Exponentielles Wachstum – Zinseszins

Exponentielles Wachstum – Zinseszins Übung

• Berechne das Kapital nach einem, zwei und drei Jahren.

  Tipps

  Achte darauf, dass sich der Zinssatz jedes Jahr auf das zu diesem Zeitpunkt verfügbare Kapital bezieht.

  Nach zwei Jahren haben wir die $105$ Euro vom Vorjahr und zusätzlich den Anteil $\dfrac{5}{100}$ von $105$ Euro.

  Lösung

  Um Zinseszinsen zu verstehen, ist es sinnvoll, zunächst das Kapital nach mehreren Jahren mithilfe der normalen Zinsrechnung zu bestimmen. Wir gehen dazu wie folgt vor:

  $100$ Euro werden zu fünf Prozent verzinst.
  $\rightarrow$ Wir wissen: Prozent bedeutet von Hundert.

  
  

  Nach einem Jahr gilt demzufolge:

  Wir haben die $100$ Euro und zusätzlich den Anteil $\dfrac{5}{100}$ von $100$ Euro:

  $100\,€ + \dfrac{5}{100} \cdot 100\,€ = 100\,€ + 5\,€ = 105\,€$

  Wir können auch schreiben:

  $100\,€ + \left(1 + \dfrac{5}{100}\right)^1= 105\,€$

  
  

  Nach zwei Jahren gilt:

  Wir haben die $105$ Euro vom Vorjahr und zusätzlich den Anteil $\dfrac{5}{100}$ von $105$ Euro:

  $105\,€ + \dfrac{5}{100} \cdot 105\,€ = 105\,€ + 5,\!25\,€ = 110{,}25\,€$

  Wir können auch schreiben:

  $100\,€ + \left(1 + \dfrac{5}{100}\right)^2= 110{,}25\,€$

  
  

  Nach drei Jahren gilt:

  Wir haben die $110{,}25$ Euro vom Vorjahr und zusätzlich den Anteil $\dfrac{5}{100}$ von $110{,}25$ Euro:

  $110{,}25\,€ + \dfrac{5}{100} \cdot 110{,}25\,€ = 110{,}25\,€ + 5,\!51\,€ = 115{,}76\,€$

  Wir können auch schreiben:

  $100\,€ + \left(1 + \dfrac{5}{100}\right)^3= 115{,}76\,€$

  
  

  Aufgrund der Regelmäßigkeit, die wir gefunden haben, können wir diese Berechnung für ein allgemeines $n \in \mathbb{N}$ verallgemeinern. Nach ${\boldsymbol{n}}$ Jahren würde sich dann durch den Zinseszinseffekt der folgende Geldbetrag ergeben:

  $100\,€ + \left(1 + \dfrac{5}{100}\right)^n$

• Gib jeweils die Größen der Exponentialfunktion an.

  Tipps

  Der Zinssatz $p$ ist eine Information aus dem Text, die dir hilft, den Wachstumsfaktor $a$ zu bestimmen. Er ist nicht konkret der Wachstumsfaktor, da gilt:

  $a = \left(1 + \dfrac{p}{100}\right)$

  Der Zinssatz $p$ ist also streng genommen nicht gleichzusetzen mit dem Wachstumsfaktor $a$.

  Die unabhängige Variable $x$ ist die Laufzeit in Jahren.

  Lösung

  Bei den angegebenen Beispielen wird ein bestimmter Geldbetrag über mehrere Jahre verzinst. Es handelt sich dabei um den Zinseszins. Dieser ist ein Beispiel für exponentielles Wachstum. Wir können daher die Formel für den Zinseszins mit der Formel für das exponentielle Wachstum vergleichen:

  $K(n) = K_0 \cdot \left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n$ und $f(x)=b \cdot a^x$

  • Das Anfangskapital $K_0$ entspricht also dem Anfangswert $b$.
  • Die Anzahl der Jahre $n$ entspricht der unabhängigen Variable $x$ im Exponenten.
  • Die Basis $\left(1+\dfrac{p}{100}\right)$ entspricht dem Wachstumsfaktor $a$.

  
  

  Wir betrachten damit die Beispiele:

  
  

  Beispiel 1:

  Ein Kapital von $5\,000\,€$ wird für $5$ Jahre zu $2\,\%$ verzinst. Das Kapital vermehrt sich daher jährlich um den Faktor $1,\!02$. Nach $5$ Jahren sind dann $5\,520\,€$ erspart.

  • Das Kapital von $5\,000\,€$ ist hier das Anfangskapital, welches in der Exponentialfunktion dem Anfangswert ${\boldsymbol{b}}$ entspricht.
  • Die $5$ Jahre, also die Anzahl der Jahre, entsprechen der unabhängigen Variable ${\boldsymbol{x}}$.
  • Der Faktor $1,\!02$ ist der Wachstumsfaktor ${\boldsymbol{a}}$.

