Exponentielles oder lineares Wachstum – Wachstumsprozesse zuordnen
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Grundlagen zum Thema Exponentielles oder lineares Wachstum – Wachstumsprozesse zuordnen
Lineare und exponentielle Wachstumsprozesse hast du ja bereits kennengelernt. In diesem Video möchten wir üben, sie voneinander zu unterscheiden. Wann liegt also ein lineares und wann ein exponentielles Wachstum vor. Dazu wiederholen wir kurz die wichtigsten Charakteristika dieser beiden Wachstumsprozesse, die nämlich gleichzeitig auch die wichtigsten Unterscheidungsmerkmale sind. Anschließend betrachten wir Beispiele aus der Tierwelt, der Finanzwelt und weiteren Bereichen. Ziel ist es dann zu unterscheiden, welches Wachstum vorliegt. Mach doch einfach mit und stell dein Wissen damit auf die Probe!
Transkript Exponentielles oder lineares Wachstum – Wachstumsprozesse zuordnen
Hallo und herzlich willkommen. In diesem Video geht es um "Lineare und exponentielle Wachstumsprozesse". Wachstum. Da fallen uns zahlreiche Prozesse ein, bei denen etwas anwächst: Bevölkerung, Tierbestände, Geld, Bakterien, Anzahl der Facebookfreunde und so weiter. Mathematiker bringen natürlich Ordnung in diese Sammlung und unterscheiden mehrere verschiedene Wachstumsprozesse. Unter anderem lineares und exponentielles Wachstum. Im Folgenden werden wir zunächst die Charakteristika dieser beiden Wachstumsprozesse wiederholen. Dann üben wir die Zuordnung linear oder exponentiell an einigen kleinen Aufgaben. 1. Lineare und exponentielle Wachstumsprozesse: Was sind die Charakteristika? Bei Wachstumsprozessen interessieren wir uns für die Änderung eines Bestandes in regelmäßigen Abständen. Meistens betrachtet man zeitliche Abstände, also den Bestand zum Zeitpunkt t = 0, t = 1, t = 2 und so weiter. Das muss nicht sein, aber wir gehen im Folgenden auch davon aus. Den Bestand zum Zeitpunkt 0 nennen wir Anfangswert. Machen wir nun eine kleine Gegenüberstellung. Lineares Wachstum bedeutet: In gleichen Abständen ändert sich der Bestand immer um den gleichen Summanden. Exponentielles Wachstum bedeutet hingegen: In gleichen Abständen wird der Bestand immer mit dem gleichen Faktor multipliziert. Zählen wir die Zeitpunkte mit dem Parameter n, also nach n Tagen oder n Jahren und so weiter und tragen die Bestände B in eine Tabelle ein. Dann ist beim linearen Wachstum ausgehend vom Anfangswert b der zusätzliche Summand pro Spalte immer derselbe: b, b + m, b + 2m, b + 3m und so weiter. Beim exponentiellen Wachstum ist hingegen ausgehend vom Anfangswert c der zusätzliche Faktor pro Spalte immer derselbe: c, c * a², c * a³ und so weiter. Tragen wir die Bestände in ein Koordinatensystem ein. Zeitspanne auf der x-Achse, Bestand auf der y-Achse. Dann gehört zum linearen Wachstum eine Gerade, zum exponentiellen Wachstum hingegen eine exponentielle Kurve, die immer schneller ansteigt. OK, nun üben wir diese beiden Wachstumsprozesse zu unterscheiden. Es geht nicht ums Rechnen, sondern ums Erkennen. Was wächst linear, was exponentiell? a) Auf einem Konto mit 1600€ werden monatlich 80€ eingezahlt. Na, das ist ja quasi die Definition von linearem Wachstum. Monat für Monat kommt derselbe Betrag hinzu. Wenn keine Zinsen anfallen, dann ist das ein eindeutiger Fall von linearem Wachstum. b) Ein Unternehmen möchte seinen Umsatz durch Werbung monatlich um 12% steigern. Was bedeutet 12%? Monat für Monat soll zum alten Umsatz das 0,12-fache hinzukommen. Klammern wir den alten Umsatz aus und addieren 1 mit 0,12, dann erhalten wir für den neuen Umsatz Uneu = 1,12 * Ualt. Jeden Monat multiplizieren wir den Bestand also mit demselben Faktor. Ganz klar, exponentielles Wachstum. c) An einem Quadrat werden pro Zeiteinheit die Seitenlängen verdoppelt. Wie entwickelt sich der Flächeninhalt? Die Seitenlänge wird immer verdoppelt. Das heißt, der Einfachheit halber fangen wir mit 1 an. Wir haben 1, 2, 4 und so weiter. Die Seitenlänge wächst also exponentiell. Der Wachstumsfaktor ist 2. Der Flächeninhalt wächst hingegen von 1 auf 2 * 2 = 4, dann auf 4 * 4 = 16 und so weiter. Nach wie vor haben wir also exponentielles Wachstum. Der Wachstumsfaktor ist nun aber 2² = 4. d) und zum Abschluss: Eine neu gepflanzte Fichte ist 1,4m hoch und wächst 20 Jahre lang jährlich um 44cm, dann aber nur noch um 18cm pro Jahr. Wie tragen die Fichtenhöhe in ein Diagramm ein, angefangen bei 1,4m. In den ersten 20 Jahren kommen immer 0,44m hinzu. Der Graph ist eine Gerade. Das Wachstum ist linear. Dann hat die Gerade einen Knick, denn ab dem 21. Jahr wird die Zunahme geringer. Die Fichte wächst dann nur noch 0,18m pro Jahr. Jetzt haben wir ein neues lineares Wachstum. Wir fassen zusammen: Lineares und exponentielles Wachstum lassen sich gut voneinander unterscheiden. Lineares Wachstum liegt vor, wenn in gleichen Abständen sich der Bestand immer um den gleichen Summanden ändert. Beim exponentiellen Wachstum hingegen wird der Bestand in gleichen Abständen mit dem gleichen Faktor multipliziert.
