Grenzwerte x gegen unendlich – Testeinsetzung

Grenzwerte x gegen unendlich – Testeinsetzung Übung

• Erkläre das Vorgehen bei der Grenzwertberechnung $x\to ±\infty$ mit Testeinsetzung.

  Tipps

  Beim Testeinsetzen wird der Grenzwert nicht berechnet sondern eine Vermutung angestellt, wie der Grenzwert aussehen könnte.

  Der Grenzwertbetrachtung gegen $±\infty$ kommt in der Mathematik zum Beispiel im Rahmen der Kurvendiskussion eine wichtige Bedeutung zu.

  Zum Zeichnen von Funktionsgraphen werden Wertetabellen erstellt. Anhand dieser Wertetabelle kannst du Grenzwerte manchmal bereits erkennen.

  Lösung

  In der Mathematik geht es bei der Behandlung von Funktionen häufig darum, diese zu diskutieren und schließlich auch zu zeichnen. Dafür kann eine Wertetabelle angefertigt werden.

  Das Testeinsetzen entspricht einer Wertetabelle mit sehr großen positiven Werten im Fall $\lim\limits_{x\to\infty}$ und sehr großen negativen Werten im Fall $\lim\limits_{x\to -\infty}$.

  Für die Funktion $g(x)=x^3$ könnten die Tabellen so aussehen:

  $\begin{array}{l|c|c|c|l} x&10&100&1000&\rightarrow \infty\\ \hline g(x)&1000&1000000&1000000000&\rightarrow \infty \end{array}$

  sowie

  $\begin{array}{l|c|c|c|l} x&-10&-100&1000&\rightarrow -\infty\\ \hline g(x)&-1000&-1000000&-1000000000&\rightarrow -\infty \end{array}$

  Es kann also vermutet werden, dass

  • $\lim\limits_{x\to\infty}x^3=„\infty$" und
  • $\lim\limits_{x\to -\infty}x^3=„-\infty$".

  Die Anführungszeichen werden verwendet, da es sich im eigentlichen Sinne nicht um einen Grenzwert handelt. Man spricht von einem uneigentlichen Grenzwert.

• Berechne den Grenzwert $\lim\limits_{x\to \infty} f(x)$ durch Testeinsetzen.

  Tipps

  Du kannst für einige $x$, die immer größer werden, die Funktionswerte berechnen und schauen, ob diese sich einer Zahl annähern.

  Das Testeinsetzen entspricht dem Erstellen einer Wertetabelle mit immer größer werdenden, in diesem Beispiel positiven Werten für $x$.

  Der Grenzwert, welcher hier durch Testeinsetzen ermittelt wird, ist eine Vermutung anhand der Entwicklung der Funktionswerte.

  Lösung

  Eine Möglichkeit, den Grenzwert einer Funktion für $x\to ±\infty$ zu berechnen, ist die Methode des Testeinsetzens. Dabei werden für $x$ immer größere positive oder negative Werte eingesetzt. Das Verhalten der Funktionswerte lässt eine Vermutung über den Grenzwert zu:

  Das heißt $\lim\limits_{x\to \infty}f(x)=2$.

• Bestimme den Grenzwert $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)$.

  Tipps

  Der Definitionsbereich kann zum Beispiel durch Brüche eingeschränkt werden, weil deren Nenner nicht den Wert $0$ annehmen darf.

  Testeinsetzen entspricht dem Erstellen einer Wertetabelle für immer größere, in diesem Fall negative Werte für $x$.

  Der durch Testeinsetzen erhaltene Grenzwert ist lediglich eine Vermutung.

  Lösung

  • Um mit Funktionen zu rechnen, muss immer zunächst der Definitionsbereich betrachtet werden. Dieser ist in diesem Beispiel $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{-4;0\}$. Dies kann mithilfe der p-q-Formel berechnet werden.
  • Das Erstellen einer Tabelle ermöglicht es, Vermutungen über den Grenzwert anhand der Entwicklung der Funktionswerte anzustellen:

  $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} x &-10& -100& -1000&-10000&\rightarrow -\infty\\ \hline f(x)& -0,6& -0,69125& -0,66931...&-0,666933...& \rightarrow -0,\bar6 \end{array}$

  Es gilt also $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=-\frac23=-0,\bar6$.

  In diesem Beispiel sind auch bereits die Grenzen des Verfahrens „Testeinsetzen“ zu erkennen. Wenn der Grenzwert eine Dezimalzahl ist, wie in diesem Fall eine unendliche, allerdings periodische, so müssen sehr viele Funktionswerte berechnet werden. Es könnte ja auch $\lim\limits_{x\to -\infty}f(x)=-0,6669\bar3$ gelten.

  Der exakte Grenzwert kann zum Beispiel mit dem Verfahren „Termumformung“ berechnet werden.

• Untersuche das Verhalten der Funktion $g(x)$ für immer größere Werte für $x$.

  Tipps

  Was kannst du bei den Funktionswerten erkennen?

  Du kannst noch weitere große $x$-Werte einsetzen und schauen, welche Funktionswerte angenommen werden.

  Für den Grenzwert entscheidend sind die beiden Potenzen $x^n$ mit $n=0,1,2,3,...$ im Zähler wie im Nenner mit dem höchsten Exponenten. Im Zähler ist dies $x^2$ und im Nenner $x^1=x$.