  Der Zinssatz ist $p=2\,\%$. Er kommt nicht als einzelne Größe in der Exponentialfunktion vor und muss hier nicht markiert werden.
  Der Zinssatz $p$ ist aber eine wichtige Information und versteckt sich in dem Wachstumsfaktor ${a=\left(1+\dfrac{p}{100}\right)}$. Mit der Angabe des Zinssatzes $p$ lässt sich also auch der Wachstumsfaktor $a$ bilden.

  Der Wert $5\,520\,€$ entspricht dem Kapital nach $5$ Jahren. Dies ist der Funktionswert $f(x)$ für $x=5$. Er muss hier nicht markiert werden.

  
  

  Beispiel 2:

  Merdan legt $250\,000\,€$ für $20$ Jahre fest an. Er bekommt jährlich $3\,\%$ Zinsen. Im ersten Jahr sind das $7\,500\,€$. Allgemein vermehrt sich Merdans Geld jährlich um den Faktor $1,\!03$.

  • Das Kapital von $250\,000\,€$ ist hier das Anfangskapital, welches in der Exponentialfunktion dem Anfangswert ${\boldsymbol{b}}$ entspricht.
  • Die $20$ Jahre, also die Anzahl der Jahre, entsprechen der unabhängigen Variable ${\boldsymbol{x}}$.
  • Der Faktor $1,\!03$ ist der Wachstumsfaktor ${\boldsymbol{a}}$.

  Der Zinssatz ist $p=3\,\%$. Er muss hier ebenfalls nicht markiert werden, da er nicht mit dem Wachstumsfaktor $a$ gleichzusetzen ist.

  Auch die $7\,500\,€$ Zinsen im ersten Jahr werden nicht markiert.

• Vergleiche die nach den angegebenen Zeitspannen ersparten Kapitalbeträge.

  Tipps

  Die allgemeine Formel für den Zinseszins lautet:

  $K(n)=K_0 \cdot q^n$

  Dabei steht $K_0$ für das Startkapital, $q = 1+ \dfrac{p}{100}$ für den Wachstumsfaktor und $n$ für die Anzahl der Jahre.

  Beispiel:

  $220\,000\,€$ werden für $15$ Jahre fest angelegt und mit $1\,\%$ jährlich verzinst.

  Wir setzen ein:

  $K(15)=220\,000\,€ \cdot 1{,}01^{15} \approx 255\,413\,€$

  Nach $15$ Jahren sind $255\,413\,€$ vorhanden.

  Berechne so alle ersparten Kapitalbeträge und ordne sie anschließend ihrer Größe nach.

  Lösung

  Kapital, welches über mehrere Jahre verzinst wird, wächst nach dem Prinzip des Zinseszins. Es handelt sich um exponentielles Wachstum. Um die nach den angegebenen Zeitspannen ersparten Beträge zu bestimmen, müssen wir mit der allgemeinen Formel für den Zinseszins arbeiten. Diese lautet:

  $K(n)=K_0 \cdot q^n$

  Dabei ist:

  • $K_0$: Startkapital
  • $K(n)$: Kapital nach $n$ Jahren
  • $n$: Anzahl der Jahre
  • $q$: Wachstumsfaktor mit $q=1 + \dfrac{p}{100}$

  $\Longrightarrow$ $p$: Zinssatz

  
  

  Wir betrachten die einzelnen Beispiele:

  
  

  Anlage 1:

  $220\,000\,€$ werden für $15$ Jahre fest angelegt und mit $1\,\%$ jährlich verzinst.

  Wir setzen ein:

  $K(15)=220\,000\,€ \cdot 1{,}01^{15} \approx 255\,413\,€$

  Nach $15$ Jahren sind $255\,413\,€$ vorhanden.

  
  

  Anlage 2:

  $150\,000\,€$ werden für $40$ Jahre fest angelegt und mit $1,\!5\,\%$ jährlich verzinst.

  Wir setzen ein:

  $K(40)=150\,000\,€ \cdot 1{,}015^{40} \approx 272\,102\,€$

  Nach $40$ Jahren sind $272\,102\,€$ vorhanden.

  
  

  Anlage 3:

  $130\,000\,€$ werden für $20$ Jahre fest angelegt und mit $2\,\%$ jährlich verzinst.

  Wir setzen ein:

  $K(20)=130\,000\,€ \cdot 1{,}02^{20} \approx 193\,173\,€$

  Nach $20$ Jahren sind $193\,173\,€$ vorhanden.

  
  

  Anlage 4:

  $200\,000\,€$ werden für $10$ Jahre fest angelegt und mit $0,\!8\,\%$ jährlich verzinst.

