebereich von:

  $W=[-1;~1]$.

  Fünfte Funktion: $\textbf{f(x)=tan(x)}$

  Die Tangensfunktion ist definiert durch:

  $f(x)=\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$.

  Man teilt durch $\cos(x)$, eine Funktion, die abhängig von $x$ ist. Da man aber nicht durch null teilen darf, darf man keine Zahlen einsetzen, bei denen $\cos(x)=0$ gilt. Dies ist bei $n\pi + \frac{\pi}{2} | n \in \mathbb{Z} $ der Fall. Also gilt für den Definitionsbereich:

  $D=\mathbb{R} \backslash \{n\pi + \frac{\pi}{2} | n \in \mathbb{Z}\}$.

  Ein Blick auf den Funktionsgraphen zeigt, dass die Funktion alle reellen Zahlen annehmen kann. Also gilt für den Wertebereich:

  $W=\mathbb{R}$.

• Bestimme die Asymptoten der Funktionen $f$ und $g$.

  Tipps

  Die $x$-Achse liegt auf der Geraden $y=0$.

  Senkrechte Asymptoten sind von der Form $x=const.$.

  Lösung

  Die Asymptoten der Funktion $f(x)=\frac{1}{x}$

  Im Unendlichen nähert sich die Funktion der $x$-Achse. Also hat sie eine waagerechte Asymptote bei $y=0$.

  Eine Asymptote ist eine gedachte Gerade, an die sich eine Funktion immer weiter annähert, ohne sie jemals zu berühren.

  Setzt man sehr große positive und negative Zahlen ein, nähert sich die Funktion jeweils der $x$-Achse an. Man kann sich eine Gerade bei $y=0$ vorstellen, der sich die Werte annähern. Dies ist die waagerechte Asymptote.

  Für sehr kleine Werte, also Zahlen, die nahe bei der Null liegen, nähert sich die Funktion der $y$-Achse. Sie hat eine senkrechte Asymptote bei $x=0$.

  Setzt man sehr kleine Werte ein, also Zahlen, die nahe bei der Null liegen, dann gehen die Werte der Funktion ins Unendliche. Man kann sich eine Gerade bei $x=0$ vorstellen, der sich die Werte annähern. Dies ist die senkrechte Asymptote.

  Die Asymptoten der Funktion $g(x)=\tan(x)$

  Sie hat unendlich viele Asymptoten. Alle diese senkrechten Asymptoten kann man so zusammenfassen:

  $x=n\pi + \frac{\pi}{2}~ | ~n \in \mathbb{Z}$.

  Die erste senkrechte Asymptote liegt bei $x=\frac{\pi}{2}$. Macht man einen Schritt um $\pi$ nach rechts, findet man eine weitere Asymptote. Bei jedem weiteren Schritt um $\pi$ nach rechts liegt wieder eine Asymptote. Insgesamt finden sich rechts von der ersten Asymptote also unendlich viele Asymptoten. Geht man stattdessen nach links, verhält sich der Graph genauso: Bei jedem Schritt um $\pi$ findet man eine Asymptote.

  Deshalb kann man alle diese senkrechten Asymptoten wie oben zusammenfassen. Bei $\frac{\pi}{2}$ findet sich die erste Asymptote. Die Schritte um $\pi$ nach links oder rechts werden durch $n\pi$ ausgedrückt, wobei $n$ zu den ganzen Zahlen zählt, weil ja die Schritte nach rechts und nach links abgedeckt werden müssen.

• Ermittle den Definitionsbereich der gegebenen Funktion.

  Tipps

  Überlege, was zu rechnen ist, bevor du anfängst zu rechnen.

  Um den Defintionsbereich für Funktionen mit Variable im Nenner zu bestimmen, musst du herausfinden, für welche Zahlen der Nenner gleich null wird.

  Lösung

  In die Funktion $f(x)=\frac{1}{x-2}$ können fast alle reellen Zahlen eingesetzt werden. Nur der Nenner der Funktion schränkt den Definitionsbereich ein.

  Er darf niemals null werden. Wir berechnen also die Nullstelle des Nenners, damit wir sie aus der Definitionsmenge entfernen können.

  Bevor man mit der Rechnung beginnt, muss überlegt werden, was ausgerechnet werden soll. Deshalb enthalten die ersten beiden Elemente die Vorüberlegungen.

  $x-2=0 $

  Der Nenner darf nicht null werden, da man nicht durch null teilen darf. In der Rechnung muss also herausgefunden werden, welche Zahl den Nenner verschwinden lässt. Dazu setzt man ihn gleich null.

  $\Leftrightarrow ~x=2$

  Die Gleichung wird umgeformt.

  Damit folgt der Definitionsbereich zu $D=\mathbb{R} \backslash \{2\}$.

  Der Definitionsbereich enthält also alle reellen Zahlen außer der Zwei.

• Bestimme die Definitions- und Wertebereiche der gegebenen Funktionen.

