Funktionen mit mehreren Veränderlichen – Lokale Extremwerte ohne Nebenbedingungen

Funktionen mit mehreren Veränderlichen – Lokale Extremwerte ohne Nebenbedingungen Übung

• Gib das notwendige sowie das hinreichende Kriterium für Extrema bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen an.

  Tipps

  Bei Funktionen mit einer Veränderlichen ist das notwendige Kriterium für Extrema $f'(x)=0$.

  Das hinreichende Kriterium für Extrema für Funktionen mit einer Veränderlichen ist $f''(x)\neq 0$.

  Am Vorzeichen kann die Art des Extremums abgelesen werden:

  • $f''(x)>0$ führt zu einem lokalen Tiefpunkt und
  • $f''(x)<0$ zu einem lokalen Hochpunkt.

  Diese Eigenschaften gelten auch für Funktionen $z=f(x;y)$ mit zwei Variablen.

  Lösung

  Sei $z=f(x;y)$ eine Funktion mit zwei Veränderlichen, dann sehen die Kriterien für Extrema so ähnlich aus wie bei Funktionen mit einer Veränderlichen:

  • Die erste Ableitung muss $0$ sein (notwendige Bedingung)
  • und die zweite Ableitung muss ungleich $0$ sein (hinreichende Bedingung).

  Bei Funktionen mit zwei oder mehreren Veränderlichen gibt es partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung. Diese werden abkürzend so beschrieben:

  • $f_x$ (erste Ableitung nach $x$),
  • $f_y$ (erste Ableitung nach $y$),
  • $f_{xx}$ (erste und zweite Ableitung nach $x$) und $f_{xy}$ (erste Ableitung nach $x$, zweite Ableitung nach $y$) sowie
  • $f_{yx}$ (erste Ableitung nach $y$, zweite Ableitung nach $x$) und $f_{yy}$ (erste und zweite Ableitung nach $y$)

  Die Voraussetzung, dass $f_{xy}=f_{yx}=0$ ist, führt zu einer Hesse-Matrix, welche eine Diagonalmatrix ist.

  Die Hesse-Matrix ist die Matrix der zweiten Ableitung.

  Die notwendige Bedingung lautet:

  • $f_x=f_y=0$

  Die hinreichende Bedingung lautet:

  • $f_{xx}>0$ und $f_{yy}>0$, dann liegt ein lokales Minimum vor.
  • $f_{xx}<0$ und $f_{yy}<0$, dann liegt ein lokales Maximum vor.
  • Ansonsten liegt ein Sattelpunkt vor.

• Bestimme die Extrema der Funktion.

  Tipps

  Für die partiellen Ableitungen betrachtest du die Variable, nach welcher nicht abgeleitet wird, als Konstante.

  Prüfe das hinreichende Kriterium

  • $f_{xx}>0$ und $f_{yy}>0$ $\rightarrow$ lokales Minimum
  • $f_{xx}<0$ und $f_{yy}<0$ $\rightarrow$ lokales Maximum
  • Sattelpunkt sonst

  Die y-Koordinate ist bei beiden Punkten die gleiche.

  Zur Bestimmung der z-Koordinate setzt du die x- sowie y-Werte in $z=f(x;y)$ ein.

  Lösung

  Zunächst müssen die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung berechnet werden. Hierfür wird die Variable, nach welcher nicht abgeleitet wird, als Konstante behandelt.

  • $f_x=x^2-4$ und $f_y=2y$
  • $f_{xx}=2x$, $f_{xy}=0$, $f_{yx}=0$ und $f_{yy}=2$

  So, nun kann es losgehen:

  Das notwendige Kriterium

  • $f_x=0~\Leftrightarrow~x^2-4=0$. Addition von $4$ und Ziehen der Wurzel führt zu $x_1=-2$ und $x_2=2$.
  • $f_y=0~\Leftrightarrow~2y=0$. Division durch $2$ führt zu $y=0$.

