Gleichungen durch Rückwärtsrechnen lösen

Gleichungen durch Rückwärtsrechnen lösen Übung

• Ermittle die Kantenlänge des würfelförmigen Geschenkes.

  Tipps

  Beachte, dass sich auf der unteren und oberen Fläche des Würfels das Geschenkband kreuzt.

  Überprüfe dein Ergebnis, indem du es in die Gleichung für $x$ einsetzt.

  Lösung

  Wir verpacken ein würfelförmiges Geschenk mit einem zwei Meter langen Geschenkband, wovon $16~cm$ für die Schleife benötigt werden. Nun möchten wir wissen, wie groß die Kantenlänge des Würfels ist. Wir nennen die gesuchte Kantenlänge $x$ und stellen eine geeignete Gleichung auf.

  Wenn wir das Band, so wie gezeigt, um das Geschenk wickeln, legen wir mit ihm acht Kantenlängen zurück. Dazu kommen noch $16~cm$ für die Schleife dazu, daher lautet unsere Gleichung:

  $8 \cdot x + 16 = 200$

  Um die Gleichung zu lösen und $x$ zu ermitteln, wenden wir eine häufig verwendete Methode an: das Lösen von Gleichungen durch Rückwärtsrechnen.

  Dabei führen wir uns vor Augen, wie wir vorwärts rechnen würden, und führen diese Rechnungen nun entgegengesetzt durch.

  Aus vorwärts $+16$ wird rückwärts $-16$. Also subtrahieren wir $16$ vom Ergebnis $200$ und erhalten $184$. Statt $x$ mit $8$ zu multiplizieren, teilen wir nun $184$ durch $8$ und erhalten $184 \div 8 = 23$. Das ist der Wert für $x$ und somit die Lösung der Gleichung.

  Durch die Probe können wir unser Ergebnis prüfen. Dafür setzen wir $23$ für $x$ in die Gleichung ein:

  $8 \cdot 23 + 16 = 200$ und erhalten eine wahre Aussage!

  Die Kantenlänge des Würfels beträgt daher $23~cm$.

• Stelle eine Gleichung für das dargestellte Problem auf und löse diese durch Rückwärtsrechnen.

  Tipps

  Verwende ein einfaches Beispiel, um das Rückwärtsrechnen nachzuvollziehen. Löse beispielsweise $x + 1 = 5$ und $3 \cdot x = 15$ nach $x$ auf. Wie bist du auf dein Ergebnis gekommen?

  Um Gleichungen nach $x$ aufzulösen, benutzt man die Umkehroperationen.

  Setze deine Lösung für $x$ in die Gleichung ein. Kommt eine wahre Aussage heraus?

  Lösung

  Um Zahlenrätsel zu lösen, in denen eine Zahl $x$ gesucht und dazu eine Gleichung aufgestellt wird, benutzen wir gerne die Methode, rückwärts zu rechnen. Wir zerpflücken einen Term so lange, bis das $x$ allein auf einer Seite der Gleichung steht.

  Das bedeutet, dass sich einerseits die Reihenfolge umdreht, andererseits auch die Rechenoperationen.

  Aus „$+$“ wird „$-$“ und aus „$-$“ wird „$+$“, aus „$\cdot$“ wird „$\div$“ und aus „$\div$“ wird „$\cdot$“.

  Zur Lösung unserer Aufgabe gehen wir folgendermaßen vor:

  Zuerst wird natürlich eine Variable $x$ eingeführt, welche die gesuchte Zahl repräsentiert. Du kannst auch jeden anderen Buchstaben dafür verwenden.

  Dann wird eine Gleichung erstellt, die das Zahlenrätsel darstellt. Das ist anfangs vielleicht nicht ganz so leicht, aber mit ein wenig Übung fällt es immer leichter, Aussagen in mathematische Ausdrücke zu verwandeln. Die entsprechende Gleichung lautet $7 \cdot x - 15 = 69$.

  Jetzt untersuchen wir, was eigentlich mit dem $x$ in der Gleichung passiert und zwar unabhängig von der Zahl, die für $x$ eingesetzt werden muss. Dabei berücksichtigen wir natürlich, dass Punkt- vor Strichrechnung gilt.