  Lösung

  Bei der Funktion $g(x)=\frac{2x^2-12}{x+4}$ ist der höchste Exponent im Zähler ($2$) größer als der im Nenner ($1$). Damit hat die Funktion einen uneigentlichen Grenzwert, da eine große Zahl zum Quadrat viel größer ist als die große Zahl selbst. Das heißt, die Zahl im Zähler wird immer größer im Verhältnis zur Zahl im Nenner.

  Dies macht auch die folgende Tabelle klar:

  $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} x &10& 100& 1000&10000&\rightarrow \infty\\ \hline g(x)&13,43& 192,192& 1992,002&19992,002& \rightarrow \infty \end{array}$.

  Es gilt also $\lim\limits_{x\to \infty} g(x)=„+\infty$". Die Anführungszeichen zeigen an, dass es sich hier um einen uneigentlichen Grenzwert handelt.

• Gib an, ob die Funktion $h(x)=\sin(x)$ einen Grenzwert für $x \to \infty$ besitzt.

  Tipps

  Berechne einige Funktionswerte von $f(x)=\sin(x)$.

  Berechne Folgenglieder der Folge $a_n=(-1)^n$. Was fällt dir auf?

  $a_n=(-1)^n$ ist eine alternierende Folge. Sie besitzt keinen Grenzwert für $n \to \infty$. Das heißt, sie ist divergent.

  Lösung

  Die Sinusfunktion ist eine periodische Funktion. Sie hat die Periode $2\pi$. Anschaulich bedeutet dies, dass sich der Graph der Funktion nach einem bestimmten Intervall wiederholt. Dieses Intervall kann mit $I=[0;2\pi]$ angegeben werden. Wenn du jetzt diese Intervalle quasi aneinanderhängst, ergibt sich der Funktionsgraph von $h(x)=sin(x)$. Dabei kannst du beobachten, dass die Funktionswerte immer im Intervall $I_y=[-1;1]$ liegen.

  Dies bedeutet, dass, egal wie groß die Werte von $x$ werden, die Funktionswerte immer zwischen den Funktionswerten $-1$ und $1$ liegen. Dies kann man zum Beispiel an der folgenden Tabelle erkennen:

  $\begin{array}{l|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} x &0& \frac{\pi}2&\pi& \frac{3 \pi}2& 2\pi&...&\frac{41\pi}2&21\pi&\frac{43\pi}2&...\\ \hline h(x)& 0&1&0&-1& 0 &...&1&0&-1&... \end{array}$.

  Wenn man nur die Spalten mit $\frac{\pi}2$, $\frac{3\pi}2$, ..., $\frac{41\pi}2$, $\frac{43\pi}2$ betrachtet, so sieht dies aus wie die alternierende Folge $a_n=(-1)^n$. Diese ist divergent, das heißt, sie besitzt keinen Grenzwert.

  Somit besitzt auch die Funktion $f(x)=\sin(x)$ keinen Grenzwert.

• Gib an, ob die Funktion $h(x)=\frac{\cos(x)}x$ einen Grenzwert besitzt.

  Tipps

  Der Wertebereich von $\cos(x)$ ist $\mathbb{W}=[-1;1]$.

  Das bedeutet, dass der Zähler der Funktion $h(x)$ nicht kleiner als $-1$ und nicht größer als $1$ wird, während der Nenner immer größer wird.

  Die Rechnungen auf dem Taschenrechner erfolgen alle in „R“ oder „RAD“ für das Bogenmaß.

  Die Kosinusfunktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

  Der Taschenrechner stellt sehr große Zahlen und Zahlen, die sehr nahe bei $0$ liegen, in einer Exponentialschreibweise dar:

  • So entspricht „$8,623 \cdot 10^{-3}$“ $0,008623$. Das heißt, die $8$ steht an der dritten Stelle hinter dem Komma.
  • „$8,623 \cdot 10^3$“ entspricht $8623$, das heißt, das Komma wird um $3$ Stellen nach rechts verschoben.

  Die Darstellung kann von Taschenrechner zu Taschenrechner variieren.

  Lösung

  Da der Zähler der Funktion $h(x)$ die Kosinusfunktion ist, könnte man annehmen, dass die Funktion $h(x)$ keinen Grenzwert besitzt, da die Werte der Kosinusfunktion bei immer größer werdenden $x$-Werten zwischen den Rändern des Wertebereiches $\mathbb{W}=[-1;1]$ pendeln.

  Da jedoch gleichzeitig der Nenner immer größer wird, gehen die Funktionswerte mit wechselndem Vorzeichen gegen $0$.

  Das heißt: $\lim\limits_{x\to -\infty}h(x)=\lim\limits_{x\to \infty}h(x)=0$.

  Dies ist auch an den folgenden Tabellen zu erkennen:

  $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} x &-10& -100& -1000&-10000&\rightarrow -\infty\\ \hline h(x)& 0,0839...& -0,00862...& -0,000562...&0,0000952...& \rightarrow 0 \end{array}$

  und

  $\begin{array}{l|c|c|c|c|c} x &10& 100& 1000&10000&\rightarrow \infty\\ \hline h(x)& -0,0839...& 0,00862...& 0,000562...&-0,0000952...& \rightarrow 0 \end{array}$.