  Mit diesen Werten kann das hinreichende Kriterium überprüft werden:

  Wir beginnen mit $x_1=2$ und $y=0$:

  • $f_{xx}=2\cdot 2=4>0$ und $f_{yy}=2>0$
  • Hier liegt also ein lokales Minimum vor.
  • Die z-Koordinate erhält man durch Einsetzen von $x_1=2$ und $y=0$ in die Funktionsgleichung: $z=f(2;0)=\frac132^3-4\cdot 2+0^2=-5\frac13$
  • Das lokale Minimum lautet: $E_1\left(2\left|0\right|-5\frac13\right)$.

  Nun schauen wir uns $x_2=-2$ und $y=0$ an:

  • $f_{xx}=2\cdot (-2)=-4<0$ und $f_{yy}=2>0$
  • Hier liegt also ein Sattelpunkt vor.
  • Die z-Koordinate erhält man durch Einsetzen von $x_2=-2$ und $y=0$ in die Funktionsgleichung: $z=f(-2;0)=\frac13(-2)^3-4\cdot (-2)+0^2=5\frac13$
  • Der Sattelpunkt lautet $E_2\left(-2\left|0\right|5\frac13\right)$.

• Leite die Funktion $f(x;y)=\frac12x^2-2y^2$ zweimal ab.

  Tipps

  Leite die Funktion zunächst nach einer der beiden Variablen ab. Dabei betrachtest du die jeweils andere Variable als Konstante.

  Es ist $f_{xy}=f_{yx}=0$.

  Die beiden anderen partiellen Ableitungen zweiter Ordnung sind Konstanten.

  Die Ableitung von $x^2$ nach $x$ ist $2x$.

  Ebenso ist die Ableitung von $y^2$ nach $y$ gegeben durch $2y$.

  Lösung

  Man leitet ein Funktion mit mehreren Veränderlichen nach einer Variable ab, indem man die jeweils andere Variable als Konstante betrachtet:

  $f_x=x$ und $f_y=-4y$

  Die jeweiligen partiellen Ableitungen zweiter Ordnung sind die partiellen Ableitungen dieser partiellen Ableitungen:

  • $f_{xx}=\frac{\delta (x)}{\delta x}=1$
  • $f_{xy}=\frac{\delta (x)}{\delta y}=0$ - in dieser partiellen Ableitung kommt $y$ nicht vor.
  • $f_{yx}=\frac{\delta (4y)}{\delta x}=0$
  • $f_{yy}=\frac{\delta (4y)}{\delta y}=-4$

• Untersuche die Funktion auf Extrema.

  Tipps

  Prüfe zunächst das notwendige Kriterium für Extrema: $f_x=f_y=0$.

  Das hinreichende Kriterium für Extrema lautet

  • $f_{xx}>0$ und $f_{yy}>0$, dann liegt ein lokales Minimum vor.
  • $f_{xx}<0$ und $f_{yy}<0$, dann liegt ein lokales Maximum vor.
  • Ansonsten liegt ein Sattelpunkt vor.

  Um die z-Koordinate eines Punktes zu erhalten, setzt du die gegebenen Werte für $x$ und $y$ in die Funktionsgleichung ein.

  Lösung

  Mit den bekannten Ableitungen kann die Funktion auf Extrema untersucht werden:

  Das notwendige Kriterium

  • $f_x=0~\Leftrightarrow~x=0$
  • $f_y=0~\Leftrightarrow~4y=0$. Division durch $4$ führt zu $y=0$

  Dies ist die einzige Lösung des notwendigen Kriteriums.

  Nun kann das hinreichende Kriterium überprüft werden:

  • $f_{xx}=1>0$ und $f_{yy}=-4<0$
  • Hier liegt also ein Sattelpunkt vor. Das ist auch ohne das notwendige Kriterium klar, da die zweiten Ableitungen konstant sind und verschiedene Vorzeichen haben.
  • Die z-Koordinate erhält man durch Einsetzen von $x=y=0$ in die Funktionsgleichung: $z=f(0;0)=\frac120^2-2\cdot 0^2=0$
  • Der Sattelpunkt lautet $E\left(0\left|0\right|0\right)$.

• Gib die partiellen Ableitungen der Funktion $f(x;y)=\frac13x^3-4x+y^2$ an.