Exponentielles oder lineares Wachstum – Wachstumsprozesse zuordnen Übung
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Beschreibe lineares und exponentielles Wachstum sowie den Unterschied zwischen ihnen.
TippsIn welcher Tabelle wird zu jedem Zeitpunkt der gleiche Summand addiert?
Die Abstände der einzelnen Zeitpunkte müssen gleich groß sein.
Lineare Funktionen werden durch eine Gerade im Koordinatensystem dargestellt.
LösungBei linearem Wachstum wird immer ein konstanter Wert addiert. Daher ist der zugehörige Graph auch eine Gerade. Bei exponentiellem Wachstum wird immer mit einem konstanten Faktor multipliziert. Der zugehörige Graph ist eine exponentielle Kurve.
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Ergänze die fehlenden Zahlen zu Zeitpunkt und Bestand.
TippsZum Zeitpunkt $n=0$ trägst du den Anfangswert ein.
Die Zeitpunkte haben gleichmäßige Abstände.
Wie viel Euro musst du von Monat zu Monat addieren?
Der Anfangwert beträgt $1600~€$.
LösungIn der Tabelle ist die Anzahl der Zeitpunkte $n$ in Monaten eingetragen sowie der jeweilige Bestand $B$ in Euro.
In der ersten Spalte stehen entsprechend die Bezeichnungen $n$ und $B$.
In der zweiten Spalte steht der Bestand zum Zeitpunkt $n=0$, also der Anfangswert. Zu Beginn sind $1600~€$ auf dem Konto.
Zum Zeitpunkt $n=1$ werden dann $80~€$ eingezahlt, also befinden sich $1680~€$ auf dem Konto. Diese Werte stehen in der dritten Spalte.
Zum Zeitpunkt $n=2$ werden wieder $80~€$ auf das Konto eingezahlt und so weiter.
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Entscheide, ob lineares Wachstum, exponentielles Wachstum oder keines von beidem vorliegt.
TippsBei linearem Wachstum wird in jedem gleich großen Zeitabschnitt das Gleiche addiert.
Du kannst eine Wertetabelle anlegen oder das Wachstum in einer Grafik veranschaulichen. Dann siehst du deutlicher, um welches Wachstum es sich handelt.
LösungBeim linearen Wachstum wird nach einer bestimmten (Zeit-)Spanne immer der gleiche Summand addiert, zum Beispiel: Jede/n Monat/ Freitag/ Tag/ Meter/ Minute kommen $10$ Euro/ $2$ Zentimeter/ $1~bar$/ $3$ Bonbons hinzu.
Beim exponentiellen Wachstum wird nach einer bestimmten (Zeit-)Spanne immer mit dem gleichen Faktor multipliziert, zum Beispiel: Von Monat zu Monat/ Jahr zu Jahr/Meter zu Meter/Sekunde zu Sekunde wird der vorherige Wert verdoppelt/verdreifacht/wächst um $12~\%$/wird mit $3~km/h$ multipliziert.
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Bestimme die Wachstumsart und die Lösung die Aufgabe.
TippsWird in dem gegebenen Zeitraum addiert oder multipliziert?
Errechne den Bestand nach $n$ Jahren, indem du alle nötigen Zwischenwerte bestimmst, zum Beispiel in einer Tabelle.