  Tipps

  Ein Minuszeichen vor dem Funktionsterm spiegelt die Funktion an der $x$-Achse.

  Die Wurzelfunktion ist nur für bestimmte Werte definiert.

  Lösung

  Die hier angegebenen Funktionen sind leicht veränderte Variationen der anfangs behandelten Grundfunktionen. Viele Aspekte sind ähnlich. Man muss jedoch genau beachten, wo die Funktionen verändert wurden und welche Auswirkungen dies hat.

  Erste Funktion: $\textbf{f(x)=-}\sqrt{\textbf{x}}$

  Die Wurzel ist nur für positive Zahlen definiert. Deshalb darf man nur positive Zahlen in die Funktion $f(x)=-\sqrt{x}$ einsetzen. Sie hat also den Definitionsbereich:

  $D=\mathbb{R}^{\geq{0}}$.

  Normalerweise gibt die Wurzelfunktion nur positive Werte aus. Die Funktion $-\sqrt{x}$ kehrt aber alle Werte in Negative. Also hat sie den Wertebereich:

  $W=\mathbb{R}^{\leq{0}}$.

  Zweite Funktion: $\textbf{ f(x)=} -\frac{\textbf{1}}{\textbf{x+6}} $

  Da der Nenner niemals null werden darf, kann man keine Zahlen einsetzen, die den Nenner verschwinden lassen. Sonst sind alle Zahlen erlaubt. Der Definitionsbereich der Funktion

  $g(x)=-\frac{1}{x+6}$

  ist also

  $D=\mathbb{R} \backslash \{-6\}$.

  Analog zur Funktion $\frac{1}{x}$ kann $g(x)$ alle reellen Zahlen bis auf die Null annehmen. Der Wertebereich ist also:

  $W=\mathbb{R} \backslash \{0\}$.

  Dritte Funktion: $\textbf{f(x)=5 sin(x)}$

  Auch in die Funktion $h(x)=5\sin(x)$ kann man alle reellen Zahlen einsetzen. Der Definitionsbereich ist also $D=\mathbb{R}$.

  Der Faktor 5 vor der Sinusfunktion erweitert den Wertebereich zu $W=[-5;~5]$.

• Ergänze die Funktionsgleichungen der Graphen.

  Tipps

  In die Wurzelfunktion darf man nur ganz bestimmte Werte einsetzen.

  Die trigonometrischen Funktionen unterscheiden sich nur durch ihre Verschiebung auf der x-Achse.

  Die Sinusfunktion geht durch den Ursprung.

  Lösung

  Der erste Funktionsgraph gehört zur Funktion $f(x)=|x|$. Der Graph ist immer positiv, fällt für negative $x$-Werte linear und steigt für positive $x$-Werte linear an.

  Der zweite Funktionsgraph gehört zur Funktion $f(x)=\sin(x)$. Der Graph ist eine trigonometrische Funktion und geht durch den Punkt $(0|0)$.

  Der dritte Funktionsgraph gehört zur Funktion $f(x)=\sqrt{x}$. Der Graph ist immer positiv und steigt nicht linear an. Außerdem ist er nur für positive $x$-Werte definiert.

  Der vierte Funktionsgraph gehört zur Funktion $f(x)=\cos(x)$. Der Graph ist eine trigonometrische Funktion und geht durch den Punkt $(0|1)$.

• Prüfe die Aussagen zu den Definitions- und Wertebereichen verschiedener Funktionen.

  Tipps

  Um herauszufinden, wann der Nenner einer Funktion null wird, muss er gleich null gesetzt und die entstehende Gleichung gelöst werden.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind wahr:

  In einer Funktion darf niemals durch null geteilt werden.

  Das ist wahr. In der Mathematik darf unter keinen Umständen durch null geteilt werden.

  Die Funktion $f(x)=-\frac{1}{x^2+2}$ hat den Definitionsbereich $D=\mathbb{R} $.

  Das ist wahr. Setzt man den Nenner gleich null, erhält man:

  $x^2+2=0$

  $\Leftrightarrow~x^2=-2$.

  Die letzte Gleichung hat keine Lösung, da man nicht die Wurzel einer negativen Zahl ziehen kann. Der Nenner wird also nie gleich null und der Definitonsbereich enthält alle reellen Zahlen.

  $~$

  Folgende Aussagen sind falsch:

  In die Wurzelfunktion können alle reellen Zahlen eingesetzt werden.

  Das ist falsch. Die Wurzel ist nur für positive Zahlen definiert, also können auch nur positive Zahlen eingesetzt werden.

  Die Tangensfunktion kann nur positive Zahlen als Werte annehmen.

  Das ist falsch. Die Tangensfunktion hat den Wertebereich $W=\mathbb{R}$ und kann somit alle reellen Zahlen annehmen.

  Der Wertebereich enthält alle Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden können.

  Das ist falsch. Der Definitionsbereich enthält alle diese Zahlen.