  1. $x$ wird mit $7$ multipliziert.
  2. Von $7 \cdot x$ wird jetzt $15$ subtrahiert.
  3. Das Ergebnis lautet $69$.

  Jetzt folgt das eigentliche Rückwärtsrechnen. Wir fangen also hinten an und arbeiten uns in die entgegengesetzte Richtung und verwenden dabei die gegenteiligen Rechenoperationen. Das sieht wie folgt aus.

  1. $69$ wird mit $15$ addiert: $69 + 15 = 84$
  2. $84$ wird durch $7$ dividiert: $84 \div 7 = 12$
  3. Das Ergebnis für $x$ lautet $12$.

  Wenn du dir nun nicht ganz sicher bist, ob das Ergebnis stimmt, kannst du es noch einmal in die Gleichung einsetzen.

  $12 \cdot 7 - 15 = 84 - 15 = 69$.

  Wir haben richtig gerechnet. Die gesuchte Zahl heißt $12$.

• Bestimme die gesuchte Zahl $x$, indem du rückwärts rechnest.

  Tipps

  Das Dreifache von $8$ kann man schreiben als: $3 \cdot 8$.

  Wie kann man nun das Zehnfache einer Zahl $x$ darstellen?

  Beginne das Rückwärtsrechnen, indem du vom Ergebnis $60$ ausgehst.

  Gehe nun in umgekehrter Reihenfolge der Rechenschritte vor und verwende die Umkehroperationen.

  Lösung

  Laut des Zahlenrätsels suchen wir eine Zahl $x$, deren Zehnfaches halbiert und dann mit $20$ addiert wird. Das soll $60$ ergeben.

  Um ein solches Zahlenrätsel zu entschlüsseln, müssen wir wissen, was sich hinter den Ausdrücken wie „zehnfaches“ und „halbieren“ verbirgt. Beim Zehnfachen einer Zahl multipliziert man diese Zahl mit $10$. Beim Halbieren einer Zahl teilt man diese Zahl durch $2$. Nun können wir die Gleichung aufstellen:

  $10 \cdot x \div 2 + 20 = 60$.

  Da wir wissen, was die jeweiligen Umkehrungen der Rechenoperationen sind, können wir die Rechnung rückgängig machen und so die Zahl $x$ ermitteln.

  Im letzten Schritt des linken Terms wurde mit $20$ addiert, sodass $60$ herauskam. Das machen wir jetzt rückgängig:

  $60 - 20 = 40$.

  Wenn wir das geschafft haben, schauen wir uns den vorletzten Schritt des linken Terms an und sehen, dass dort durch $2$ dividiert wurde. Auch das machen wir jetzt rückgängig, indem wir mit $2$ multiplizieren:

  $40 \cdot 2 = 80$.

  Jetzt sind wir beim ersten Schritt des linken Terms angelangt. Hier wurde $x$ mit $10$ multipliziert. Auch das kehren wir jetzt um:

  $80 \div 10 = 8$.

  Jetzt haben wir das Ergebnis ermittelt. Die gesuchte Zahl ist $x = 8$.

  Um das noch einmal zu überprüfen, machen wir die Probe und setzen $x = 8$ in die Gleichung ein:

  $8 \cdot 10 \div 2 + 20 = 80 \div 2 + 20 = 40 + 20 = 60$.

  Wir haben richtig gerechnet.

• Berechne die Erhöhung von Miriams Taschengeld.

  Tipps

  Stelle als erstes eine Gleichung auf, die du mithilfe des Rückwärtsrechnens lösen kannst.

  Verwende gegebenenfalls Klammern beim Aufstellen der Gleichung.

  Lösung

  Wir wollen wissen, um wie viel Euro Miriams Taschengeld im Monat erhöht worden ist. Wir wissen, dass ihr bis dahin $50~€$ im Monat zur Verfügung standen und sie nun, nach der Erhöhung, $780~€$ im Jahr bekommt.

  Mit diesen Informationen können wir auch schon eine Gleichung aufstellen.

  Als erstes führen wir die Variable $x$ für den Betrag ein, um den sich ihr Taschengeld erhöht hat.