  Tipps

  Die partielle Ableitung erster Ordnung nach $y$ ist $f_y=2y$.

  Die partielle Ableitung zweiter Ordnung ist die partielle Ableitung der partiellen Ableitung erster Ordnung:

  • $f_{xx}=\frac{\delta f_x}{\delta x}$
  • $f_{xy}=\frac{\delta f_x}{\delta y}$
  • $f_{yx}=\frac{\delta f_y}{\delta x}$
  • $f_{yy}=\frac{\delta f_y}{\delta y}$

  Auf den eindimensionalen Fall angewendet, bedeutet dies: Die 2. Ableitung ist die Ableitung der ersten Ableitung.

  Die Untersuchung des hinreichenden Kriteriums erfolgt unter der Voraussetzung $f_{xy}=f_{yx}=0$.

  Lösung

  Die partiellen Ableitungen einer Funktion mit mehreren Veränderlichen kann man bestimmen, indem man die jeweilige Variable, nach welcher nicht abgeleitet wird, als Konstante behandelt:

  $f_x=x^2-4$ und $f_y=2y$

  Die jeweiligen partiellen Ableitungen zweiter Ordnung sind die partiellen Ableitungen dieser partiellen Ableitungen:

  • $f_{xx}=\frac{\delta (x^2-4)}{\delta x}=2x$
  • $f_{xy}=\frac{\delta (x^2-4)}{\delta y}=0$ - in dieser partiellen Ableitung kommt $y$ nicht vor.
  • $f_{yx}=\frac{\delta (2y)}{\delta x}=0$
  • $f_{yy}=\frac{\delta (2y)}{\delta y}=2$

• Bestimme die Extrema der Funktion $f(x;y)=2(x^2-1)^2+y^2-2y$.

  Tipps

  Die partiellen Ableitungen erster Ordnung sind

  • $f_x=8x(x^2-1)=8x^3-8x$ sowie
  • $f_y=2y-2$

  Die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung sind

  • $f_{xx}=24x^2-8$
  • $f_{yy}=2$
  • $f_{xy}=f_{yx}=0$

  Die y-Koordinate ist bei allen drei Punkten die gleiche. Diese ist die Lösung des notwendigen Kriteriums $f_y=0$.

  Das notwendige Kriterium $f_x=0$ führt zu drei (!) Lösungen.

  Lösung

  Zunächst werden die partiellen Ableitungen bestimmt:

  • $f_x=8x(x^2-1)$ mit Hilfe der Kettenregel. Dieser Term kann noch ausmultipliziert werden für die zweite Ableitung $f_x=8x^3-8x$.
  • $f_y=2y-2$

  • $f_{xx}=24x^2-8$
  • $f_{yy}=2$
  • $f_{xy}=f_{yx}=0$

  Das notwendige Kriterium

  • $f_x=0~\Leftrightarrow~8x(x^2-1)=0$. Da der Term in der faktorisierten Form vorliegt, können die Nullstellen abgelesen werden. Diese sind $x_1=-1$, $x_2=0$ und $x_3=1$.
  • $f_y=0~\Leftrightarrow~2y-2=0$. Addition von $2$ und anschließende Division durch $2$ führt zu $y=1$.

  Es müssen also die drei Lösungspaare $(-1|1)$, $(0|1)$ sowie $(1|1)$ untersucht werden:

  Für die Lösungspaare $(-1|1)$ gilt:

  • $f_{xx}=24\cdot (-1)^2-8=16>0$
  • $f_{yy}=2>0$
  • Es liegt ein lokales Minimum vor $E_1(-1|1|-1)$.

  Für $(0|1)$ gilt:

  • $f_{xx}=24\cdot 0^2-8=-8<0$
  • $f_{yy}=2>0$
  • Es liegt ein Sattelpunkt vor $E_2(0|1|1)$.

  Bei $(1|1)$ gilt:

  • $f_{xx}=24\cdot 1^2-8=16>0$
  • $f_{yy}=2>0$
  • Es liegt ein lokales Minimum vor $E_3(1|1|-1)$.