Gleichungsumformungen in Exponential- und Logarithmusgleichungen

Gleichungsumformungen in Exponential- und Logarithmusgleichungen Übung

• Gib die Eigenschaften von Exponentialausdrücken und dem Logarithmus an.

  Tipps

  Kann die mehrfache Multiplikation der Zahl $2$ mit sich selbst ein negatives Produkt liefern?

  Lösung

  Exponentialausdruck: $~2^x=a$

  Um einen Exponentialausdruck aufzulösen, musst du den Logarithmus zur selben Basis anwenden. Der Definitionsbereich von Exponentialausdrücken weist keine Beschränkungen auf, es gibt hier also $x\in\mathbb{R}$. Ein Exponentialausdruck ergibt immer positive Zahlen, es gilt daher $a\in\mathbb{R}^+$.

  Logarithmus: $~\log_2(x)=a$

  Um einen Logarithmus aufzulösen, setzt man beide Seiten in den Exponenten derjenigen Zahl, die der Logarithmusbasis entspricht. Es können nur positive Zahlen logarithmiert werden, es gilt also $x\in\mathbb{R}^+$. Beim Logarithmieren können beliebige reelle Zahlen herauskommen, es gilt $a\in\mathbb{R}$.

• Bestimme die Lösungen der Gleichungen.

  Tipps

  Nutze folgendes Potenzgesetz:

  $a^{x+y}=a^x \cdot a^y$

  Die eulersche Zahl $e$, die häufig in Exponentialgleichungen auftaucht, ist eine irrationale Zahl. Sie hat also einen konkreten Zahlenwert, mit dem wir ganz normal rechnen können.

  Lösung

  Beispiel 1: $~e^{2+x}=a^3$

  Die eulersche Zahl $e$, die häufig in Exponentialgleichungen auftaucht, ist eine irrationale Zahl. Sie hat also einen konkreten Zahlenwert und wir können ganz normal mit ihr rechnen.

  Exponentialausdrücke haben keine Einschränkungen im Definitionsbereich, sodass wir für $x$ jede beliebige reelle Zahl einsetzen können. Es gilt daher:

  $x\in\mathbb{R}$

  Sie ergeben aber immer nur positive Ausdrücke. Für den Parameter $a$ gilt daher:

  $a\in\mathbb{R}^+$

  Die Summe im Exponenten können wir mithilfe des folgenden Potenzgesetzes vereinfachen:

  $a^{x+y}=a^x \cdot a^y$

  Damit folgt:

  $\begin{array}{llll} e^2\cdot e^x &=& a^3 & \vert :e^2 \\ \\ e^x &=& \frac{a^3}{e^2} & \end{array}$

  Die verbleibende Gleichung können wir nach $x$ auflösen, indem wir den Logarithmus zur Basis $e$ anwenden. Den schreibt man als $\ln$.

  $\begin{array}{llll} \ln{(e^x)} &=& \ln{\left(\frac{a^3}{e^2}\right)} & \\ \\ x &=& \ln{\left(\frac{a^3}{e^2}\right)} & \end{array}$

  Das Ergebnis sieht recht kompliziert aus, ist aber einfach nur eine Zahl, die von dem Wert $a>0$ abhängt.

  Beispiel 2: $~\log_2(x^5)=a$

  In diesem Beispiel taucht die Variable im Logarithmus auf. Der Logarithmus ist für Zahlen größer null definiert. $x$ muss also größer null sein:

  $x\in$ {$\mathbb{R}^+$}

  Beim Logarithmieren kann jede reelle Zahl herauskommen. Den Parameter $a$ müssen wir also nicht einschränken. Es gilt:

  $a\in$ {$\mathbb{R}$}

  Die Basis des Logarithmus ist hier $2$. Also setzen wir zum Umformen beide Seiten jeweils in den Exponenten von $2$. So lösen wir den Logarithmus auf. Dann müssen wir nur noch die fünfte Wurzel ziehen und erhalten folgende Lösung:

  $\begin{array}{llll} 2^{\log_2(x^5)} &=& 2^a & \\ \\ x^5 &=& 2^a & \vert \sqrt[5]{~~} \\ \\ x &=& \sqrt[5]{2^a} & \end{array}$

  Weil $2^a$ immer positiv ist, erhalten wir für jedes $a$ positive Lösungen. Die Lösungen sind also in jedem Fall im Definitionsbereich enthalten.

• Erschließe die jeweilige Umkehroperation.

  Tipps

  Die Umkehroperation einer Exponentialgleichung ist der Logarithmus zur entsprechenden Basis.

  Ist $a$ die Basis eines Logarithmus, so ist die Umkehroperation $a^{(~~)}$.

  Lösung

  Um einen Exponentialausdruck aufzulösen, muss man den Logarithmus zur selben Basis anwenden. Um einen Logarithmus aufzulösen, setzt man beide Seiten in den Exponenten derjenigen Zahl, die der Logarithmusbasis entspricht.