  Eine mögliche Gleichung lautet:

  $(50 + x) \cdot 12 = 780$

  Nun rechnen wir rückwärts. Zuerst teilen wir $780$ durch $12$.

  $780 \div 12 = 65$.

  Jetzt bleibt noch, die Summe $50 + x$ aufzulösen. Also subtrahieren wir $50$ von $65$.

  $65 - 50 = 15$.

  Somit haben wir den gesuchten Betrag ermittelt. Die Probe zeigt uns, dass wir richtig gerechnet haben:

  $(50 + 15) \cdot 12 = 65 \cdot 12 = 780$.

  Miriam erhält daher nun $15~€$ mehr Taschengeld im Monat. Insgesamt bekommt sie ab jetzt $65~€$ pro Monat Taschengeld.

• Gib die richtige Umkehrung jeder Rechenoperation an, welche man beim Rückwärtsrechnen verwendet.

  Tipps

  Die Umkehroperation von $x + 3 = 7$ ist $x = 7 - 3$.

  Denk dir weitere Beispiele für die Subtraktion, Multiplikation und Division aus und kehre diese um.

  Lösung

  Anhand von Beispielen kannst du dir schnell vergegenwärtigen, was das jeweilige Gegenteil einer Rechenoperation ist.

  • Bei Addition: $5 + 4 = 9$. Die Rechnung kehrst du um, indem subtrahiert wird: $9 - 4 = 5$.
  • Bei Subtraktion: $5 - 4 = 1$. Willst du die Rechnung umkehren, addierst du einfach: $1 + 4 = 5$.
  • Bei Multiplikation: $7 \cdot 8 = 56$. Umgekehrt rechnest du, wenn du dividierst: $56 \div 8 = 7$.
  • Und bei der Division: $35 \div 5 = 7$. Kehrst du um, musst du multiplizieren: $7 \cdot 5 = 35$.

  Dieses Umkehren von Rechenoperationen verwenden wir beim Lösen von Gleichungen durch die Rückwärtsrechnen-Methode. So stehen Rechenschritte, die sonst am Anfang einer Rechnung stünden, bei der Umkehrrechnung am Ende.

  Will man beispielsweise die Gleichung $(x + 3) \cdot 2 = 14$ lösen, so überlegt man, dass normalerweise zuerst die Klammer berechnet werden würde und dann das Produkt. Bei der Umkehrrechnung kehren wir auch dies um. Wir teilen zunächst $14 \div 2 = 7$ und lösen dann die Klammer auf. Im letzten Rechenschritt steht also $x + 3 = 7$. Das Ergebnis lautet $x = 4$.

• Ermittle die gesuchte Kantenlänge des Paketes.

  Tipps

  Bedenke, dass alle Seiten des Pakets vom Seil gekreuzt werden.

  Stelle eine Gleichung auf, in welcher auch die Schleife und die Gesamtlänge des Seils berücksichtigt werden.

  Lösung

  Uns stehen $7 ~m$ Seil zur Verfügung, um ein möglichst großes Paket zu verschnüren, wobei $60~cm$ für die Schleife benötigt werden. Wir wissen, dass Breite und Höhe des Pakets gleich sind und die Länge die doppelte Breite beträgt. Wenn wir die Breite mit der Variablen $x$ beschreiben, dann können wir auch die anderen Strecken mithilfe von $x$ angeben, da sie ja von der Breite abhängen. So wird die Länge des Pakets mit $2 \cdot x$ beschrieben.

  Jetzt muss nur noch untersucht werden, wie oft die Strecke $x$ beim Umwickeln des Pakets zurückgelegt wird. Das ist auf den beiden quadratischen Flächen $4$mal und auf den vier rechteckigen Flächen $12$mal der Fall. Insgesamt wird die Strecke $x$ also $16$mal beim Schnüren zurückgelegt.

  Nun können wir die Gleichung $16 \cdot x + 60 = 700$ aufstellen und durch Umkehroperationen lösen.

  Dabei rechnen wir zunächst $700 - 60 = 640$ und dann $640 \div 16 = 40$.

  Das Ergebnis für eine maximale Breite lautet somit $x = 40~cm$.