  Wir setzen ein:

  $K(10)=200\,000\,€ \cdot 1{,}008^{10} \approx 216\,588\,€$

  Nach $10$ Jahren sind $216\,588\,€$ vorhanden.

  
  

  Anlage 5:

  $250\,000\,€$ werden für $5$ Jahre fest angelegt und mit $0,\!2\,\%$ jährlich verzinst.

  Wir setzen ein:

  $K(5)=250\,000\,€ \cdot 1{,}002^{5} \approx 252\,510\,€$

  Nach $5$ Jahren sind $252\,510\,€$ vorhanden.

  
  

  Wir bringen nun die nach den angegebenen Zeitspannen ersparten Beträge in die richtige Reihenfolge:

  $193\,173\,€ \quad < \quad 216\,588\,€ \quad < \quad 252\,510\,€ \quad < \quad 255\,413\,€ \quad < \quad 272\,102\,€$

  Wir ordnen also wie folgt:

  1. $130\,000\,€$ werden für $20$ Jahre fest angelegt und mit $2\,\%$ jährlich verzinst.
  2. $200\,000\,€$ werden für $10$ Jahre fest angelegt und mit $0,\!8\,\%$ jährlich verzinst.
  3. $250\,000\,€$ werden für $5$ Jahre fest angelegt und mit $0,\!2\,\%$ jährlich verzinst.
  4. $220\,000\,€$ werden für $15$ Jahre fest angelegt und mit $1\,\%$ jährlich verzinst.
  5. $150\,000\,€$ werden für $40$ Jahre fest angelegt und mit $1,\!5\,\%$ jährlich verzinst.

• Erschließe dir aus dem Graphen die zugehörige Zinseszinssituation.

  Tipps

  Das Anfangskapital $K_0$ können wir als Schnittpunkt mit der $y$-Achse ablesen.

  Je steiler der Graph verläuft, umso größer ist der Wachstumsfaktor und foglich auch der Zinssatz $p$

  Lösung

  Zinseszins ist ein Beispiel für exponentielles Wachstum. Wir können daher die Formel für den Zinseszins mit der Formel für das exponentielle Wachstum vergleichen:

  $K(n) = K_0 \cdot \left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n$ und $f(x)=b \cdot a^x$

  • Das Anfangskapital $K_0$ entspricht also dem Anfangswert $b$.
  • Die Anzahl der Jahre $n$ entspricht der unabhängigen Variablen $x$ im Exponenten.
  • Die Basis $\left(1+\dfrac{p}{100}\right)$ entspricht dem Wachstumsfaktor $a$.

  Wir können Beispiele zum Zinseszins somit auch grafisch mithilfe eines Graphen zum exponentiellen Wachstum darstellen.
  Dabei gilt:

  • Das Anfangskapital $K_0$ können wir als Schnittpunkt mit der $y$-Achse ablesen.
  • Den Wachstumsfaktor $\left(1+\dfrac{p}{100}\right)$ können wir anhand der Steigung ermitteln.

  Allgemein gilt:

  • Je steiler der Graph verläuft, umso größer ist der Wachstumsfaktor und folglich auch der Zinssatz $p$.

  Wir können somit die Situationen zuordnen:

  Blauer Graph:
  Der Graph schneidet die $y$-Achse genau wie der grüne Graph bei $500\,€$. Der Graph ist jedoch steiler als der grüne Graph und hat daher den höheren Zinssatz.
  $\quad \Rightarrow$ Kapital: $500\,€$ $\quad$ Zinssatz: $10\,\%$

  Roter Graph:
  Der Graph schneidet die $y$-Achse genau wie der gelbe Graph bei $2\,500\,€$. Der Graph ist jedoch flacher als der gelbe Graph und hat daher den niedrigeren Zinssatz.
  $\quad \Rightarrow$ Kapital: $2\,500\,€$ $\quad$ Zinssatz: $5\,\%$

  Gelber Graph:
  Der Graph schneidet die $y$-Achse genau wie der rote Graph bei $2\,500\,€$. Der Graph ist jedoch steiler als der rote Graph und hat daher den höheren Zinssatz.
  $\quad \Rightarrow$ Kapital: $2\,500\,€$ $\quad$ Zinssatz: $10\,\%$

  Grüner Graph:
  Der Graph schneidet die $y$-Achse genau wie der blaue Graph bei $500\,€$. Der Graph ist jedoch flacher als der blaue Graph und hat daher den niedrigeren Zinssatz.
  $\quad \Rightarrow$ Kapital: $500\,€$ $\quad$ Zinssatz: $2\,\%$

• Gib das Kapital nach einem Jahr an.

  Tipps

  Prozent bedeutet von Hundert.

  Achte auf das Anfangskapital: Ein höheres Anfangskapital ergibt bei gleichem Zinssatz ein höheres Kapital nach einem Jahr.

