Flächeninhalt und Umfang von regelmäßigen Fünfecken

Flächeninhalt und Umfang von regelmäßigen Fünfecken Übung

• Gib die Formeln für Umfang und Flächeninhalt eines regelmäßigen Fünfecks an.

  Tipps

  Ein Dreieck heißt gleichseitig, wenn alle drei Seiten gleich lang sind.

  Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks ist halb so groß wie die Fläche des Rechtecks, das du durch Verdopplung des Dreiecks erhältst.

  Der Umfang eines regelmäßigen Siebenecks ist siebenmal so groß, wie eine Seite des Siebenecks.

  Lösung

  Da die betrachteten Fünfecke regelmäßig sind, sind alle ihre Innenwinkel gleich groß. Ihr Wert beträgt $108^\circ$. Durch Halbierung der Innenwinkel kannst du das Fünfeck in $5$ gleichschenklige Dreiecke aufteilen. Die Basiswinkel der Dreiecke sind dann $54^\circ$. Den Mittelpunktswinkel kannst du aus der Winkelsumme des gleichschenkligen Dreiecks erschließen, die für alle Dreiecke $180^\circ$ ist. Er beträgt $180^\circ - 54^\circ -54^\circ =$ $72^\circ$.

  Halbierst du die Dreiecke entlang ihrer Höhe, so erhältst Du eine Unterteilung des Fünfecks in $10$ rechtwinklige Dreiecke. Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist die Hälfte des Produkts von Grundseite und Höhe des Dreiecks. Der Flächeninhalt des Fünfecks ist das Zehnfache dieser Dreiecksfläche.

  Bezeichnen wir die Grundseite des regelmäßigen Fünfecks mit $a$, so ist der Umfang gegeben durch

  $U =$ $5 \cdot a$

  Die Höhe des rechtwinkligen Dreiecks nennen wir $h$, die Grundseite ist dann $\frac{a}{2}$. Der Flächeninhalt dieses Dreiecks beträgt $\frac{a \cdot h}{4}$. Der Flächeninhalt des Fünfecks ergibt sich daraus. Er ist:

  $A =$ $\frac{5 \cdot a \cdot h}{2}$

• Gib die Eigenschaften von Dreiecken und Fünfecken an.

  Tipps

  Den Umfang eines $n$-Ecks findest du heraus, indem du die Längen der $n$ Seiten addierst.

  Sinus, Cosinus oder Tangens helfen dir, den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen, von dem du nur die Innenwinkel und eine Seitenlänge kennst.

  Die Hypotenuse ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Der Umfang eines regelmäßigen Fünfecks mit Seitenlänge $a$ ist $5 \cdot a$.“

  • „Der Tangens eines Winkels ist der Quotient aus Gegenkathete und Ankathete.“

  • „Den Flächeninhalt eines regelmäßigen Fünfecks kannst du ausrechnen, wenn du nur die Länge der Grundseite $a$ kennst.“

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Ein regelmäßiges Fünfeck kannst du in $5$ rechtwinklige Dreiecke aufteilen.“ Die Fünfteilung liefert gleichschenklige, nicht rechtwinklige Dreiecke.

  • „Der Sinus eines Winkels ist das Produkt aus Gegenkathete und Hypotenuse.“ Der Sinus ist nicht das Produkt, sondern der Quotient von Gegenkathete und Hypotenuse.

  • „Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks ist die Hypotenuse.“ Die Höhe ist immer eine der beiden Katheten, denn sie steht senkrecht auf der Grundseite, d.h. auf der anderen Kathete. Welche der beiden Katheten du als Höhe und welche als Grundseite nimmst, ist nicht festgelegt.

  • „Wenn du den Sinus, Cosinus oder Tangens eines Winkels nicht kennst, brauchst du zur Berechnung des Flächeninhalts eines regelmäßigen Fünfecks die Grundseite und den Umfang.“ Der Umfang ist das Fünffache der Grundseite, liefert also keine weitere Information. Für die Berechnung des Flächeninhalts brauchst du eine der Winkelgrößen, den Schenkel $r$ oder die Höhe $h$.

• Erschließe die Seitenlängen, den Umfang und den Flächeninhalt.

  Tipps

  Die Höhe ist größer als die Ankathete und kleiner als die Grundseite.

  Die Gegenkathete ist das Produkt aus dem Tangens und der Ankathete.

  Beträgt der Sinus des Winkels $\approx 0,81$ und die Gegenkathete $\approx 1,12~\text{cm}$, so ist die Hypotenuse $1,12~\text{cm} : 0,81 \approx 1,38~\text{cm}$.

  Lösung

  Für die Rechnung verwenden wir jeweils zwei Nachkommastellen und rechnen mit den gerundeten Werten weiter.

  Die Grundseite der Blüte hat eine Länge von $\approx 1,62~\text{cm}$. Der Basiswinkels ist $54^\circ$, seine Ankathete ist die Hälfte der Grundseite, sie ist demnach $\approx 0,81~\text{cm}$ lang. Der Cosinus des Winkels $54^\circ$ beträgt $\approx 0,59$. Die Hypotenuse ist der Quotient aus der Ankathete und dem Cosinus. Sie hat eine Länge von $0,81~\text{cm}: 0,59 \approx 1,37~\text{cm}$.

  Die Länge der Gegenkathete des Basiswinkels $54^\circ$ kannst Du mithilfe des Tangens berechen, denn der Tangens ist das Verhältnis aus Gegenkathete und Ankathete. Hier ist $\tan(54^\circ) \approx 1,38$. Die Gegenkathete hat dann die Länge $1,38 \cdot 0,81~\text{cm} \approx 1,12~\text{cm}$.