  Damit erhalten wir die folgenden Zuordnungen:

  $\begin{array}{r|r} \text{Gleichung} & \text{Umkehroperation} \\ \hline \\ e^x=1 & \ln{(~~)} \\ \\ \ln{(x)}=1 & e^{(~~)} \\ \\ \log_{10}{(x)}=1& 10^{(~~)} \\ \\ 10^x=1 & \log_{10}{(~~)} \end{array}$

• Ermittle die Lösung der Gleichung.

  Tipps

  Es gilt:

  $3e^{x+1}-2e^{x+1}=e^{x+1}$

  Hier gibt es zwei besondere Punkte für den Logarithmus zur Basis $e$:

  $\ln{(1)}=0$

  $\ln{(e)}=1$

  Lösung

  Wir betrachten die Gleichung: $~5e^{2x+1}+3 = 4e^{2x+1}+4$

  Zunächst bringen wir gleichartige Terme auf je eine Seite der Gleichung:

  $\begin{array}{llll} 5e^{2x+1}+3 &=& 4e^{2x+1}+4 & \vert -4e^{2x+1} \\ \\ e^{2x+1}+3 &=& 4 & \vert -3 \\ \\ e^{2x+1} &=& 1 &  \end{array}$

  Jetzt können wir mittels der Umkehroperation $\ln{(~~)}$ die Gleichung weiter vereinfachen:

  $\begin{array}{llll} e^{2x+1} &=& 1 & \vert \ln{(~~)} \\ \\ 2x+1 &=& \ln{(1)} & \\ \\ 2x+1 &=& 0 & \end{array}$

  Nun haben wir nur noch eine lineare Gleichung, die wir einfach nach $x$ umstellen können:

  $\begin{array}{llll} 2x+1 &=& 0 & \vert -1 \\ \\ 2x &=& -1 & \vert :2 \\ \\ x &=& -\dfrac 12 & \end{array}$

• Bestimme die Lösung der Gleichung $2^x=8$.

  Tipps

  In Exponentialgleichungen taucht die Variable im Exponenten auf. Die Umkehroperation solcher Gleichungen ist der Logarithmus zur entsprechenden Basis.

  Es gilt:

  $2^n=\underbrace{2\cdot 2\cdot ... \cdot 2}_{n\text{-mal}}$

  Wie oft multiplizierst du den Faktor $2$, um das Produkt $8$ zu erhalten?

  Lösung

  In einer Exponentialgleichung taucht die Variable im Exponenten auf. In unserem Beispiel haben wir die Basis $2$ und den Exponenten $x$:

  $\qquad 2^x=8$

  Die Umkehroperation solcher Gleichungen ist der Logarithmus zur entsprechenden Basis. Hier also zur Basis $2$.

  $\qquad \log_2{2^x}=\log_2{8}$

  Wir können nun den Exponentialausdruck mithilfe des Logarithmus auflösen und erhalten:

  $\qquad x=\log_2{8}$

  Auf der rechten Seite steht nur eine Zahl. Den Logarithmus kannst du mit dem Taschenrechner ausrechnen.

  In diesem Fall kann man die Lösung aber auch ohne Taschenrechner ermitteln. Wir überlegen hierzu: $2$ hoch was ergibt $8$?

  Die Lösung ist $3$, denn es gilt:

  $\qquad 2^3=2\cdot 2\cdot 2 = 8$

  Das Ergebnis beträgt:

  $\qquad x=3$

• Erschließe die Lösung der Gleichung.

  Tipps

  Bringe zuerst gleichartige Terme auf je eine Seite der Gleichung.

  Wenn alle gleichartigen Terme zusammengefasst wurden, solltest du die Gleichung durch den Vorfaktor von $\ln{(2x+2)}$ teilen.

  Lösung

  Wir lösen im Folgenden die Gleichung: $~6\ln{(2x+3)}-2=2\ln{(2x+3)}+2$

  Wir bringen zunächst gleichartige Terme auf je eine Seite der Gleichung und fassen sie zusammen:

  $\begin{array}{llll} 6\ln{(2x+3)}-2 &=& 2\ln{(2x+3)}+2 & \vert +2 \\ \\ 6\ln{(2x+3)} &=& 2\ln{(2x+3)}+4 & \vert -2\ln{(2x+3)} \\ \\ 4\ln{(2x+3)} &=& 4 & \end{array}$

  Nun teilen wir die Gleichung durch $4$ und wenden dann die Umkehroperation $e^{(~~)}$ an. Dann stellen wir noch nach $x$ um:

  $\begin{array}{llll} \ln{(2x+3)} &=& 1 & \vert e^{(~~)} \\ \\ 2x+3 &=& e^1 & \vert -3 \\ \\ 2x &=& e-3 & \vert :2 \\ \\ x &=& \dfrac{e-3}{2} & \end{array}$

  Der Taschenrechner liefert uns eine Zahl, die auf die zweite Nachkommastelle gerundet $-0,14$ ergibt.