  Lösung

  Um Zinsen zu bestimmen, müssen wir mit einigen Fachbegriffen sicher umgehen können:

  • Das Kapital ist das Geld, auf welches sich die Zinsen beziehen.
  • Der Zinssatz gibt an, wie viel Prozent Zinsen wir bekommen bzw. zahlen müssen.
  • Die Zinsen sind das Geld, welches nach einem Jahr gezahlt wird.

  Außerdem wissen wir: Prozent bedeutet von Hundert.

  Wir betrachten die Beispiele:

  
  

  Beispiel 1:

  $100\,€$ werden zu $5\,\%$ verzinst.

  Nach einem Jahr haben wir also die $100\,€$ und zusätzlich den Anteil $\dfrac{5}{100}$ von diesem Kapital:

  $100\,€ + \dfrac{5}{100} \cdot 100\,€ = 100\,€ + 5\,€ = 105\,€$

  
  

  Beispiel 2:

  $100\,€$ werden zu $2\,\%$ verzinst.

  Nach einem Jahr haben wir also die $100\,€$ und zusätzlich den Anteil $\dfrac{2}{100}$ von diesem Kapital:

  $100\,€ + \dfrac{2}{100} \cdot 100\,€ = 100\,€ + 2\,€ = 102\,€$

  
  

  Beispiel 3:

  $1\,000\,€$ werden zu $5\,\%$ verzinst.

  Nach einem Jahr haben wir also die $1\,000\,€$ und zusätzlich den Anteil $\dfrac{5}{100}$ von diesem Kapital:

  $1\,000\,€ + \dfrac{5}{100} \cdot 1\,000\,€ = 1\,000\,€ + 50\,€ = 1\,050\,€$

  
  

  Beispiel 4:

  $1\,000\,€$ werden zu $2\,\%$ verzinst.

  Nach einem Jahr haben wir also die $1\,000\,€$ und zusätzlich den Anteil $\dfrac{2}{100}$ von diesem Kapital:

  $1\,000\,€ + \dfrac{2}{100} \cdot 1\,000\,€ = 1\,000\,€ + 2\,€ = 1\,020\,€$

• Ermittle den Zinssatz, unter dem sich ein Kapital nach $35$ Jahren verdoppelt.

  Tipps

  Verwende die Formel für den Zinseszins:

  $K(n)=K_0 \cdot q^n$

  Dabei beschreibt $K_0$ das Startkapital, $q$ den Wachstumsfaktor und $n$ die Anzahl der Jahre.

  Für unsere Situation, in der sich das Kapital nach $35$ Jahren verdoppelt hat, gilt nun folgende Gleichung:

  $K(35) = 2 \cdot K_0$

  Mit der allgemeinen Formel lässt sich $K(35)$ aber auch anders darstellen:

  $K(35) = K_0 \cdot q^{35}$

  Diese beiden Darstellungen musst du gleichsetzen.

  Löse die Gleichung zunächst nach $q$ auf.

  Um nach $q$ aufzulösen, musst du im letzten Schritt die $35$. Wurzel ziehen.

  Lösung

  Um in dieser Aufgabe den Zinssatz zu bestimmen, müssen wir mit der allgemeinen Formel für den Zinseszins arbeiten. Diese lautet:

  $K(n)=K_0 \cdot q^n$

  Dabei ist:

  • $K_0$: Startkapital
  • $K(n)$: Kapital nach $n$ Jahren
  • $n$: Anzahl der Jahre
  • $q$: Wachstumsfaktor mit $q=1 + \dfrac{p}{100}$

  $\Longrightarrow$ $p$: Zinssatz

  
  

  Da wir nur wenige Angaben haben, müssen wir mit den Variablen arbeiten. Wir können $35$ für $n$ einsetzen:

  $n = 35$

  Außerdem wissen wir, dass sich das Anfangskapital in dieser Zeit verdoppelt hat. Für diesen Zusammenhang können wir folgende Gleichung aufstellen:

  $K(35) = 2 \cdot K_0$

  Wenn wir in die allgemeine Formel von $K(n)$ die $35$ Jahre als $n$ einsetzen und mit der obigen Gleichung gleichsetzen, dann ergibt sich:

  $2 \cdot K_0 = K_0 \cdot q^{35}$

  Wir dividieren auf beiden Seiten durch $K_0$ und erhalten:

  $\Leftrightarrow 2 = q^{35}$

  Um nun zunächst den Wachstumsfaktor $q$ zu bestimmen, müssen wir die $35$. Wurzel ziehen:

  $\Leftrightarrow \sqrt[35]{2} = q$

  $\Rightarrow 1,\!02 \approx q$

  Mit $q=1 + \dfrac{p}{100}$ ergibt sich der folgende Zinssatz:

  $p\approx 2\,\%$

  Der Zinssatz lautet somit $p = 2\,\%$.