  Der Umfang der Blüte ergibt sich aus der Grundseite: er ist $5 \cdot 1,62~\text{cm} = 8,1~\text{cm}$. Den Flächeninhalt kannst du aus der Grundseite und der Gegenkathete $h$ ausrechnen. Die Formel lautet:

  $A = \frac{U \cdot h}{2}$

  Die Blüte hat daher einen Flächeninhalt von $\frac{8,1 \cdot 1,12}{2}~\text{cm}^2 \approx 4,54~\text{cm}^2$.

  Diese gerundeten Werte erhältst du, wenn du mit genau den hier angegebenen Formeln rechnest. Verwendest du andere Formeln (z. B. andere Winkelfunktionen oder den Satz des Pythagoras), so erhältst du evtl. andere Nachkommastellen.

• Ordne die Größen einander zu.

  Tipps

  Setze $a = 2~\text{cm}$ in die Formeln für die verschiedenen Größen ein.

  Verwende $\tan(54^\circ) \approx 1,38$ für die Berechnung.

  Ist $a = 2,31~\text{cm}$, so ist $h = 1,38 \cdot \frac{2,31}{2}~\text{cm} = 1,60~\text{cm}$.

  Lösung

  Um die Paare zu finden, verwenden wir folgende Formeln:

  $\begin{array}{lll} U &=& 5 \cdot a \\ \\ A &=& \frac{5 \cdot a \cdot h}{2} \\ \\ \sin(54^\circ) &=& \frac{h}{r} \\ \\ \cos(54^\circ) &=& \frac{a}{2r} \\ \\ \tan(54^\circ) &=& \frac{2h}{a} \end{array}$

  Wir erhalten dann folgende passenden Paare:

  • Zu $a = 2~\text{cm}$ passt $A = 6,9~\text{cm}^2$: d

  Das findest du heraus mit der Tangens-Formel für die Höhe $h$ und der Formel für den Flächeninhalt.

  • Zu $U = 5~\text{cm}$ gehört $r = 0,85~\text{cm}$. Du kannst zunächst $a = \frac{U}{5}$ ausrechnen und dann in die Tangens-Formel einsetzen.

  • Zu $r=1,67~\text{cm}$ passt $h=1,35~\text{cm}$. Hier kannst du die Sinus-Formel benutzen.

  • $a = 1,23~\text{cm}$ passt zu $U = 6,15~\text{cm}$, denn $5 \cdot 1,23~\text{cm} = 6,15~\text{cm}$.

  • Zu $a=3,27~\text{cm}$ passt $h = 2,23~\text{cm}$: Hier verwendest du am einfachsten die Tangens-Formel.

• Bestimme die Seiten und Winkelfunktionen.

  Tipps

  Die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks sind kürzer als die Hypotenuse.

  Der Sinus des Basiswinkels $54^\circ$ ist das Verhältnis aus der Höhe des gleichschenkligen Dreiecks zum Schenkel.

  Die Gegenkathete eines Winkels liegt dem Winkel gegenüber.

  Lösung

  In einem rechtwinkligen Dreieck heißt die dem rechten Winkel gegenüberliegende, längste Seite Hypotenuse, die beiden anderen Seiten heißen Katheten. Die einem nicht-rechten Winkel anliegende Seite heißt die Ankathete des Winkels, die dem Winkel gegenüberliegende Seite die Gegenkathete. Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis der Längen von Gegenkathete und Hypotenuse, der Cosinus das Verhältnis von Ankathete und Hypotenuse und der Tangens das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete.

• Erschließe die Winkelgrößen und die Formeln.

  Tipps

  Überlege genau, wie sich die Formeln für Umfang, Höhe, Schenkel und Flächeninhalt ändern, wenn man das regelmäßige Fünfeck durch ein Siebeneck ersetzt.

  Lösung

  Wir übertragen die Überlegungen zur Berechnung regelmäßiger Fünfecke auf regelmäßige Siebenecke. Wir müssen uns dabei vor allem die Berechnung der Winkel klar machen.

  Ein regelmäßiges Siebeneck kann man in sieben kongruente gleichschenklige Dreiecke zerlegen. Dies geschieht wie beim Fünfeck durch die Winkelhalbierenden der Innenwinkel des Siebenecks. Der Mittelpunktswinkel dieser Dreiecke ergibt sich durch die Siebenteilung des vollen Kreiswinkels, er beträgt demnach $\frac{1}{7}$ von $360^\circ$, das sind $\approx 51,43^\circ$. Den Basiswinkel können wir jetzt aus der Innenwinkelsumme des gleichschenkligen Dreiecks erschließen. Er beträgt nämlich:

  $180^\circ -2 \cdot 51,43^\circ \approx 77,14^\circ$

  Die Formel zur Berechnung des Umfangs $U$ des Blütenbodens aus der Seitenlänge $a$ lautet:

  $U = 7 \cdot a$,

  denn der Umfang eines Siebenecks ist die Summe der sieben Seitenlängen, bei einem regelmäßigen Siebeneck ist das das Siebenfache einer Seitenlänge.

  Die Höhe $h$ können wir mit dem Tangens des Basiswinkels $51,43^\circ$ aus der Grundseite berechnen. Für den Flächeninhalt des regelmäßigen Siebenecks erhält man so die neue Formel:

  $A = \frac{U \cdot h}{2} = \frac{7 \cdot a \cdot a \cdot \tan(51,43^\circ)}{2 \cdot 2} = \frac{7 \cdot a^2}{4} \cdot \tan(51,43^\circ)$.