LösungBei den Fichtenzweigen handelt es sich um exponentielles Wachstum: Jedes Jahr kommen an jedem der drei Zweigenden eines Zweiges $5$ neue Triebe hinzu. Es wird also mit $5$ multipliziert. Nach einem Jahr hat die Fichte $3 \cdot 5 = 15$ Zweige. Nach $2$ Jahren hat die Fichte $15 \cdot 5 = 75$ bzw. $3 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25=75$ Zweigenden.
Bei der Tropfsteinlänge handelt es sich um lineares Wachstum, denn jedes Jahr kommen zu einer Anfangslänge von $35~mm$ noch $3$ weitere mm hinzu. Es wird also immer $3$ addiert. Nach einem Jahr ist der Tropfstein $35 + 3 = 38~mm$ lang. Nach zwei Jahren ist der Tropfstein $38 + 3 = 41~mm$ bzw. $35+2\cdot 3=41~mm$ lang. Nach $5$ Jahren ist der Tropfstein also $50~mm$ lang.
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Gib an, ob es sich um exponentielles oder um lineares Wachstum handelt.
TippsBei linearem Wachstum wird in jedem gleich großen Zeitabschnitt das Gleiche addiert.
Bei exponentiellen Wachstum multiplizierst du in jedem Zeitabschnitt mit dem gleichen Faktor.
LösungBei Aufgabe $1$ wird jeden Monat ein fester Betrag von $15~€$ auf das Sparbuch eingezahlt. Dadurch wächst das Ersparte jeden Monat um $15~€$ an. Es handelt sich also um ein lineares Wachstum.
Bei Aufgabe $2$ verdreifacht sich die Seitenlänge, sie wird also von Zeiteinheit zu Zeiteinheit immer mit dem Faktor $3$ multipliziert. Da für den Flächeninhalt $A$ gilt: $A=a^2$, verneunfacht sich der Flächeninhalt pro Zeiteinheit. Daher handelt es sich um exponentielles Wachstum mit dem Faktor $9$.
Auch bei Aufgabe $3$ handelt es sich um exponentielles Wachstum. Der Faktor ist hier $1,18$.
Bei Aufgabe $4$ werden jedes Jahr $34~cm$ zu der Höhe hinzuaddiert. Daher handelt es sich um lineares Wachstum.
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Entscheide, welche Aussagen zu linearem und exponentiellem Wachstum stimmen.
TippsEs gibt auch negatives Wachstum, bei dem der Bestand immer kleiner wird.
Wenn der Druck beim Tauchen alle $10$ Meter um ein bar zunimmt, ist das lineares Wachstum.
Der Graph bei einem linearen Wachstum geht nicht immer durch den Ursprung.
Der Graph bei einem linearen Wachstum steigt nicht immer an, er kann auch fallen.
LösungLineare Funktionen und somit auch lineares Wachstum zeichnen sich dadurch aus, dass alle Punkte auf einer Geraden liegen.
Exponentielles Wachstum ist nie automatisch größer oder kleiner als lineares Wachstum: Wenn du die beiden Graphen aus dem Video vergleichst, siehst du, dass zu Beginn das lineare Wachstum größer aussieht, dann wird aber die Kurve des exponentiellen Wachstums steiler und es ist größer als das lineare Wachstum. Ob und wann es diesen Wechsel gibt, kommt dabei immer auf die konkreten Zahlen an.
Es gibt auch negatives Wachstum. Dabei wird der Bestand kleiner. Bei exponentiellen Funktionen ist das, wenn der Faktor kleiner als $1$ ist. Die Kurve fällt dann, statt zu steigen. Beispiel: Der Umsatz eines Unternehmens von $3$ Millionen Euro fällt jedes Jahr um $7$ Prozent.
Bei linearen Funktionen ist das, wenn der Summand ein negatives Vorzeichen hat. Der Graph fällt dann ebenfalls. Beispiel: Von einem Konto mit $1600$ Euro werden jeden Monat $100$ Euro abgehoben.
Wachstumsprozesse gibt es auch unabhängig von der Größe „Zeit“. Wenn der Druck beim Tauchen alle $10$ Meter um ein bar zunimmt, ist das lineares Wachstum, obwohl die Größen „Tauchtiefe“ und „Druck“ sind. Oder wenn ein Auto alle $3$ Meter um $2~km/h$ beschleunigt, dann sind die Größen „Strecke“ und „Geschwindigkeit“; es handelt sich trotzdem um ein exponentielles Wachstum.
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Fand das Video ein bisschen verwirrend
*gerechnet ;)
super video! du redest auch so, dass man es sehr gut verstehen kann (: hätte gerne ein paar aufgaben gerechent, nur zum verständnis
So ungewohnt viele Aufgaben! Super!
Sehr schönes Video, hat mir echt gefallen!